След.: 1.3.  Вынужденные колебания в последовательном Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: 1.1.  Общие сведения   Содержание

1.2.  Свободные колебания в одиночном контуре

При отсутствии внешней э.д.с. ($e = 0$ ) и наличии запаса энергии в реактивных элементах $C$ или $L$ ток в контуре описывается только общим решением (3) уравнения (2). Такие колебания в контуре, при которых однажды подведенная энергия более не пополняется, называются свободными или собственными, в отличие от вынужденных, для получения которых необходимо непрерывное пополнение энергии от внешнего источника.

Свободные колебания могут возникать при определенных соотношениях между $L$ , $C$ и $R$ . Исследование подкоренного двучлена в выражении для частоты (5) показывает, что периодический процесс в контуре (кривая а, рис.2) возможен только при соблюдении условия

$$R<2\sqrt{L\over C} .$$ (7)

Если же $R$ велико, возникает апериодический разряд (кривая б, рис.2).

Рис. 2

В реальных контурах $R$ весьма мало, поэтому для практических расчетов в формуле (5) вторым членом подкоренного выражения, учитывающим влияние $R$ на частоту, пренебрегают и считают частоту свободных колебаний $\omega_c$ равной собственной частоте $\omega_o$ контура

$$\omega_c\approx\omega_o={1\over\sqrt{LC}} [ /c] ,$$ (8)

$$f_o={1\over2\pi\sqrt{LC}} [ ] ,$$ (9)

а период колебаний контура

$$T_o={1\over f_o}=2\pi\sqrt{LC} .$$ (10)

Длина волны для закрытого контура имеет только расчетный, но не физический смысл

$$\lambda_o=cT_o={c\over f_o}=c2\pi\sqrt{LC} [ ] ,$$ (11)

где $c$ -- скорость распространения электромагнитных колебании (света).

Из равенства (1) выявляется соотношение между амплитудами тока и напряжения в контуре

$$U_m=I_m\sqrt{L\over C}=I_m\rho .$$

Величина

$$\rho=\sqrt{L\over C} [ ]$$ (12)

называется волновым сопротивлением контура. При процессе свободных колебаний

$$\rho= X_C = X_L .$$

Затухание процесса в контуре описывается выражением (4), в котором

$$\delta={R\over 2L}$$ (13)

-- коэффициент затухания, определяющий убывание амплитуды колебаний за 1 сек.

Изменение амплитуды колебаний за один период характеризуется декрементом затухания

$$\Delta={A_1\over A_2}={A_2\over A_3}=\ldots={A_{n-1}\over A_n}=e^{\delta T}= const ,$$ (14)

где $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , ...$A_n$ амплитуды смежных токов $i_1$ , $i_2$ , $i_3$ , ...$i_n$ по выражению (3) (или напряжений), разделенных временем в один период (рис.3)

$$i_n= I_me^{-\delta[t + (n-1)T]}\sin{\omega} [t + (n-1)T].$$

При определении $\Delta$ по осциллограмме амплитуды $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , ...$A_n$ измеряются в линейных единицах по сетке экрана осциллографа.

Рис. 3

Натуральный логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания

$$\theta=\ln{\Delta}=\ln{A_{n-1}\over A_n}=2,3\lg{A_{n-1}\over A_n}=\delta T_0 .$$ (15)

Его легко выразить через параметры контура

$$\theta =\delta T_0=\delta2\pi\sqrt{LC}= \pi R\sqrt{C\over L}=\pi {R\over\varrho} .$$

Величина, в $\pi$ раз меньшая $\theta$ , носит название затухание контура

$$d={\theta\over\pi}={R\over X_L}={R\over X_C}={R\over\varrho} ,$$ (16)

а величина, обратная затуханию, называется добротностью контура

$$Q={1\over d}={X_L\over R}={X_C\over R}={\varrho\over R}=$$

$$=2\pi{LI^2_m\over RI^2_mT_0}=2\pi{\text{энергия контура}\over \text{энергия, теряемая за период}} .$$ (17)

Принято считать колебательный процесс в контуре прекратившимся, если амплитуда колебаний составляет $0,01$ от максимальной величины. Длительность процесса колебаний в этом случае

$$t_n=NT_0\approx{4,6\over\delta} [ ] ,$$ (18)

где $N$ -- число полных колебаний.

След.: 1.3.  Вынужденные колебания в последовательном Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: 1.1.  Общие сведения   Содержание