Далее: Молекулярная (статистическая) физика и Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Введение

Механика

Задание 1 (выберите один вариант ответа). 

Два тела брошены под одним и тем же углом к горизонту с начальными скоростями $V_{\displaystyle o}$ и $2V_{\displaystyle o}$. Если сопротивлением воздуха пренебречь, то соотношение дальностей полета $S_2/S_1$ равно...
Варианты ответов: 1) $2\sqrt{2}$;    2)4;    3) 2;    4) $\sqrt{2}$.
   Решение: Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется по закону равномерного движения:

$$\text{для первого тела:\quad } S_1= v_{\displaystyle o} \cos{\alpha} \cdot t_1\,,$$

(1)

$$\text{ для второго тела:\quad } S_2= 2v_{\displaystyle o} \cos{\alpha}\cdot t_2\,.$$ (2)

Время полета равно удвоенному времени поднятия тела на максимальную высоту (точка А), где вертикальная скорость становится равной 0. Запишем в скалярном виде закон скорости движения тела в вертикальном направлении и выразим время движения до точки A: $v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle o}\sin{\alpha}-gt$, в т.$A$ $v_{\displaystyle y}=0$, отсюда

$$t={v_{\displaystyle o}\sin{\alpha}\over g}\,.$$

Полное время движения тел (до т.$B$):

$$\text{для первого тела:\quad } t_1={2v_{\displaystyle o}\sin{\alpha}\over g}\,,$$ (3)

$$\text{ для второго тела:\quad } t_2={4v_{\displaystyle o}\sin{\alpha}\over g}\,.$$ (4)

Подставим значение $t_1$ и $t_2$ в (1.1) и (1.2) соответственно и найдем дальность полета для каждого тела.

$$S_1={2v^2_{\displaystyle o}\cos{\alpha}\cdot\sin{\alpha}\over... ...\alpha}\over g}={4v^2_{\displaystyle o}\sin2{\alpha}\over g}\,.$$

Определим искомое отношение:

$${S_2\over S_1}=4\,.$$

Ответ: 4.

Задание 2.

Материальная точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения:
1) уменьшается;    2) увеличивается;    3) не изменяется
Решение: по условию задачи $\vec{a}_{\displaystyle\tau}=const$, известно, что $$\vec{a}_{\displaystyle\tau}={d\vec{v}\over dt}\,,$$ следовательно, скорость точки изменяется со временем по линейному закону: $\vec{v}= \vec{v}_{\displaystyle o}+\vec{a}t$¹. Поскольку нормальное ускорение связано с линейной скоростью соотношением:
$$\vec{a}_{\displaystyle n}={v^2\over R}\vec{n}\,,$$ и $v$ растет, то значение нормального ускорения будет увеличиваться.
Ответ: увеличивается.

Задание 3.

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени $\omega(t)$ изображена на рисунке. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 метр от оси вращения, равно:
1) $5\,{\displaystyle \text{м}\over\displaystyle c^2}$;    2) $-0,5\,{\displaystyle\text{м}\over\displaystyle c^2}$;     3) $0,5\,{\displaystyle\text{м}\over\displaystyle c^2}$;    4) $-5\,{\displaystyle\text{м}\over\displaystyle c^2}$.
Решение: В общем виде зависимость $\omega(t)$ имеет вид: $$\vec{\omega}=\vec{\omega}_{\displaystyle o}+\vec{\beta}t\,.$$
С учетом конкретных данных, полученных из графика, запишем:
$$\omega=-10-5t\,.$$
Определим угловое ускорение (коэффициент при $t$):
 $$\beta=-5{1\over c^2}\,.$$

Учитывая связь между тангенциальным и угловым ускорением,

$$a_{\displaystyle\tau}=\beta R\,,$$
рассчитаем искомое тангенциальное ускорение:
$$a_{\displaystyle\tau}=-5{1\over c^2}\cdot 1\,\text{м}=-5{\text{м}\over c^2}\,.$$

$$\text{\bf Ответ: } -5{\text{м}\over c^2}\,.$$

Задание 4.

Материальная точка двигалась вдоль оси $ОХ$ равномерно с некоторой скоростью $v_{\displaystyle x}$. Начиная с момента времени $t=0$ на нее стала действовать сила $F_{\displaystyle x}$ , график зависимости от времени которой представлен на рисунке:
 
Графиком, правильно отражающим зависимость величины проекции импульса материальной точки, будет:

1)




2)

 

3)

4)

 

Решение: На участке $0-t_1$ на тело действует постоянная сила, следовательно, тело движется с постоянным ускорением. При этом скорость меняется по закону: $v=v_{\displaystyle o}+at$, то есть линейно растет со временем. Проекция импульса материальной точки: $p_{\displaystyle x}=mv_{\displaystyle x}$ также линейно растет со временем на участке $0-t_1$. (Это первый или четвертый вариант графика.) Рассмотрим участок, соответствующий времени $t_1-t_2$. Сила на этом участке не действует на материальную точку и равна $0$. Следовательно, точка движется без ускорения с постоянной скоростью, и импульс не меняется со временем. Графиком, правильно отражающим зависимость величины проекции импульса от времени, будет график 4. 
Ответ: график 4.

Задание 5 (выберите один вариант ответа). 

Система состоит из трех шаров с массами $m_1=1\,\text{кг}$, $m_2=2\,\text{кг}$, $m_3=3\,\text{кг}$, которые движутся так, как показано на рисунке.

Если скорости шаров равны $v_1=3\,м/c$, $v_2=2\,м/c$, $v_3=1\,м/c$, то величина скорости центра масс этой системы в м/с равна...

Варианты ответов: 1) ${\displaystyle 2\over\displaystyle 3}$;    2) 4;     3) ${\displaystyle 5\over\displaystyle 3}$;    4) 10.

    Решение: Скорость центра масс замкнутой системы материальных точек:

$$\vec{v}_{\displaystyle c}={m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3\over m_1+m_2+m_3}\,.$$

(5)

Для определения модуля скорости центра масс найдем проекции выражения (1.5) на оси $OX$ и $OY$. Тогда:

$$\vert v_{\displaystyle c}\vert=\sqrt{v^2_{\displaystyle xc}+v^2_{\displaystyle yc}}\,.$$

Произведем соответствующие расчеты:

$$v_{\displaystyle xc}={m_2v_2\over m_1+m_2+m_3}\,;\quad v_{\displaystyle xc} ={2\over 3}{\text{м}\over с}\,.$$

$$v_{\displaystyle yc}={m_1v_1-m_3v_3\over m_1+m_2+m_3}\,;\quad v_{\displaystyle yc}=0.$$

$$v_{\displaystyle c}={2\over 3}{\text{м}\over с}\,.$$

Ответ: ${\displaystyle 2\over\displaystyle 3}\,.$

Задание 6 (выберите один вариант ответа). 

Две материальные точки одинаковой массы движутся с одинаковой угловой скоростью по окружностям радиусами $R_1=2R_2$ . При этом отношение моментов импульса точек $L_1/L_2$ равно...

Варианты ответов: 1) 2;    2) 4;     3) 1/4;    4) 1/2.

   Решение: Момент импульса материальной точки: $\vec{L}=m[\vec{R}\times\vec{v}]$
Скорости точек соответственно:

$$v_1= \omega R_1=2\omega R_2\,;\quad v_2=\omega R_2\,.$$

Запишем выражения для моментов импульса точек в скалярном виде с учетом данных задачи:

$$L_1=mR_1v_1=4mR^2_2\omega\,,$$ (6)

$$L_2=mR_2v_2=mR^2_2\omega\,.$$ (7)

Найдем искомое отношение, разделив (1.6) на (1.7):

Ответ: 4.

Задание 7.

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и угловую скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела...

1) не изменится; 2) увеличится в $2\sqrt{2}$ раз; 3) увеличится в 8 раз; 4) увеличится в 4 раза.

Решение: Момент импульса тела можно определить следующим образом: $\vec{L}=I\vec{\omega}$. Запишем скалярно выражения для моментов импульса первого и второго тел с учетом указанных в условии изменений:

$$L_1=I_1\omega_1\,;\quad L_2=I_2\omega_2=2I_1\cdot 2\omega_1=4I_1\omega_1\,.$$

Видим, что $L_2$ в 4 раза увеличился по сравнению с $L_1$.

Ответ: увеличится в 4 раза.

Задание 8.

Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы (рис.). Для их моментов инерции справедливо соотношение...

Варианты ответов: 1) $I_{\displaystyle\text{ц}}<I_{\displaystyle\text{д}}$;     2) $I_{\displaystyle\text{ц}}=I_{\displaystyle\text{д}}$;     3) $I_{\displaystyle\text{ц}}>I_{\displaystyle\text{д}}$.

Решение: Моменты инерции диска и цилиндра определяются следующим соотношением: $I=mR^2$. Так как массы и радиусы этих тел одинаковы, то и моменты инерции диска и цилиндра равны: $I_{\displaystyle\text{ц}}=I_{\displaystyle\text{д}}$.

Ответ: $I_{\displaystyle\text{ц}}=I_{\displaystyle\text{д}}$.

Задание 9 (выберите один вариант ответа). 

В потенциальном поле сила $\vec{F}$ пропорциональна градиенту потенциальной энергии $W_{\displaystyle p}$ . Если график зависимости потенциальной энергии $W_{\displaystyle p}$от координаты $x$ имеет вид, представленный на рисунке,

то зависимость проекции силы $F_{\displaystyle x}$ на ось $X$ будет...

Варианты ответов:

1)2) 

3)4)

Решение: Известно, что в потенциальном поле

$$\vec{F}=-\overrightarrow{grad}{W_{\displaystyle p}}\,.$$

Учитывая условие задачи, это выражение можно записать:

$$F_{\displaystyle x}=-{dW_{\displaystyle p}\over dx}\,.$$ (8)

Представленную на графике зависимость потенциальной энергии от координаты $X$ можно аналитически записать в виде:

$$W_{\displaystyle p}=cX^2\,,$$ (9)

где $c$ -- коэффициент пропорциональности. Подставим (1.9) в (1.8):

$$F_{\displaystyle x}=-{d(cx^2)\over dx}=-2cx\,.$$ (10)

Следовательно: $F=-2cX$. Графически это выражение можно изобразить:

Правильным будет вариант ответа 1.

Заметим, что если речь идет об упруго деформированной пружине, то

$$с = {k\over 2}\,,$$

и выражение (1.9) будет иметь вид:

$$W_{\displaystyle p}={kx^2\over 2}\,,$$

а уравнение (1.10) будет представлять закон Гука: $F=-kx$.

Ответ: вариант 1.

Задание 10.
На частицу, находящуюся в начале координат, действует сила, вектор которой определяется: $\vec{F}=(2\vec{i}+3\vec{j})H$. Работа, совершаемая этой силой при перемещении частицы в точку с координатами (5,0), равна:

1) 3Н;    2) 25Н;    3) 15H;    4) 10Н.

Решение: Работа силы равна скалярному произведению силы на перемещение: $А=\vec{F}\cdot\vec{s}$ или $А=\vert F\vert\cdot\vert S\vert\cdot\cos{\alpha}$.

Определим последовательно необходимые данные из условия задачи.

$$\vert F\vert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$$

Перемещение происходило только вдоль оси $X$ и равно 5м. $S=5\,\text{м}$.

$$\cos{\alpha}= {2\over\sqrt{13}}$$

Работа силы:

$$A=\sqrt{13}\cdot 5\cdot {2\over\sqrt{13}}=10\,\text{Дж}\,.$$

Задача может быть решена с применением свойств скалярного произведения векторов.

Ответ: 10Н.

Задание 11 (выберите один вариант ответа). 

Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из вертикального положения в горизонтальное, то частота вращения в конечном состоянии

Варианты ответов:    1) не изменится;    2) уменьшится;     3) увеличится.

Решение: Систему тел, состоящую из человека и шеста, можно считать замкнутой в случае отсутствия трения при вращении карусели. В этом случае в системе будет выполняться закон сохранения момента импульса: $\vec{L} = const$, поскольку $\vec{L}=I\vec{\omega}$, то для данной задачи закон сохранения примет вид:

$$I_1\omega_1=I_2\omega_2\,,$$

где $I$ -- момент инерции системы, зависящий не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения:

$$I=\int{r^2dm}\,;$$

$\omega$ -- угловая скорость, которая связана с частотой вращения соотношением: $\omega=2\pi\nu$.

При вертикальном положении шеста момент инерции системы меньше, чем при горизонтальном, потому что все точки шеста находятся на оси вращения и момент инерции шеста минимален, следовательно, частота вращения системы при вертикальном положении шеста больше. При повороте шеста в горизонтальное положение момент инерции системы увеличивается, следовательно, угловая скорость и частота вращения уменьшаются: $I_1<I_2$; $\omega_1 >\omega_2$.

Ответ: частота вращения уменьшится.

Задание 12.

Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то...

Варианты ответов: 1) выше поднимется полый цилиндр;
2) оба тела поднимутся на одну и ту же высоту;    3) выше поднимется сплошной цилиндр.

Решение: Момент инерции сплошного цилиндра:

$$J_{\displaystyle c}={1\over 2}mR^2\,;$$

момент инерции полого цилиндра: $J_{\displaystyle n}=mR^2$, т.е. $J_{\displaystyle n} >J_{\displaystyle c}$.

Высота подъема зависит от потенциальной энергии, которую приобретут тела за счет начальной кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

$$E_{\displaystyle\text{к}}={mv^2\over 2}+{J\omega^2\over 2}\,.$$

Считая, что в системе нет потерь, запишем закон сохранения энергии:

$$E_{\displaystyle\text{пот}}=E_{\displaystyle\text{кин}}\qquad mgh= {mv^2\over 2}+{J\omega^2\over 2}\,.$$

Для полого цилиндра второе слагаемое в правой части последнего уравнения больше за счет большего значения момента $J_{\displaystyle\text{п}}>J_{\displaystyle c}$, чем для сплошного, поэтому полый цилиндр поднимется выше, чем сплошной.

Ответ: вариант 1.

Задание 13 (выберите один вариант ответа). 

На борту космического корабля нанесена эмблема в виде геометрической фигуры.

Из-за релятивистского сокращения длины эта фигура изменяет свою форму. Если корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой, со скоростью, сравнимой со скоростью света, то в неподвижной системе отсчета эмблема примет форму, указанную на рисунке...

Варианты ответов:

1) 2)

3)

Решение: Если тело движется с постоянной скоростью $v$ сравнимой со скоростью света $c$, то его длина в неподвижной системе отсчета будет равна:

$$\ell=\ell_{\displaystyle o}\sqrt{1-\beta^2}\,,$$ (11)

$$\text{где }\beta={v\over c}.$$

Длина $\ell_{\displaystyle o}$, измеренная в системе отсчета, где стержень неподвижен, называется собственной длиной.

Это сокращение относительно только к продольным размерам тел (размерам в направлении движения), поперечные же размеры не меняются. (И.Е.Иродов ''Механика. Основные законы'', -- Физматлит, М.-С.-П., 2000г., стр.247, 248.)

Ответ: вариант 1.

Задание 14.

Космический корабль с двумя космонавтами летит со скоростью $v=0,8\,c$ ($c$ -- скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению движения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта...

Варианты ответов:

1) изменится от 1,0м в положении 1 до 1,67м в положении 2;

2) изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2;

3) равна 1,0м при любой его ориентации;

4) изменится от 0,6м в положении 1 до 1,0м в положении 2.

Решение: Если оба наблюдателя (космонавта) неподвижны относительно системы отсчета, связанной с космическим кораблем, а скорость стержня наблюдателя $V\ll c$, то его длина $\ell=\ell_{\displaystyle o}$ и равна 1,0м при любой его ориентации, как следует из (1.11). (И.Е.Иродов ``Механика. Основные законы'', -- Физматлит, М.-С.-П., 2000г., стр.249.)

Ответ: вариант 3.

Далее: Молекулярная (статистическая) физика и Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Введение