Далее: Элементы ядерной физики и Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Волновая и квантовая оптика

Квантовая физика и физика атома

Задание 40 (выберите один вариант ответа).

Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение...

Варианты ответов:

$$1)\ \Delta\psi+{2m\over \hbar^2}E\psi=0;\qquad 2)\ {d^2\psi\over dx^2}+{2m\over \hbar^2}E\psi=0;$$

$$3)\ \Delta\psi+{2m\over \hbar^2}\left (E+{Ze^2\over 4\pi\vare... ...2}\left(E-{m\omega_{\displaystyle o}^2x^2\over 2}\right)\psi=0.$$

Решение: Для линейного гармонического осциллятора уравнение Шредингера имеет вид

$${d^2\psi\over dx^2}+{2m\over \hbar^2}\left(E-{m\omega_{\displaystyle o}^2x^2\over 2}\right)\psi=0.$$

(А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. ''Курс физики'', М., ''Высшая школа'', 1989, стр.440).

Ответ: вариант 4.

Задание 41 (выберите один вариант ответа).

Вероятность обнаружить электрон на участке $(a,b)$ одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле:

$$W=\int\limits_a^b{\omega dx}\,,$$

где $\omega$ -- плотность вероятности, определяемая $\psi$-функцией. Если $\psi$-функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке

$${L\over 6}<x<{5L\over 6}$$

равна...

Варианты ответов:

$$1)\ {5\over 6};\qquad 2)\ {1\over 2};\qquad 3)\ {1\over 3};\qquad 4)\ {2\over 3}.$$

Решение:

Аналитический способ решения. Вероятность $W$ обнаружить частицу в интервале $a<x<b$ определяется равенством:

$$W=\int\limits_a^b{\omega dx}\,;\quad a={L\over 6}\,;\quad b={5L\over 6}\,;\quad{L\over 6}<x<{5L\over 6}\,;\quad$$

$$\omega=\psi^*\psi\,;\quad \vert\psi\vert^2=\psi^*\psi\,,$$

тогда

$$W=\int\limits_a^b{\vert\psi_{\displaystyle n}(x)\vert^2 dx}\,,$$

где $\psi_{\displaystyle n}(x)$ -- нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию. Для электрона в потенциальном ящике волновая функция имеет вид:

$$\psi_{\displaystyle n}(x)=\sqrt{2\over L}\sin{\pi nx\over L}\,.$$

По рисунку определяем, что $n=3$.

$$W={2\over L}\int\limits_a^b{\sin^2{3\pi x\over L}dx}={2\over ... ...\over 2} \int\limits_a^b{\left(1-\cos{6\pi x\over L}\right)dx}=$$

$$={1\over L}\int\limits_a^b {dx}-{1\over L} \int\limits_a^b{\c... ...L\over \displaystyle 6}^{\displaystyle 5L\over\displaystyle 6}=$$

$$={1\over L}\cdot{5L\over 6}-{1\over L}\cdot{L\over 6}-{1\over... ...sin{5\pi}+ {1\over 6\pi}\cdot\sin{\pi}={4\over 6}={2\over 3}\,.$$

Графический способ решения. Вероятность того, что частица находится внутри глубокого одномерного ящика, то есть вероятность достоверного события равна 1 и равна площади, ограниченной стенками ящика, кривой плотности вероятности и остью $x$, то есть $S=1$. Тогда среднее значение плотности вероятности равно:

$$\langle\omega\rangle={S\over L}={1\over L}\,.$$

Вероятность того, что частица находится на участке $x$, равном

$${L\over 6}<x<{5L\over 6}\,,$$

будет:

$$W=\langle\omega\rangle\cdot\left({5L\over 6}-{L\over 6}\right)={1\over L}\cdot{4L\over 6}= {2\over 3}\,.$$

(И.В.Савельев. ''Курс общей физики'', книга 5, М., Астрель, 2002г., стр.86-89.)

Ответ: ${\displaystyle 2\over\displaystyle 3}\,.$

Задание 42.

Закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на возможные переходы электрона в атоме с одного уровня на другой (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис.) запрещенным переходом является...

Варианты ответов: 1) 3p--2s;    2) 3s--2s;    3) 4s--3p;    4) 4f--3d.

Решение: Излучение или поглощение света (фотона) электроном происходит при переходах с одного уровня энергии на другой. Фотон обладает собственным моментом импульса, равным $\hbar$. При излучении фотон уносит этот момент, при поглощении приносит.

Поскольку полный момент импульса сохраняется, поэтому момент импульса электрона может меняться на величину $\pm\hbar$. Значит орбитальное квантовое число $l$ может изменяться только на величину $\pm 1$. Электроны в состояниях с $l=0,\;1,\;2,\;3,\;..$ обозначают $s,\; p,\; d,\; f$- электронами соответственно. В данном случае запрещен переход 3s--2s, поскольку он идет без изменения орбитального квантового числа.

Верный ответ -- 2.

Ответ: вариант 2.

Задание 43.

 Если частицы имеют одинаковую длину волны де Бройля, то наименьшей скоростью обладает...

Варианты ответов:    1) позитрон;    2) протон;     3) $\alpha$-частица;    4) нейтрон.

Решение: Длина волны де Бройля $\lambda$ связана с импульсом частицы $\vec p$ уравнением

$$\lambda = \frac{h}{p}\,,$$

а импульс выражается через массу частицы и ее скорость $\vec p = m \vec v$. Отсюда следует, что скорость равна:

$$v = \frac{h}{m \lambda}\,.$$

Альфа-частица (ядро атома гелия) имеет наибольшую массу из указанных частиц. Поэтому $\alpha$-частица имеет наименьшую скорость. Верный ответ -- 3.

Ответ: вариант 3.

Задание 44.

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии $\tau \sim 10^{-3}$ c. Учитывая, что постоянная Планка
$\hbar = 6,6\cdot 10^{-16}$ эВ $\cdot$ с, ширина метастабильного уровня $\Gamma$ (в эВ) будет не менее...

Варианты ответов:

1) $1,5\cdot10^{-13}$;    2) $6,6\cdot10^{-19}$;     3) $6,6\cdot10^{-13}$;    4) $1,5\cdot10^{-19}$.

Решение: Энергия возбужденного состояния имеет ширину $\Gamma$, то есть не является точно определенной. Из соотношения неопределенности следует, что $\Gamma$ и время жизни состояния $\tau$ удовлетворяют неравенству $\Gamma \cdot \tau \geq\hbar$. Поэтому на ширину уровня получим ограничение

$$\Gamma \geq \frac{\hbar}{\tau} \sim 6,6 \cdot 10^{-13}\,c.$$

Правильный ответ -- 3.

Ответ: вариант 3.

Далее: Элементы ядерной физики и Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Волновая и квантовая оптика