Далее: Квантовая физика и физика Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Колебания и волны

Волновая и квантовая оптика

Задание 35.

Имеются 4 решетки с различными постоянными $d$, освещаемые одним и тем же монохроматическим излучением различной интенсивности. Какой рисунок иллюстрирует положение главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой с наименьшей постоянной решетки? ($J$ -- интенсивность света, $\varphi$ -- угол дифракции).

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

Решение: Характер дифракционной картины при нормальном падении на решетку монохроматического излучения имеет вид:

$$J=J_{\displaystyle o}\cdot{\sin^2\left({\displaystyle\pi b\s... ...playstyle\pi d\sin\varphi\over\displaystyle\lambda}\right)}\,,$$ (17)

где $J_{\displaystyle o}$ -- интенсивность, создаваемая одной только щелью против центра линзы. Обозначим

$$u={\pi b\sin\varphi\over\lambda}\quad\text{и}\quad\alpha={\pi d\sin\varphi\over\lambda}\,,$$

тогда (5.17) примет вид:

$$J=J_{\displaystyle o}\cdot{\sin^2{u}\over u^2}\cdot {\sin^2(N\alpha)\over\sin^2{\alpha}}\,.$$ (18)

Известно, что

$$\lim\limits_{\sin\alpha\rightarrow 0}\left({\sin N\alpha\over\sin{\alpha}}\right)=N\,.$$

Учитывая это и подставляя в (5.18) $\sin\varphi=m\lambda/d$ для $m$-го главного максимума, получим:

$$J_m=J_{\displaystyle o}N^2\left({\sin{u}\over u}\right)^2={J... ...er\pi^2m^2b^2}\cdot\sin^2\left(\pi m\cdot {b\over d}\right)\,.$$ (19)

Для максимума нулевого порядка $m=0$, а следовательно,

$$\lim\limits_{u\rightarrow 0}{\sin u\over u}=0\quad\text{и}\quad J_m\simeq J_{\displaystyle o}N^2 \,.$$ (20)

Из (5.20) видно, что на величину интенсивности главных максимумов на рисунках можно не обращать внимание, так как решетка освещается излучением различной интенсивности (то есть $J_{\displaystyle o}$ неизвестно) и, кроме того, неизвестно $N$ -- число щелей.

Постоянная решетки связана с угловой шириной центрального максимума соотношением

$$\delta\varphi_{\displaystyle o}=2\arcsin{\lambda\over Nd}\approx {2\lambda\over Nd}\,.$$ (21)

Из (5.21) получим

$$d={2\lambda\over N\delta\varphi_{\displaystyle o}}\,.$$ (22)

Если $N$ одинаково у всех решеток, то из (5.22) следует, что решетке с наименьшей $d$ отвечает 4-й рисунок. (И.В.Савельев. ''Курс общей физики'', т.2, М., ''Наука'', 1978г., §130.)

Ответ: 1-й рисунок.

Задание 36 (выберите один вариант ответа).

На идеальный поляризатор падает свет интенсивности $J_{\displaystyle\text{ест}}$ от обычного источника. При вращении поляризатора вокруг направления распространения луча интенсивность света за поляризатором...

Варианты ответов:

1) меняется от $J_{\displaystyle\text{ест}}$ до $J_{\displaystyle max}$;    2) меняется от $J_{\displaystyle min}$ до $J_{\displaystyle max}$;

3) не меняется и равна $J_{\displaystyle\text{ест}}$;    4) не меняется и равна ${\displaystyle1\over\displaystyle 2}J_{\displaystyle\text{ест}}$.

Решение: После прохождения поляризатора интенсивность света равна 1/2 интенсивности естественного света и не меняется.

Ответ: ${\displaystyle1\over\displaystyle 2}J_{\displaystyle\text{ест}}$.

Задание 37.

На пути естественного света помещены две пластинки турмалина. После прохождения пластинки 1 свет полностью поляризован. Если $J_1$ и $J_2$ -- интенсивности света, прошедшего пластинки 1 и 2 соответственно, и

$$J_2={J_1\over 4}\,,$$

тогда угол между направлениями $OO$ и $O'O'$ равен...

Варианты ответов: 1) $60^\circ$;    2) $30^\circ$;    3) $45^\circ$;    4)$90^\circ$.

Решение: Интенсивность света $J_2$ после прохождения второй пластины турмалина, которая в данном случае играет роль анализатора, может быть определена по закону Малюса:

$$J_2=J_1\cos^2\varphi\,,$$

где $J_1$ -- интенсивность света после прохождения поляризатора, $\varphi$ -- угол между плоскостью поляризатора и анализатора. Учтем условие задачи $(J_2={\displaystyle1\over\displaystyle 4}J_1)$ в законе Малюса и произведем расчеты:

$${J_1\over 4}=J_1\cos^2\varphi\,;\quad {1\over 4}=\cos^2\varphi\,;\quad {1\over 2}=\cos{\varphi}\,,$$

следовательно, $\varphi=60^{\circ}$.

Ответ: $\varphi=60^{\circ}$.

Задание 35 (выберите один вариант ответа).

На рисунке показана кривая зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при $Т=6000\,К$. Если температуру тела уменьшить в 4 раза, то длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела,...

Варианты ответов:

1) уменьшится в 2 раза;    2) уменьшится в 4 раза;

3) увеличится в 4 раза;    4) увеличится в 2 раза.

Решение: Длина волны, соответствующая максимуму энергетической светимости абсолютно черного тела, может быть определена по закону Вина:

$$\lambda_{\displaystyle max}={b\over T}\,,$$

где $b$ -- постоянная Вина, $T$ -- температура излучения.

Для разных температур излучения одного и того же тела можно записать:

$$\lambda_{\displaystyle max_1}\cdot T_1=\lambda_{\displaystyle max_2}\cdot T_2\,.$$

Если $T_2={\displaystyle1\over\displaystyle 4}T_1=1500\,К$, то

$$\lambda_{\displaystyle max_2}=\lambda_{\displaystyle max_1}{T_1\over T_2}=4\lambda_{\displaystyle max_1}\,.$$

Таким образом, $\lambda_{\displaystyle max}$ увеличится в 4 раза и станет (с учетом данных, указанных на рисунке) 2000нм.

Ответ: увеличится в 4 раза.

Задание 39 (выберите один вариант ответа).

На рисунке показаны направления падающего фотона $(\gamma)$, рассеянного фотона $(\gamma')$ и электрона отдачи $(e)$. Угол рассеяния $90^{\circ}$, направление движения электрона отдачи составляет с направлением падающего фотона угол $\varphi=30^{\circ}$. Если импульс падающего фотона $P_{\text{ф}}$, то импульс рассеянного фотона равен...

Варианты ответов: 1) $\sqrt{3}P_{\text{ф}}$;     2) $1,5 \sqrt{3}P_{\text{ф}}$;     3) ${\displaystyle P_{\text{ф}}\over\displaystyle\sqrt{3}}$;     4) $0,5P_{\text{ф}}$.

Решение: В данной задаче описано явление, называемое эффектом Комптона. При рассеянии фотона $\gamma$ соблюдается закон сохранения энергии и закон сохранения импульса, которым

в данном случае надо воспользоваться для решения задачи:

$$\vec{P}_{\text{ф}}=\vec{P}'_{\text{ф}}+\vec{P}_{_{\displaystyle e}}\,.$$ (23)

Учитывая направление рассеянного фотона и электрона отдачи, можно решить задачу геометрически:

$$P'_{\text{ф}}=P_{\text{ф}}\tg{30^{\circ}}=P_{\text{ф}}{1\over\sqrt{3}}\,.$$

Более строгим будет следующее решение: уравнение (5.23) перепишем в проекциях на оси $ОХ$ и $OY$:

$${OX:\atop OY: \vrule height 18pt width0pt}\left\{ \parbox{.9... ...i\hspace*{-.1\hsize} \end{eqnarray}\vspace*{-2.5ex} } \right.$$

Разделим (5.25) на (5.24):

$${P'_{\text{ф}}\over P_{\text{ф}}}=\tg\varphi\,,$$

откуда:

$$P'_{\text{ф}}=P_{\text{ф}}\tg{\varphi}=P_{\text{ф}}{1\over\sqrt{3}}\,,$$

Ответ: ${\displaystyle P_{\text{ф}}\over\displaystyle\sqrt{3}}\,.$

Далее: Квантовая физика и физика Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Колебания и волны