Далее: Волновая и квантовая оптика Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Электричество и магнетизм

Колебания и волны

Задание 31. 

На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

Циклическая частота колебаний точки равна

Варианты ответов: 1) $2c^{-1}$;    2) $4c^{-1}$;    3) $3c^{-1}$;    4) $1c^{-1}$.

Решение: Зададим уравнение колебания в общем виде:

$$x=x_{\displaystyle o}\cos(\omega t+\varphi_{\displaystyle o})\,.$$ (13)

Из первого рисунка определим амплитуду колебания: $x_{\displaystyle o}=1\,\text{м}$; из второго рисунка определим модуль амплитудного значения ускорения: $\vert a_{\displaystyle o}\vert=4\,\text{м}/c^2$.

Ускорение:

$$a={d^2x\over dt^2}\,;\quad a=-\omega^2x_{\displaystyle o}\cos(\omega t+\varphi_{\displaystyle o})\,,$$

где $\vert a_{\displaystyle o}\vert=\vert\omega^2 x_{\displaystyle o}\vert\,;$ следовательно,

$$\omega=\sqrt{a_{\displaystyle o}\over x_{\displaystyle o}}\,.$$

С учетом данных, полученных из графика:

$$\omega=\sqrt{4\over 1}=2c^{-1}.$$

Ответ: $2c^{-1}$.

Задание 32.

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами $A_{\displaystyle o}$. При разности фаз:

$$\Delta\varphi={3\pi\over 2}$$

амплитуда результирующего колебания равна...

Варианты ответов:

$$1)\ 2A_{\displaystyle o};\qquad 2)\ A_{\displaystyle o}\sqrt{2};\qquad 3)\ {5\over 2} A_{\displaystyle o};\qquad 4)\ 0.$$

Решение: Графически амплитуды складываемых колебаний можно изобразить так:

Вычисления проводим по теореме косинусов:

$$A^2=A^2_1+A^2_2-2A_1A_2\cos{3\pi\over 2}\,;$$

$$\cos{3\over 2}\pi=0\,.$$

$A_1=A_2=A_{\displaystyle o}$, по условию

$$A^2=2A^2_{\displaystyle o}\,;\quad A=A_{\displaystyle o}\sqrt{2}\,.$$

Ответ: $A_{\displaystyle o}\sqrt{2}$.

Задание 33 (выберите один вариант ответа).

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси $OX$, имеет вид $\xi=0,01\sin(10^3t-2х)$. Тогда скорость распространения волны равна...

Варианты ответов:    1) 1000 м/с;    2) 2м/с;    3) 500 м/с.

Решение: Скорость распространения волны:

$$v=\lambda\nu\,.$$ (14)

Уравнение плоской волны в общем виде:

$$\xi=\xi_{\displaystyle o}\sin(\omega t-kx)\,,$$ (15)

с учетом условия: $\omega=10^3c^{-1}$ или

$$\xi_{\displaystyle o}=\xi_{\displaystyle o}\sin\omega(t-{x\over v})\,.$$ (16)

Перепишем заданное уравнение:

$$\xi=\xi_{\displaystyle o}\sin10^3(t-{2x\over 10^3})\,.$$

Сравним с уравнением (4.16) и вычислим скорость:

$$v={10^3\over 2}=500{\text{м}\over c}\,.$$

Ответ: $500{\displaystyle\text{м}\over\displaystyle c}\,.$

Задание 34.

На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического $(\vec{E})$ и магнитного $(\vec{H})$ полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

Варианты ответов: 1) 4;    2) 2;    3) 1;    4) 3.

Решение: Плотность потока энергии $\vec{S}$ равна векторному произведению векторов напряженности электрического $\vec{E}$ и магнитного поля $\vec{H}$:

$$\vec{S}=[\vec{E}\times\vec{H}]\,.$$

В соответствии с правилом определения направления результирующего вектора в векторном произведении вектор $\vec{S}$ -- плотность потока энергии -- направлен вниз вдоль $Z$.

В данном случае можно воспользоваться правилом правого винта для нахождения направления вектора $\vec{S}$.

Ответ: $\vec{S}$ направлен вниз, в направлении 1.

Далее: Волновая и квантовая оптика Вверх: Материалы для подготовки к Назад: Электричество и магнетизм