Далее: 8.4. Непараметрические критерии для Вверх: 8. Статистическая обработка результатов Назад: 8.2.1. Статистические критерии различий

8.3. Непараметрические критерии для связных выборок

Парный критерий Т - Вилкоксона

Для решения задач, в которых осуществляется сравнение двух рядов чисел психолог может использовать парный критерий Т - Вилкоксона. Этот критерий применяется для оценки различий экспериментальных данных, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет выявить не только направленность изменений, но и их выраженность, т. е. он позволяет установить, насколько сдвиг показателей в каком-то одном направлении является более интенсивным, чем в другом.

Критерий Т основан на ранжировании абсолютных величин разности между двумя рядами выборочных значений в первом и втором эксперименте (например, до и после какого-либо воздействия). Ранжирование абсолютных величин означает, что знаки разностей не учитываются, однако в дальнейшем наряду с общей суммой рангов находится отдельно сумма рангов, как для положительных, так и для отрицательных сдвигов. Если интенсивность сдвига в одном направлении оказывается большей, то и соответствующая сумма рангов также оказывается больше. Этот сдвиг называется типичным, а противоположный, меньший по сумме рангов сдвиг - нетипичным. Эти два сдвига оказываются дополнительными друг другу. Критерий Т - Вилкоксона базируется на величине нетипичного сдвига, который называется $Т_{эмп}$

Пример: Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания, используя для оценки результатов корректурную пробу. Задача состоит в том, чтобы определить, будет ли уменьшаться количество ошибок внимания у младших школьников после специальных коррекционных упражнений.

Для решения этой задачи психолог у 19 детей определяет количество ошибок при выполнении корректурной пробы до и после коррекционных упражнений. В табл. 6 приведены соответствующие экспериментальные данные и дополнительные столбцы, необходимые для работы по парному критерию Т - Вилкоксона.

Таблица 6

№ испытуемых п/п	До коррек ционной работы	После коррек ционной работы	Сдвиг (значение разности с учетом знака)	Абсолютные величины разностей	Ранги абсолютных величин разностей	Символ нетипичного двига
1	24	22	-2	2	10,5
2	12	12	0	0	2
3	42	41	-1	1	6,5
4	30	31	+1	1	6,5	*
5	40	32	-8	8	15
6	55	44	-11	11	16
7	50	50	0	0	2
8	52	32	-20	20	18
9	50	32	-18	18	17
10	22	21	-1	1	6,5
11	33	34	+1	1	6,5	*
12	78	56	-22	22	19
13	79	78	-1	1	6,5
14	25	23	-2	2	10,5
15	28	22	-6	6	13,5
16	16	12	-4	4	12
17	17	16	-1	1	6,5
18	12	18	+6	6	13,5	*
19	25	25	0	0	2
Сумма					190	$Т_{эмп}$= 26,5

Обработка данных по критерию Т - Вилкоксона осуществляется следующим образом:

В четвертый столбец таблицы вносятся величины сдвигов с учетом знака. Их вычисляют путем вычитания из чисел третьего столбца соответствующих чисел второго столбца.

В пятом столбце в соответствие каждому значению сдвига ставят его абсолютную величину.

В шестом столбце ранжируют абсолютные величины сдвигов, представленных в пятом столбце.

По формуле: $\frac{N\times (N + 1)}{2} = \frac{19\times (19 + 1)}{2} = 190$ подсчитывают сумму рангов. В нашем примере она составляет:

12,5 + 6,5 + 6,5 + 15 + 16 + 2 + 18 + 17 + 6,5 + 6,5 + 19 + 6,5 + 10,5 + 13,5 + 12 + 6,5 + 13,5 +2 = 190

Проверяют правильность ранжирования на основе совпадения сумм рангов полученных двумя способами. В нашем случаи обе величины совпали, 190 = 190, следовательно, ранжирование проведено правильно.

Любым символом отмечают все имеющиеся в таблице нетипичные сдвиги. В нашем случае это три положительных сдвига.

Суммируют ранги нетипичных сдвигов. Это и будет искомая величина $Т_{эмп}$. В нашем случае эта сумма равна: $Т_{эмп}$ = 6,5 + 13,5 + 6,5 = 26,5.

По табл. 15 приложения 6 определяют критические значения $Т_{кр}$ для n = 19.

Нужная нам строка табл. 15 из приложения 6 выделена ниже в табл. 7.

Таблица 7

n	P
	0,05	0,01
19	53	38

Поскольку в нашем случаи основной, типичный сдвиг - отрицательный, то дополнительный, ``нетипичный'' сдвиг будет положительным и на уровне значимости в 5% сумма рангов таких сдвигов не должна превышать числа 53, а при уровне значимости в 1% не должна превышать числа 38. Представим сказанное выше следующим образом:

$\begin{array}{rcl} T_{кр} = 53 & \mbox{для} & P \le 0,05 \\ 38 & \mbox{для} & P \le 0,01\\ \end{array}$

Строим ``ось значимости'':

Анализ ``оси значимости'' показывает, что полученная величина Т$эмп$попадает в зону значимости. Следовательно, можно утверждать, что зафиксированные в эксперименте изменения не случайны и значимы на 1% уровне. Таким образом, психолог может говорить о том, что применение коррекционных упражнений способствует повышению точности выполнения корректурной пробы, следовательно, оказывает положительное влияние на развитие внимания школьников.

Для применения критерия Т - Вилкоксона необходимо соблюдать следующие условия:

Измерение может быть проведено во всех шкалах, кроме номинальной.

Выборка должна быть связной.

Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным.

Критерий Т - Вилкоксона может применяться при численности выборки от 5 до 50 (на большую величину не рассчитана таблица достоверности).

Далее: 8.4. Непараметрические критерии для Вверх: 8. Статистическая обработка результатов Назад: 8.2.1. Статистические критерии различий