Далее: 8.5.2. F Вверх: 8.5. Параметрические критерии различия Назад: 8.5. Параметрические критерии различия

8.5.1. Т - Критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних $\overline Х$ и $\overline У$ двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета по t - критерию Стьюдента такова:

$t_{эмп}= \left\vert {\overline{X}-\overline{Y} \over Sd } \right\vert$

где $Sd = \sqrt {S_x^2 + S_y^2 }$

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = n2 = n, тогда выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

$$Sd = \sqrt {S_x^2 + S_y^2 } = \sqrt {\frac{\sum {\left( {x_i... ... \overline y } \right)^2} } }{\left( {n - 1} \right)\times n}}$$

В случае неравночисленных выборок $n_1 \ne n_2$, выражение будет вычисляться следующим образом:

$$Sd= \sqrt{S_x^2+S_y^2}= {\sqrt{{ \sum(x_i-\overline{x})^2 + ... ...})^2 \over (n_1+n_2 -2)}\cdot{(n_1+n_2)\over(n_1\cdot n_2)} }}$$

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

$к = (n_1 - 1) + (n_2 - 1) = n_1 + n_2 - 2$

где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2 $\times$ n - 2.

Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора

(в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде табл. 9, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Таблица 9

№	Группы		Отклонение от среднего		Квадраты отклонения
	X	Y	$\sum {\left( {x_i - \overline x } \right)}$	$\sum {\left( {y_i - \overline y } \right)}$	$\sum {\left( {x_i - \overline x } \right)} ^2$	$\sum {\left( {y_i - \overline y } \right)} ^2$
1	504	580	- 22	- 58	484	3368
2	560	692	34	54	1156	2916
3	420	700	- 106	62	11236	3844
4	600	621	74	- 17	5476	289
5	580	640	54	- 2	2916	4
6	530	561	4	- 77	16	5929
7	490	680	- 36	42	1296	1764
8	580	630	54	- 8	2916	64
9	470	-	- 56	-	3136	-
Сумма	4734	5104	0	0	28632	18174
Среднее	526	638

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе $\frac{4734}{9} = 526$, в контрольной группе $\frac{5104}{8} = 638$

Разница по абсолютной величине между средними

$$\vert \overline X - \overline Y \vert \quad = \quad 526 \quad - \quad 638 \quad = \quad 112.$$

Подсчет выражения дает:

$$Sd = \sqrt {28632 + 18174\over 9 + 8 - 2} \times \frac{9 + 8}{9\times 8} = \sqrt {736,8} = 27,14$$

Тогда значение $t_{эмп}$, вычисляемое по формуле (9.1), таково:

$t_{эмп} = \frac{112}{27,14} = 4,1$

Число степеней свободы $k$ = 9 + 8-2= 15. По табл. 17 приложения 6 для данного числа степеней свободы находим $t_{кр}$:

2,13 для P $\le$ 0,05

2,95 для P $\le$ 0,01

4,07 для P $\le$ 0,001

Строим ``ось значимости'':

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,]% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза $H_{{о}}$ о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза $H_{1}$ - о различии между экспериментальной и контрольными группами.

Случай связных выборок

В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t - критерия Стьюдента.

Вычисления значений $t_{эмп}$ осуществляется по формуле:

$t_{эмп}=\frac{\overline d }{Sd}$

$$\overline d = \frac{\sum {d_i } }{n} = \frac{\sum {(x_i - y_i )} }{n}$$

где $d_i = x_i - y_i$ - разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а $\overline d$ среднее этих разностей.

В свою очередь $Sd$вычисляется по следующей формуле:

$$Sd = \sqrt {\frac{\sum {d_i^2 - \frac{(\sum {d_i )^2} }{n}} }{n\times (n - 1)}}$$

Число степеней свободы k определяется по формуле k = n - 1

Рассмотрим пример использования t - критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Пример: Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач ``игры в 5'' (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач. Решение задачи представим в виде табл. 10.

Таблица 10

№ испытуемых	1 задача	2 задача	$\overline d$	$\overline d ^2$
1	4,0	3,0	1,0	1,0
2	3,5	3,0	0,5	0,25
3	4,1	3,8	0,3	0,09
4	5,5	2,1	3,4	11,56
5	4,6	4,9	-0,3	0,09
6	6,0	5,3	0,7	0,49
7	5,1	3,1	2,0	4,00
8	4,3	2,7	1,6	2,56
Суммы	37,1	27,9	9,2	20,04

Вначале произведем расчет по формуле:

$$\overline d = \frac{\sum {(x_i - y_i )} }{n} = \frac{9,2}{8} = 1,15$$

Затем применим формулу:

$$Sd = \sqrt {\frac{20,04 - (9,2\times 9,2) / 8}{8\times (8 - 1)}} = 0,41$$

И, наконец, следует применить формулу. Получим:

$t_{эмп} = \frac{1,15}{0,41} = 2,80$

Число степеней свободы: k = 8 - 1 = 7 и по табл. 17 приложения 6 находим $t_{кр}$:

2,37 для P $\le$ 0,05

З,50 для P $\le$ 0,01

5,41 для P $\le$ 0,001

Строим ``ось значимости'':

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уровне гипотеза $H_{{о}}$ отклоняется и принимается гипотеза $H_{1}$ -- о различиях.

Для применения t - критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

Далее: 8.5.2. F Вверх: 8.5. Параметрические критерии различия Назад: 8.5. Параметрические критерии различия