Далее: Дополнительные задания к Интернет-экзамену Вверх: Примерные задания к Интернет-экзамену Назад: Примерные задания к Интернет-экзамену

Основные задания к Интернет-экзамену по математике

1. Определитель $\left\vert\begin{matrix}\alpha&2\cr 6&3\cr \end{matrix}\right\vert=0$ равен нулю при $\alpha$, равном

Варианты ответов: 1) -4; 2) 3; 3) 0; 4) 4.

2. Ранг квадратной матрицы $A$ четвертого порядка равен $r(A)=1$. Тогда определитель этой матрицы равен

Варианты ответов: 1) $det(A)=1$; 2) $det(A)=4$; 3) $det(A)=0$; 4) $det(A)=5$.

3. Установите соответствие между элементами матрицы
$C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\cr c_{21}&c_{22}\cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\cr 1&3\cr \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&6\cr 8&-9\cr \end{pmatrix}$ и их значениями
$1) c_{11}, 2) c_{12}, 3) c_{21}, 4) c_{22}$.

Варианты ответов: 1) -4; 2) 3; 3) -6; 4) 9; 5) 12; 6) 8.

4. Даны матрицы $A=\begin{pmatrix}-3&1\cr 2&-1\cr 0&3\cr \end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}1&-2&0\cr 3&-1&4\cr \end{pmatrix}$. Тогда матрица $A\cdot B$ имеет размерность

Варианты ответов: 1) $3\times2$; 2) $2\times3$; 3) $3\times3$; 4) $2\times2$.

5. Матрица $A=\begin{pmatrix}1\cr 2\cr 3\cr \end{pmatrix}$ умножается на матрицу $B$. Тогда матрица $B$ имеет

Варианты ответов: 1) 1 строку; 2) 2 строки; 3) 3 строки.

6. Даны матрица $A=\begin{pmatrix}3&1\cr 2&-2\cr \end{pmatrix}$ и матрица $B=A^2$. Найдите значение элемента $b_{12}$

Варианты ответов: 1) 1; 2) 2; 3) -3; 4) -1.

7. Даны матрица $A=\begin{pmatrix}-2&3&4\cr 1&-5&2\cr -3&6&-6\cr \end{pmatrix}$. Найдите значение элемента $a_{21}+a_{13}$

Варианты ответов: 1) 3; 2) 2; 3) -7; 4) 5.

8. Матрица $A=\begin{pmatrix}2&3\cr \alpha&4\cr \end{pmatrix}$ не имеет обратной при $\alpha$, равном

Варианты ответов: 1) $\dr89$; 2) $\dr83$; 3) 1; 4) $-\dr13$.

9. Если определитель квадратной матрицы $A$ третьего порядка равен 4, то определитель обратной матрицы $A^{-1}$ равен

Варианты ответов: 1)  $-\dr{1}{4}$; 2)  $\dr{1}{64}$; 3)  $-\dr{1}{64}$; 4) $\dr{1}{4}$.

10. Если $(x_0;y_0)$ - решение системы линейных уравнений
$\left\{\begin{matrix}2x-3y=-12,\cr 4x-3y=-15.\cr\end{matrix}\right.$, тогда $x_0-y_0$ равно

Варианты ответов: 1) -1,5; 2) 1,5; 3) -4,5; 4) 4,5.

11. Дана система линейных уравнений $\left\{\begin{matrix}2x_1-x_2+x_3=-1,\cr 3x_1+2x_2-3x_3=0;\cr x_1+3x_2-4x_3=4.\cr\end{matrix}\right.$ Тогда матричная форма записи этой системы имеет вид

Варианты ответов:

1)  $\begin{pmatrix}2&-1&1\cr 3&2&-3\cr 1&3&-4\cr \end{pmatrix}(x_1 x_2 x_3)=\begin{pmatrix}-1\cr0\cr4\cr \end{pmatrix}$;

2)  $\begin{pmatrix}2&3&1\cr -1&2&3\cr 1&-3&-4\cr \end{pmatrix}(x_1 x_2 x_3)=(-1 0 4)$;

3)  $\begin{pmatrix}2&-1&1\cr 3&2&-3\cr 1&3&-4\cr \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\cr x_3\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\cr0\cr4\cr \end{pmatrix}$;

4)  $\begin{pmatrix}2&3&1\cr -1&2&3\cr 1&-3&-4\cr \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\cr x_3\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\cr0\cr4\cr \end{pmatrix}$.

12. Из данных систем линейных уравнений выберите системы, готовые к обратному ходу метода Гаусса

Варианты ответов:

1)  $\left\{\begin{matrix}x_1&+&3x_2&-&x_3&=&-5,\cr 3x_1&-&x_2&-&4x_3&=\cr &&5x_2&-&3x_3&=&-4;\cr\end{matrix}\right.$;

2)  $\left\{\begin{matrix}5x_1&-&3x_2&-&4x_3&=&8,\cr &-&7x_2&+&3x_3&=&-4;\cr &&&&2x_3&=&-6;\cr\end{matrix}\right.$;

3)  $\left\{\begin{matrix}x_1&+&2x_2&-&4x_3&+&3x_4&=&-9,\cr &-&x_2&&&+&2x_4&=&-2;\cr &&&&&&x_4&=&-3;\cr\end{matrix}\right.$;

4)  $\left\{\begin{matrix}x_1&-&4x_2&+&x_3&=&-3,\cr &-&2x_2&+&3x_3&=\cr 3x_1&+&5x_2&-&3x_3&=&-3.\cr\end{matrix}\right.$.

13. Квадратичная форма двух переменных $3x^2+2xy+2y^2$ является

Варианты ответов:

1) неположительно определенной;

2) знаконеопределенной;

3) отрицательно определенной;

4) положительно определенной.

14. Даны точки $A(-7;3)$ и $B(3;5)$. Тогда сумма координат середины отрезка $AB$ равна (введите ответ).

15. Найдите расстояние между точками $A(2;-5)$ и $B(-3;1)$

Варианты ответов: 1) $\sqrt{13}$; 2) $\sqrt{41}$; 3) $\sqrt{61}$; 4) 8.

16. Укажите правильное соответствие между уравнения и типами уравнений прямой на плоскости

1) $y=-3x+7$;

2)  $\dr x4+\dr y5=1;$

3) $x=-2;$

4) $y-3=5(x+6).$

Варианты ответов:

1) уравнение прямой в отрезках;

2) общее уравнение прямой;

3) уравнение прямой, параллельной оси ординат;

4) уравнение прямой, параллельной оси абсцисс;

5) уравнение прямой с угловым коэффициентом;

6) уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

17. Точка $T(2;3)$ лежит на прямой с уравнением

Варианты ответов (укажите не менее двух вариантов ответа): 1) $4x-2y+3=0$; 2) $y=-2x+5$; 3) $y=3x-3$; 4) $x-4y+10=0$.

18. Полярные координаты точки $A(3;-3\sqrt3)$ имеют вид

Варианты ответов: 1)  $\left(6;\dr\pi3\right)$; 2)  $\left(6;\dr\pi6\right)$; 3)  $\left(6;\dr{5\pi}{3}\right)$; 4)  $\left(36;-\dr\pi3\right)$.

19. Координата $x_0$ точки $A(x_0;1;-7)$, принадлежащей плоскости $5x+y+z+1=0$ равна

Варианты ответов: 1) 3; 2) 1; 3) 5; 4) 4.

20. Даны точки $A(1;-3;4)$ и $B(-1;-2;3).$ Тогда координаты точки $M$, симметричной точке $B$ относительно точки $A$, равны

Варианты ответов: 1) $(-4;3;5)$; 2) $(3;-4;5)$; 3) $(-1;-3;2)$;
4) $(-3;-1;2)$.

21. Если плоскость $Ax+By+5z-9=0$ проходит через точку $T(2;-2;3)$, то разность $A-B$ коэффициентов равна (введите ответ).

22. Центр сферы, заданной уравнением $(x+1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ имеет координаты

Варианты ответов: 1)  $(-1;-2;-3)$; 2) $(1;-2;-3)$; 3) $(1;2;3)$; 4) $(-1;2;3)$.

23. Центр сферы, заданной уравнением $x^2+(y-5)^2+z^2-10x-26=0$ имеет координаты

Варианты ответов: 1)$(0;-5;-5)$; 2)$(0;5;5)$; 3)$(5;0;-5)$; 4)$(5;0;0)$.

24. Установите соответствие между пределами и их значениями

1) $\limx{0}\dr{\sin3x}{x^3};$

2) $\limx{0}\dr{e^{-2x}-1}{2};$

3) $\limx{0}\dr{\tg(-2x)}{x}.$

Варианты ответов: 1) 2; 2) 1; 3) $\infty$; 4) -2: 5) 0.

25. Значение предела $\limx{0}\dr{\sin3x}{4x}$ равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) $\dr34$; 4) $\dr14$.

26. Установите соответствие между функцией и ее точкой разрыва

1) $y=\dr{1}{x^2+2x+1};$

2) $y=e^{\dr 1x};$

3) $y=\sin\dr{1}{x-4};$

4) $y=\ln\left(\dr{2}{x+3}-9\right).$

Варианты ответов: 1) 4; 2) 1; 3) 0; 4) -1; 5) -3.

27. Производная частного $\dr{x+2}{x-2}$ равна

Варианты ответов: 1)  $-\dr{4}{(x-2)^2}$; 2)  $\dr{2x}{(x-2)^2}$; 3)  $\dr{4}{(x-2)^2}$;
4)  $-\dr{4}{x-2}$.

28. Производная второго порядка функции $y=\cos3x$ имеет вид

Варианты ответов: 1) $9\sin x$; 2) $-3\sin x$; 3) $-9\cos3x$; 4) $9\cos3x$.

29. Касательная к графику функции $y=f(x)$ проходит через начало координат и точку $A(-4;-24)$. Тогда значение $f'(-4)$ равно (введите ответ).

30. Функция $y=f(x)$ задана на отрезке $[a;b]$. Укажите количество точек экстремума функции, если график ее производной имеет вид (введите ответ).

31. Укажите все верные утверждения ($C$ - произвольная постоянная)

Варианты ответов (укажите не менее двух вариантов ответа):

1)  $\int d(\sin2x)dx=(\sin2x)'+C$;

2)  $\left(\int(3-5x^2)dx\right)'=3-5x^2;$

3)  $\int(x^2-6)e^{-x}dx=\int(x^2-6)dx\cdot\int e^{-x}dx$;

4)  $\int2\ln xdx=2\int\ln xdx$.

32. Установите соответствие между интегралом и его значением

1) $\int\sin^3x\cos xdx;$

2) $\int e^x(\sin e^x)dx;$

3) $\int\dr{\sin xdx}{\cos^2x};$

4) $\int\dr{dx}{1-x^2}.$

Варианты ответов:

1)  $\dr14\sin^4x$;

2) $-\cos e^x$;

3) $\tg x$;

4)  $\dr{1}{\cos x}$;

5)  $\dr12\ln\left\vert\dr{1+x}{1-x}\right\vert.$

33. Площадь криволинейной трапеции $D$

равна

Варианты ответов: 1) $e$; 2) $e-1$; 3) $2e$; 4) $e+1$.

34. Первый член числовой последовательности $\dr{\sqrt{(n+1)(n+7)}}{n!+1}$ равен

Варианты ответов: 1) 2; 2)  $\dr{1}{20}$; 3) 3; 4) 1.

35. Второй член $a_2$ числовой последовательности $a_n=\dr{4\cdot 2^{2n-1}}{n}$ равен (введите ответ).

36. Установите соответствие между рядами и их названиями

1) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{(x+3)^n}{n!};$

2) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{(-1)^n(n-1)!}{n^2};$

3) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{2n-1}{3+n^2}.$

Варианты ответов:

1) степенной;

2) знакоположительный;

3) знакочередующийся.

37. Укажите сходящиеся числовые ряды

Варианты ответов: 1)  $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{\root5\of{n^4}}$; 2)  $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{\root4\of{n}}$; 3)  $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{\sqrt{n^7}}$; 4)  $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{n^2}$.

38. Радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ равен 10, тогда интервал сходимости этого ряда имеет вид

Варианты ответов: 1) $[-5;5]$; 2) $(-10;0)$; 3) $(0;10)$; 4) $(-10;10)$.

39. Если $f(x)=x^3-3$, то коэффициент $a_4$ разложения данного ряда в ряд по степеням $(x-3)$ равен

Варианты ответов: 1) 3; 2) 0; 3) 0,25; 4) 1.

40. Укажите дифференциальное уравнение первого порядка

Варианты ответов (укажите не менее двух вариантов ответа): 1) $dy\!=\!(5\!-\!x)ydx$;2)  $2xy=y'-xe^{-x^2}$; 3)  $y-5y=e^{-5x}$; 4)  $\dr{y''}{y'}\sqrt{x\!-\!1}\!=\!1$.

41. Если дифференциальное уравнение имеет вид $xy'=y$, $y(4)=12$, то в общем решении $y=Cx$ произвольная постоянная $C$ равна (введите ответ).

42. Дано дифференциальное уравнение $y''+5y'+6=0$, тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Варианты ответов:

1)  $k^2-5k+6=0$;

2)  $k^2+5k+6=0$;

3)  $k^2-5k-6=0$;

4)  $1+5k+6k^2=0$.

43. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, имеет корни $\lambda_1=\lambda_2=-1$. Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

Варианты ответов:

1)  $y=C_1e^{-x}+C_2e^{-x}$;

2)  $y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$;

3)  $y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}$;

4)  $y=C_1e^{-x}+C_2e^{x}$.

44. Установите соответствие между дифференциальными уравнениями и их характеристическими уравнениями

1) $y^{IV}-4y'''-y''=0;$

2) $y^{IV}-4y'''-y''+y'=0;$

3) $y^{IV}-4y'''-y'+y=0.$

Варианты ответов:

1)  $\lambda^4-4\lambda^3-\lambda+1=0$;

2)  $\lambda^4-4\lambda^3-\lambda^2=0$;

3)  $\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=0$;

4)  $\lambda^3-\lambda^2-\lambda=0$;

5)  $\lambda^4-4\lambda^3-\lambda^2+\lambda=0$.

45. Вероятность достоверного события равна

Варианты ответов: 1) 0; 2) 0,995; 3) -1; 4) 1.

46. На область, имеющую форму квадрата (см. рисунок), случайным образом бросается материальная точка. Найти вероятность попадания в заштрихованную область

Варианты ответов: 1) 1; 2) 0,5; 3) 0; 4) 0,2.

47. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков соответственно равны 0,9 и 0,4. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба равна

Варианты ответов: 1) 0,36; 2) 0,4; 3) 0,45; 4) 0,5.

48. В первом ящике 7 красных и 9 синих шаров, во втором - 4 красных и 11 синих шаров. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный, равна

Варианты ответов:

1)  $\dr12\cdot\dr{7+4}{9+11}$; 2)  $\dr12\cdot\left(\dr{7}{16}+\dr{4}{15}\right)$; 3)  $\dr12\cdot\left(\dr{7}{9}+\dr{4}{11}\right)$; 4)  $\dr{7}{9}+\dr{4}{11}$.

49. Пусть $X$ - дискретная случайная величина, заданная законом распределения

$\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline X&-1&5\\ \hline p&0,4&0,6\\ \hline \end{tabular}$.

Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно

Варианты ответов: 1) 3,4; 2) 4; 3) 2; 4) 2,6.

50. Случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[1;3]$, тогда случайная величина $Y=3X+1$ имеет

Варианты ответов:

1) другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения;

2) нормальное распределение на отрезке $[3;9]$;

3) равномерное распределение на отрезке $[4;10]$;

4) нормальное распределение на отрезке $[4;10]$.

51. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом $n=70,$ полигон частот которой имеет вид

Тогда число вариант $x_i=1$ в выборке равно

Варианты ответов: 1) 7; 2) 8; 3) 70; 4) 6.

52. Мода вариационного ряда 1, 2, 3, 4, 4, 6 равна

Варианты ответов: 1) 4; 2) 20; 3) 5; 4) 6.

53. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в км) 2, 3, 8, 8. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна

Варианты ответов: 1) 5; 2) 5,25; 3) 5,5; 4) 6.

54. Точная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид

Варианты ответов: 1) (10,5;11,5); 2) (11;11,5); 3) (10,5;11);
4) (10,5;10,9).

Далее: Дополнительные задания к Интернет-экзамену Вверх: Примерные задания к Интернет-экзамену Назад: Примерные задания к Интернет-экзамену