Далее: Домашнее задание № 6 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 5

Тема 5. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ

	0$^{0}$	30$^{0}$	45$^{0}$	60$^{0}$	90$^{0}$
$\alpha$	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$
sin$\alpha$	0	$\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 2 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 2 } 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 3 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	1
сos$\alpha$	1	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 3 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 2 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 2 } 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	$\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}$	0
tg$\alpha$	0	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 3 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$3$}$	1	$\sqrt 3$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt 3$	1	$\raise0.7ex\hbox{${\sqrt 3 }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$3$}$	0

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Первоначально синус, косинус, тангенс и котангенс рассматриваются как тригонометрические функции острого угла. Далее в разделе ``Тригонометрия'' проводится обобщение этих понятий, и указанные функции рассматриваются как функции действительного числа.

Здесь учитывается, что для любого действительного числа х существует угол, радианная мера которого равна х. Одним из ведущих свойств тригонометрических функций является периодичность.

Определение: Функцию $y = f \left( x \right)$ называют периодической, если существует число $T \ne 0$ такое, что для любого $х$ из области определения функции $y = f \left( x \right)$ чи?сла $x + T$ и $x - T$ также входят в область определения функции $y = f \left( x \right)$ и выполняется равенство: $f \left( {{\kern 1pt} x + T{\kern 1pt} } \right) = f \left( {{\kern 1pt} x{\kern 1pt} } \right)$.

Число $Т$ называют периодом функции $y = f \left( x \right)$. Наименьший положительный период функции называют ее главным периодом.

1. Функция y = sin x.

Область определения - все множество действительных чисел R.

Область изменения - отрезок [- 1; 1].

Функция $y = \sin x$ нечетная; периодическая с главным периодом $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi$; непрерывная на всей области определения. На промежутках $\left[ {{\kern 1pt} - \frac{\pi }{2} + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi {\kern 1pt... ...pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} ,\;n \in {\rm Z}$ функция $y$ = sin $x$ возрастает, а на промежутках $\left[ {{\kern 1pt} \frac{\pi }{2} + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} ... ...pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} ,\;n \in {\rm Z}$ убывает.

График функции $y$ = sin $x$ называется синусоидой.

2. Функция y = соs x.

Область определения - все множество действительных чисел R.

Область изменения - отрезок [- 1; 1].

Функция $y=соs \quad x$ четная; периодическая с главным периодом $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi$; непрерывная на всей области определения. На промежутках $\left[ {{\kern 1pt} 0 + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt} ... ...pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} ,\;n \in {\rm Z}$ функция
$y=соs \quad x$ убывает, а на промежутках $\left[ {{\kern 1pt} \pi + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt... ...pi {\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} ,\;n \in {\rm Z}$ возрастает.

График функции $y$ = sin $x$ называется косинусоидой.

3. Функция y = tg x.

Область определения - множество действительных чисел, отличных от чисел $x = \frac{\pi }{2} + \pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} k$, где $k \in {\rm Z}$.

Область изменения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Функция $y$ = tg $x$ нечетная; периодическая с главным периодом $\pi$. Функция непрерывна и возрастает на промежутках $\left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} - \frac{\pi }{2} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi... ...\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} k{\kern 1pt} } \right){\kern 1pt} ,\;k \in {\rm Z}$.

График функции $y$ = tg $x$ называется тангенсоидой.

4. Функция y = сtg x.

Область определения - множество действительных чисел, отличных от чисел $x = \pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} k$, где $k \in {\rm Z}$.

Область изменения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Функция $y$ = сtg $x$ нечетная; периодическая с главным периодом $\pi$. Функция непрерывна и убывает на промежутках $\left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} k{\kern 1pt} {\ker... ...\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} k{\kern 1pt} } \right){\kern 1pt} ,\;k \in {\rm Z}$.

Обратные тригонометрические функции

1. Функция y = arcsin x	2. Функция y = arcсоs x
Область определения: [- 1; 1] Область изменения: $\left[ {{\kern 1pt} - \frac{\pi }{2};\; \frac{\pi }{2}{\kern 1pt} } \right]$ Возрастает на [- 1; 1] Непериодическая, нечетная	Область определения: [- 1; 1] Область изменения: $\left[ {{\kern 1pt} 0;\; \pi {\kern 1pt} } \right]$ Убывает на [- 1; 1] Непериодическая

3. Функция y = arctg x	4. Функция y = arсctg x
Область определения: $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$ . Область изменения: $\left( {{\kern 1pt} - \frac{\pi }{2};\; \frac{\pi }{2}{\kern 1pt} } \right)$. Возрастает на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$. Непериодическая, нечетная	Область определения: $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$ . Область изменения: $\left( {{\kern 1pt} 0;\; \pi {\kern 1pt} } \right)$. Убывает на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$. Непериодическая

Для решения тригонометрических уравнений и неравенств применяется единичная окружность, совмещенная с системой координат. Величина sin x отмечается по оси ординат; величина cos х по оси абсцисс; величина tg x отмечается на прямой тангенсов $х =$1 от точки (1;0); величина ctg x отмечается на прямой котангенсов $у$ = 1 от точки (0; 1).

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО АРГУМЕНТА

1. sin $^{2} \quad x$ + cos $^{2} \quad x$= 1; 2. 1 + tg $^{2} \quad x$ = $\frac{1}{\cos ^2x}$; 3. 1 + ctg $^{2} \quad x=\frac{1}{\sin ^2x}$; 4. tg $x$ ctg $x$ = 1.

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

1. sin ($x +y)$ = sin $x$ cos $y$ + sin $y$ cos $x$; 2. sin ($x$- $y)$ = sin $x$ cos $y$ - sin $y$ cos $x$; 3. sin 2$x$ = 2 sin $x$ cos $x$;	4. cos ($x +y)$ = cos $x$ cos $y$ - sin $x$ sin $y$; 5. cos ($x$ - $y)$ = cos $x$ cos $y$ + sin $x$ sin $y$; 6. cos 2$x$ = cos $^{2} \quad x$ - sin $^{2} \quad x$.

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1. sin $x$ + sin $y$ = 2 $\sin \frac{x + y}{2}\cos \frac{x - y}{2}$; 3. cos $x$ + cos $y$ = 2 $\cos \frac{x + y}{2}\cos \frac{x - y}{2}$;

2. sin $x$ - sin $y$ = 2 $\sin \frac{x - y}{2}\cos \frac{x + y}{2}$; 4. cos $x$ - cos $y$= -2 $\sin \frac{x + y}{2}\sin \frac{x - y}{2}$.

Примеры: 1. Упростить: а) (sin $x$ - cos $x)^{2}$ - sin 2$x.$ Данное выражение преобразуется к виду sin$^{2 }x$ + 2sin $x$ cos $x$ + cos$^{2 }x$ - sin 2$x$ = sin $^{2} \quad x$ + cos $^{2} \quad x$ +2sin $x$ cos $x$ - sin 2$x$ =

= 1 + sin 2$x$ - sin 2$x$ = 1;

б) $\frac{\sin 40^0}{\sin 20^0}=\frac{2\sin 20^0\cos 20^0}{\sin 20^0}$= 2 сos 20$^{0}$.

2. Вычислить: а) sin 74$^{0}$ cos 16$^{0}$ + cos 74$^{0}$ sin 16$^{0}$ = sin (74$^{0}$ + 16$^{0})$= sin 90$^{0}$ = 1;

б) $\frac{\sin 130^0 + \sin 110^0}{\cos 130^0 + \cos 110^0}=\frac{2\sin 120^0\cos 10^0}{2\cos 120^0\cos 10^0}$= tg 120$^{0}$ = tg (90$^{0}$ + 30$^{0})$ = - ctg 30 $^{0}= - \frac{1}{\sqrt 3 }$.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

$\alpha$	$\alpha + 2\pi {\kern 1pt} n$	$- \alpha$	$\pi - \alpha$	$\pi + \alpha$	$\frac{\pi }{2} - \alpha$	$\frac{\pi }{2} + \alpha$	$\frac{3\pi }{2} - \alpha$	$\frac{3\pi }{2} + \alpha$
sin$\alpha$	sin$\alpha$	-sin$\alpha$	sin$\alpha$	-sin$\alpha$	cos$\alpha$	cos$\alpha$	-cos$\alpha$	-cos$\alpha$
cos$\alpha$	cos$\alpha$	cos$\alpha$	-cos$\alpha$	-cos$\alpha$	sin$\alpha$	-sin$\alpha$	-sin$\alpha$	sin$\alpha$
tg$\alpha$	tg$\alpha$	-tg$\alpha$	-tg$\alpha$	tg$\alpha$	ctg$\alpha$	-ctg$\alpha$	ctg$\alpha$	-ctg$\alpha$
ctg$\alpha$	ctg$\alpha$	-ctg$\alpha$	-ctg$\alpha$	ctg$\alpha$	tg$\alpha$	-tg$\alpha$	tg$\alpha$	-tg$\alpha$

ТОЖДЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. arcsin (- $x)$ = - arcsin $x$; 2. arccos (- $x)=\pi \quad -$ arсcos $x$; 3. arcsin$\alpha$ + arccos $\alpha =\frac{\pi }{2}$;

4. arctg (- $x)$ = arctg $x$; 5. arcctg (- $x)=\pi \quad -$ arсctg $x$; 6. arctg$\alpha$ + arcctg $\alpha =\frac{\pi }{2}$.

Примеры: Вычислить: а) arcsin (- $\frac{1}{2})$ = - arcsin $\frac{1}{2}= - \frac{\pi }{6}$;
б) arccos (- $\frac{1}{2})=\pi \quad -$ arccos $\frac{1}{2}=\pi$ - $\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$; в) arctg (- $\sqrt 3 )= -$ arctg $\sqrt 3 = - \frac{\pi }{3}$.

Далее: Домашнее задание № 6 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 5