Далее: Домашнее задание № 7 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 6

Тема 6. Тригонометрические уравнения

Решение простейших уравнений:

1. $\sin x = a;\quad \left\vert { a } \right\vert \le 1;\quad x = \left( { - 1{\kern 1pt} } \right)^n\arcsin a + \pi n,\quad n \in {\rm Z}$.

Частные случаи: $\sin x = 0;\quad x = \pi n; \quad \sin x = 1;\quad x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n;$

$$\sin x = - 1;\quad x = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n,{\kern 1pt} n \in Z.$$

2. $\cos x = a;\quad \left\vert { a } \right\vert \le 1;\quad x = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n \in {\rm Z}$.

Частные случаи: $\cos x = 0;\quad x = \frac{\pi }{2} + \pi n; \quad \cos x = 1;\quad x = 2\pi n;$

$$\cos x = - 1;\quad x = \pi + 2\pi n.$$

3. tg $x=a$; $x$ = arctg $a+\pi n,\quad n \in {\rm Z}$. сtg $x=a$; $x$ = arcсtg $a+\pi n,\quad n \in {\rm Z}$.

Примеры: Решить уравнение:

а) $\sin x = 0,5\quad \Rightarrow \quad x = \left( { - 1{\kern 1pt} } \right)^n\ar... ...{ - 1{\kern 1pt} } \right)^n \cdot \frac{\pi }{6} + \pi n,\quad n \in {\rm Z}$;

б) $\cos 2x = \frac{1}{2}\;\; \Rightarrow \;\;2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi ... ...n 1pt} n\;\; \Rightarrow \;\;x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi n,\;\;n \in {\rm Z}$;

в) $3\sin ^2x - 5\sin x - 2 = 0$. Пусть $\sin x = t$, тогда получим уравнение: $3t^2 - 5t - 2 = 0$, корни которого $t_1 = 2$ (посторонний корень) и $t_2 = - \frac{1}{3}$. Значит, $\sin x = - \frac{1}{3}\quad \Rightarrow \quad x = \left( { - 1{\kern 1pt} } \right)^n\arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \pi n,\quad n \in {\rm Z}$;

г) $\sin ^2x + \sin x \cdot \cos x = 0\quad \Rightarrow \quad \sin x \left( {{\kern 1pt} \sin x + \cos x{\kern 1pt} } \right) = 0$; перейдем к совокупности $\left[ {\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x + \cos x = 0 \\ \end{array}} \... ...x_2 = - \frac{\pi }{4} + \pi n \\ \end{array}} \right.\;;\quad n \in {\rm Z}$;

д) $2 tg^2 3x + 3 tg\;3x - 2 = 0\quad \Rightarrow \quad \left[ {\begin{array}{l... ...\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\pi n \\ \end{array}} \right.\;;\quad n \in {\rm Z}$.

Далее: Домашнее задание № 7 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 6