Далее: Домашнее задание № 10 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 9

Тема 9. Последовательности. прогрессии

Определение: Числовая последовательность - это функция натурального аргумента: $a{\kern 1pt} _n = f \left( {{\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right),\quad n \in {\rm N}$.

Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым постоянным числом, называемым разностью прогрессии: $a_{{\kern 1pt} n} = a{\kern 1pt} _{n - 1} + d$.

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии: $b_{{\kern 1pt} n} = b{\kern 1pt} _{n - 1} \cdot {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} q$.

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Формула общего члена
$a{\kern 1pt} _n = a{\kern 1pt} _1 + d \cdot \left( {{\kern 1pt} n - 1{\kern 1pt} } \right)$	$b{\kern 1pt} _n = b{\kern 1pt} _1 \cdot q{\kern 1pt} ^{n - 1}$
Основное свойство
$a_{{\kern 1pt} n} = \frac{a{\kern 1pt} _{n - 1} + a{\kern 1pt} _{n + 1} }{2}$	$b{\kern 1pt} _n {\kern 1pt} ^2 = b{\kern 1pt} _{n - 1} \cdot b{\kern 1pt} _{n + 1}$
Сумма $n$ членов
$S{\kern 1pt} _n = \frac{a{\kern 1pt} _1 + a{\kern 1pt} _n }{2} \cdot n$	$S{\kern 1pt} _n = \frac{b{\kern 1pt} _1 \cdot \left( {{\kern 1pt} 1 - q^n{\kern 1pt} } \right)}{1 - q}$

Если $\left\vert { q } \right\vert < 1$, то сумма всех членов геометрической прогрессии находится по формуле: $S{\kern 1pt} = \frac{b{\kern 1pt} _1 }{1 - q}$.

Примеры:

1. Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии: а) 3; 7; ...б) - 5; - 1; ...

Решение: а) В прогрессии 3; 7; ... $a_1 = 3,\;\;a_2 = 7$. Следовательно, $d = a_2 - a_1 = 4$. Тогда $a{\kern 1pt} _{15} = a_1 + d \cdot {\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} 15 - 1{\kern 1pt} } \right) = 3 + 4 \cdot 14 = 59$.

б) В прогрессии - 5; - 1; ... $a_1 = - 5,\;\;a_2 = - 1$. Следовательно, $d = - 1 - \left( { - 5{\kern 1pt} } \right) = 4$.

Тогда $a{\kern 1pt} _{15} = a_1 + d \cdot {\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} 15 - 1{\kern 1pt} } \right) = - 5 + 4 \cdot 14 = 51$.

2. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма первых семи ее членов равна 15. Найти первый и седьмой члены этой прогрессии.

Решение: Так как $a{\kern 1pt} _7 = a_1 + 4 \cdot \left( {7 - 1} \right) = a_1 + 24$ и $S_7 = \frac{a_1 + a_7 }{2} \cdot 7$, можно составить систему: $\left\{ {\begin{array}{l} a_7 = a_1 + 24 \\ 105 = \frac{a_1 + a_7 }{2} \cdot 7 \\ \end{array}} \right.$. Преобразуем выражения, стоящие под знаком системы, получим: $\left\{ {\begin{array}{l} a_7 - a_1 = 24 \\ a_7 + a_1 = 30 \\ \end{array}} \right.$. Сложим почленно оба равенства и получим: $2a_7 = 54$.

Так как $a_7 = 27$, то $a_1 = 3$.

3. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого равна 3. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Решение: Составим систему уравнений:

$\left\{ {\begin{array}{l} b_1 + b_3 = 15 \\ b_2 + b_4 = 30 \\ \end{array}} \... ... \left( {{\kern 1pt} 1 + q^2{\kern 1pt} } \right) = 30 \\ \end{array}} \right.$. Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим $q = 2$. Подставив это значение в первое уравнение, получим $b_1 = 3$. Следовательно: $S_{10} = \frac{3 \cdot \left( {{\kern 1pt} 2^{10} - 1{\kern 1pt} } \right)}{2 - 1} = 3069$.

4. Найти сумму бесконечной прогрессии: $2 ;\; - \frac{2}{3} ;\;\frac{2}{9} ;\; - \frac{2}{27} ;\;\ldots$

Решение: Найдем знаменатель данной прогрессии: $q = \frac{b_2 }{b_1 } = \frac{ - \frac{2}{3}}{2} = - \frac{1}{3}$.

Сумму вычислим по формуле: $S = \frac{b_1 }{1 - q} = \frac{2}{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} = \frac{3}{2}$.

Далее: Домашнее задание № 10 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 9