Далее: Домашнее задание № 11 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 10

Тема 10. Уравнения и неравенства с параметром

В ряде уравнений и неравенств некоторые коэффициенты могут быть обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. При подстановке вместо этих букв конкретных числовых значений уравнение или неравенство будет содержать только числовые коэффициенты. Тем самым параметр позволяет найти общее решение семейства однотипных уравнений или неравенств.

Решение задачи с параметром предполагает реализацию следующего плана:

1. Найти области определения основной переменной и параметра.

2. Найти контрольные значения параметра.

3. Определить, при каком значении параметра уравнение или неравенство имеет решение; представить общий вид решения в виде формулы; указать количество решений в зависимости от значений параметра.

Задачи с параметром могут решаться аналитически и графически.

Примеры:

1. При каких значениях параметра уравнение $x^2 + 2 \left( { t + 1 } \right) x + 9{\kern 1pt} {\kern 1pt} t - 5 = 0$ имеет два различных отрицательных корня?

$Решение$: Уравнение имеет два различных корня при положительном дискриминанте: $4 \left( {{\kern 1pt} t + 1{\kern 1pt} } \right)^2 - 4 \left( {{\kern 1pt} 9{\kern 1pt} {\kern 1pt} t - 5{\kern 1pt} } \right) > 0$.

Если оба корня уравнения отрицательны, то по теореме Виета:

$$x_1 \cdot x_2 = 9{\kern 1pt} t - 5 < 0{\rm и} \quad x_1 + x_2 = - 2 \left( {{\kern 1pt} t + 1{\kern 1pt} } \right) < 0.$$

Составим систему условий для параметра:

$$\left\{ {\begin{array}{l} \left( {{\kern 1pt} t + 1} \right)^2 - ... ...\Leftrightarrow \quad t \in \left( { - 1;\; \frac{5}{9}{\kern 1pt} } \right).$$

Ответ: $\quad t \in \left( { - 1;\; \frac{5}{9}{\kern 1pt} } \right)$.

2. Решить уравнение $49^x - 2p \cdot 7^x + p^2 - 1 = 0$. Указать количество решений уравнения в зависимости от значений параметра $р$.

Решение: основная переменная $х$ и параметр $р$ могут быть любым действительным числом. Обозначим $y = 7^x$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $y^2 - 2 p{\kern 1pt} {\kern 1pt} y + p^2 - 1 = 0$.

а) Исходное уравнение будет иметь 2 корня, если $y_1$ и $y_2$ положительны: $D = 4p^2 - 4 \left( {{\kern 1pt} p^2 - 1{\kern 1pt} } \right) = 4$. Вспомогательное квадратное уравнение всегда имеет 2 корня:

$y_1 = p - 1; \quad y_2 = p + 1.$ Оба корня больше нуля при $p > 1$.

Тогда получаем: $x_1 = \log _7 \left( {p - 1} \right);\;\;x_2 = \log _7 \left( {p + 1} \right)$.

б) Исходное уравнение будет иметь 1 корень, если меньший из корней вспомогательного уравнения отрицателен или равен нулю, а второй - больше нуля:

$$\left\{ {\begin{array}{l} p - 1 \le 0 \\ p + 1 > 0 \\ \end{arra... ... 1 < p \le 1. \quad\mbox{Получаем} \quad x = \log _7 \left( {p + 1} \right).$$

в) Если оба корня вспомогательного уравнения отрицательны или равны нулю, то исходное уравнение не имеет корней:

$$\left\{ {\begin{array}{l} p - 1 < 0 \\ p + 1 \le 0 \\ \end{array}} \right.\quad \Leftrightarrow \quad p \le - 1.$$

Ответ: если $p \le - 1$, уравнение не имеет решений;

если $- 1 < p \le 1$, уравнение имеет один корень $x = \log _7 \left( {p + 1} \right)$;

если $p > 1$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \log _7 \left( {p - 1} \right);\;\;x_2 = \log _7 \left( {p + 1} \right)$.

3. Решить неравенство $a x^2 < 1$.

Решение: а) При $а$ = 0 получим неравенство $0 \cdot x^2 < 1$, верное при любом действительном $х$.

б) Если $a > 0$, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 < \frac{1}{a}$, решение которого принадлежит промежутку $\left( {{\kern 1pt} - \frac{1}{\sqrt a };\; \frac{1}{\sqrt a }{\kern 1pt} } \right)$.

в) Если $a < 0$, исходное неравенство равносильно неравенству $x^2 > \frac{1}{a}$, справедливому при всех действительных $х$.

Ответ: если $a \le 0$, то $x \in \left( {{\kern 1pt} - \;\infty ;\; + \;\infty {\kern 1pt} } \right)$; если $a > 0$, то $x \in \left( {{\kern 1pt} - \frac{1}{\sqrt a };\; \frac{1}{\sqrt a }{\kern 1pt} } \right)$.

4. Найти все значения $а$, при которых уравнение $x^3 - 6x^2 + 9x + 1 - a = 0$ имеет решение, принадлежащее отрезку $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$.

Решение: Перепишем уравнение в виде $x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = a$.

Рассмотрим функцию $f \left( {{\kern 1pt} x{\kern 1pt} } \right) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и найдем множество ее значений на отрезке $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$, используя понятие производной ${f}' \left( x \right) = 3x^2 - 12x + 9$; функция $f \left( x \right)$ имеет экстремумы при ${f}' \left( x \right) = 0$; $3x^2 - 12x + 9 = 0;\quad \quad x^2 - 4x + 3 = 0;\quad \quad x_1 = 1;\quad x_2 = 3$; $x_1$ и $x_2$ принадлежат отрезку $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$. В точке $х$ = 1 функция $f \left( x \right)$ имеет локальный максимум $f \left( {{\kern 1pt} 1{\kern 1pt} } \right) = 5$; в точке $х$ = 3 функция $f \left( x \right)$ имеет минимум $f \left( {{\kern 1pt} 3{\kern 1pt} } \right) = 1$.

На концах отрезка функция принимает следующие значения: $f \left( {{\kern 1pt} 0{\kern 1pt} } \right) = 1;\quad f \left( {{\kern 1pt} 5{\kern 1pt} } \right) = 21$.

Таким образом, на отрезке $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$ $f \left( x \right)$ принимает значения из отрезка $\left[ {{\kern 1pt} 1;\;21{\kern 1pt} } \right]$. Следовательно, если параметр $а$ будет принимать значения из отрезка $\left[ {{\kern 1pt} 1;\;21{\kern 1pt} } \right]$, то исходное уравнение будет иметь решение, принадлежащее отрезку $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$. При других значениях параметра требования задачи не будут выполнены.

Эту же задачу можно решить графическим методом, построив графики функций $f \left( {{\kern 1pt} x{\kern 1pt} } \right) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и $g \left( x \right) = a$ и рассмотрев их поведение на отрезке $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;5{\kern 1pt} } \right]$.

Далее: Домашнее задание № 11 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 10