Далее: Образцы решения задач Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 1

Тема 2. Методы решения стереометрических задач

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Аксиомы стереометрии

А$_{1}$. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А$_{2}$. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А$_{3}$. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Параллельность в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Определение: Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Перпендикулярность в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^o$.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Определение: Двугранный угол - это фигура, образованная прямой $а$ и двумя полуплоскостями с общей границей $а$, не принадлежащими одной плоскости.

Определение: Перпендикулярные плоскости - это пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен $90^o$.

Признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Теорема Эйлера для многогранников: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Произвольная призма ($l$ - боковое ребро; $P$ - периметр основания; $S$ - площадь основания; $H$ - высота призмы; $P_{сеч}$ - периметр перпендикулярного сечения; $S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $V$ - объем): $S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$; $V = S \cdot H$.

2. Прямая призма: $S_{бок} = P \cdot l$; $V = S \cdot H$.

3. Прямоугольный параллелепипед ($a, b, c$ - его измерения; $d$ - диагональ):

$$S_{бок} = P \cdot H; \quad V = a \cdot b \cdot c; \quad d^2 = a^2 + b^2 + c^2.$$

4. Куб ($а$ - ребро): $S_{бок} = 4a^2$; $S_{полн} = 6a^2$; $V = a^3$; $d = a\sqrt 3$.

5. Произвольная пирамида ($S$ - площадь основания; $H$ - высота пирамиды;
$V$ - объем): $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H$.

6. Правильная пирамида ($P$ - периметр основания; $l$ - апофема; $S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $V$ - объем): $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l$; $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H$.

7. Произвольная усеченная пирамида ($S_{1}$ и$S_{2}$ - площади оснований; $h$ - высота пирамиды; $V$ - объем): $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( {S_1 + S_2 + \sqrt {S_1 \cdot S_2 } } \right)$.

8. Правильная усеченная пирамида ($P_{1}$ и$Р_{2}$ - периметры оснований; $l$ - апофема; $S_{бок }$- площадь боковой поверхности): $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \left( {P_1 + P_2 } \right) \cdot l$.

9. Цилиндр ($R$ - радиус основания; $H$ - высота; $S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $V$ - объем): $S_{бок} = 2\pi \cdot R \cdot H$; $V = \pi \cdot R^2 \cdot H$.

10. Конус ($R$ - радиус основания; $H$ - высота; $l$ - образующая; $S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $V$ - объем): $S_{бок} = \pi \cdot R \cdot l$; $V = \frac{1}{3}\pi \cdot R^2 \cdot H$.

11. Шар, сфера ($R$ - радиус шара; $S_{ }$- площадь сферической поверхности;
$V$ - объем): $S = 4\pi \cdot R^2$; $V = \frac{4}{3}\pi \cdot R^3$.

12. Шаровой сегмент ($R$ - радиус шара; $h$ - высота сегмента; $S_{ }$- площадь сферической поверхности сегмента; $V$ - объем): $S = 2\pi \cdot R \cdot h$; $V = \pi \cdot h^2 \cdot \left( {R - \frac{1}{3} \cdot h} \right)$.

13. Шаровой сектор ($R$ - радиус шара; $h$ - высота сегмента; $V$ - объем): $V = \frac{2}{3}\pi \cdot R^2 \cdot h$.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется направленным отрезком или $вектором$.

Определение: Длиной (модулем) ненулевого вектора $\overrightarrow {AB}$ называется длина отрезка $АВ$; обозначается $\left\vert {{\kern 1pt} \overrightarrow {AB{\kern 1pt} } } \right\vert$.

Определение: Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными и противоположно направленными.

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Правила сложения векторов:

Правило треугольника	Правило параллелограмма

Свойства операций над векторами:

1. $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$.

2. $\left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( { \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

3. $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( {{\kern 1pt} - \overrightarrow {b } } \right)$.

4. $\left( {{\kern 1pt} m n{\kern 1pt} } \right) \overrightarrow a = m \left( { n {\kern 1pt} \overrightarrow a {\kern 1pt} } \right)$.

5. $\left( { m + n } \right) \overrightarrow a = m {\kern 1pt} \overrightarrow a + n {\kern 1pt} \overrightarrow a$.

6. $m {\kern 1pt} \left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = m {\kern 1pt} \overrightarrow a + m {\kern 1pt} \overrightarrow b$.

Разложение вектора $\overrightarrow p$ по координатным векторам $\overrightarrow i$и $\overrightarrow j$:

На плоскости: $\overrightarrow p = x {\kern 1pt} \overrightarrow i + y {\kern 1pt} \overrightarrow j$; где координаты вектора $\overrightarrow p \left\{ { x;\;y } \right\}$.

В пространстве: $\overrightarrow p = x {\kern 1pt} \overrightarrow i + y {\kern 1pt} \overrightarrow j + z {\kern 1pt} \overrightarrow k$; где координаты вектора $\overrightarrow p \left\{ { x;\;y;\;z } \right\}$.

На плоскости: если $\overrightarrow {a } \left\{ { x_1 ;\;y_1 {\kern 1pt} } \right\}$, $\overrightarrow {b } {\kern 1pt} \left\{ { x_2 ;\;y_2 {\kern 1pt} } \right\}$, то $\left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \rig... ...ern 1pt} \left\{ { x_1 + x_2 ;\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} y_1 + y_2 } \right\}$; $k \overrightarrow a {\kern 1pt} \left\{ { k x_1 ;\;k y_1 } \right\}$.

В пространстве: если $\overrightarrow {a } \left\{ { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 {\kern 1pt} } \right\}$ и $\overrightarrow {b } {\kern 1pt} \left\{ { x_2 ;\;y_2 ;\;z_2 {\kern 1pt} } \right\}$, то

$$\left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b {\kern 1pt} {\ker... ...ghtarrow {a } {\kern 1pt} \left\{ { k x_1 ;\;k y_1 ;\;k z_1 } \right\}.$$

Для отрезка $АВ$ на плоскости координаты его середины $М$ связаны с координатами его концов $A \left( { x_1 ;\;y_1 } \right)$ и $B \left( { x_2 ;\;y_2 } \right)$, так что $M \left( {{\kern 1pt} \frac{x_1 + x_2 }{2};\;\frac{y_1 + y_2 }{2}} \right)$.

В пространстве: $A \left( { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 } \right)$ и $B \left( { x_2 ;\;y_2 ;\;z_2 } \right)$, так что

$$M \left( {{\kern 1pt} \frac{x_1 + x_2 }{2};\;\frac{y_1 + y_2 }{2};\;\frac{z_1 + z_2 }{2}} \right).$$

Длина (модуль) вектора $\overrightarrow {a } \left\{ { x;\;y{\kern 1pt} } \right\}$ на плоскости задается формулой: $\left\vert { \overrightarrow {{\kern 1pt} a } } \right\vert = \sqrt {x^2 + y^2}$.

В пространстве: если $\overrightarrow {a } \left\{ { x;\;y;\;z{\kern 1pt} } \right\}$, то $\left\vert { \overrightarrow {{\kern 1pt} a } } \right\vert = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$.

Расстояние между точками $M_1 \left( { x_1 ;\;y_1 } \right)$ и $M_2 \left( { x_2 ;\;y_2 } \right)$ на плоскости

$$\left\vert { M_1 M_2 {\kern 1pt} } \right\vert = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 } \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2} .$$

В пространстве: если $M_1 \left( { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 } \right)$ и $M_2 \left( { x_2 ;\;y_2 ;\;z_2 } \right)$, то

$$\left\vert { M_1 M_2 {\kern 1pt} } \right\vert = \sqrt {\left( {... ...} \right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 + \left( {z_2 - z_1 } \right)^2} .$$

Уравнение окружности: $\left( {x - x_0 } \right)^2 + \left( {y - y_0 } \right)^2 = R^2$, где $\left( {x_0 ;\;y_0 } \right)$ - центр окружности, $R$ - радиус.

Уравнение прямой $A x + B y + C = 0$.

Скалярное произведение векторов: $\overrightarrow {a } \cdot \overrightarrow {b } = \left\vert { \overrightar... ...\vert { \overrightarrow {b } } \right\vert \cdot \cos {\kern 1pt} \alpha$, где $\alpha$ - угол между векторами $\overrightarrow {a }$ и $\overrightarrow {b }$. Скалярное произведение в координатах:

На плоскости: $\overrightarrow {a } \cdot \overrightarrow {b } = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$;

В пространстве: $\overrightarrow {a } \cdot \overrightarrow {b } = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$.

Свойства скалярного произведения векторов:

1. $\left( \right.\overrightarrow {a } \left. \right)^2 \ge 0;\;\quad \left( \right.\overrightarrow {a } \left. \right)^2 > 0$, если $\overrightarrow {a } \ne \overrightarrow {0 }$.

2. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a$.

3. $\left( { \overrightarrow {a } + \overrightarrow {b } } \right) \cdot \ove... ...cdot \overrightarrow {c } + \overrightarrow {b } \cdot \overrightarrow {c }$.

4. $\left( { k \cdot \overrightarrow {a } } \right) \cdot \overrightarrow {b } = k \cdot \left( { \overrightarrow {a } + \overrightarrow {b } } \right)$.

Далее: Образцы решения задач Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 1