Далее: Тема 3. Текстовые задачи Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание №1

Тема 2. Тождественные преобразования. Основные функции

СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Определение: $a^n = \underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a{\kern 1pt} }_{n\quad раз},\quad n \in {\rm N}$.

Свойства: 1. $a^1 = a$; 2. $a^0 = 1$; 3. $a^{ - n} = \frac{1}{a^n}$; 4. $a^n \cdot a^m = a^{n + m}$; 5. $\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$;
6. $\left( {a^n} \right){\kern 1pt} ^m = a^{n \cdot m}$; 7. $a^m \cdot b^m = \left( {a \cdot b} \right)^m$.

Примеры: 1. Вычислить: а) $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3 + 2} = 2^5 = 32$; б) $\left( {2^3} \right)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$;
в) $2^2 \cdot 3^2 = \left( {2 \cdot 3} \right)^2 = 6^2 = 36$; г) $5^{ - 1} = \frac{1}{5}$; д) $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27$; е) $\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 1} = \frac{3}{2}$;
ж) $0,5^2 = 0,25$; з) $( - 8 )^{ - 2} = \frac{1}{\left( { - 8} \right)^2} = \frac{1}{64}$; и) $\left( { - 2} \right)^3 = - 8$.

2. Упростить: $\frac{a^{ - 2} - 1}{a^{ - 1} - 1} = \frac{\frac{1}{a^2} - 1}{\frac{1}{a} - 1} ... ...{\frac{1}{a} + 1} \right)}{\frac{1}{a} - 1} = \frac{1}{a} + 1 = \frac{1 + a}{a}$.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

1. $\left( {x\pm y} \right)^2 = x^2\pm 2xy + y^2$.	4. $\left( {x + y} \right)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
2. $x^2 - y^2 = \left( {x - y} \right) \cdot \left( {x + y} \right)$.	5. $\left( {x - y} \right)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
3. $\left( {x + y + z} \right)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$.	6. $x^3 + y^3 = \left( {x + y} \right) \cdot \left( {x^2 - xy + y^2} \right)$.
	7. $x^3 - y^3 = \left( {x - y} \right) \cdot \left( {x^2 + xy + y^2} \right)$.

Примеры:

Упростить: а) $\frac{\left( {x + y} \right)^2}{x^2 - y^2} = \frac{\left( {x + y} \right) \cdo... ...ht)}{\left( {x + y} \right) \cdot \left( {x - y} \right)} = \frac{x + y}{x - y}$;

б) $4ab + 2 \left( {a - b} \right)^2 = 4ab + 2 \left( {a^2 - 2ab + b^2} \right) = 4ab + 2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2 \left( {a^2 + b^2} \right)$.

КОРЕНЬ N-Й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Определение: $b = \sqrt[n]{a}$, где $n \in {\rm N},\quad n > 1$, если $b^n = a,\quad a \ge 0$.

Свойства:

1. $\sqrt {a^2} = \left\vert { a } \right\vert$;	4. $\left( {\sqrt[n]{a}} \right){\kern 1pt} ^m = \sqrt[n]{a^m},\quad a \ge 0$;
2. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$, где $a \ge 0,\quad b \ge 0$;	5. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[{n \cdot m{\kern 1pt} }]{a},\quad a \ge 0$;
3. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, где $a \ge 0,\quad b > 0$;	6. $b \cdot \sqrt a = \sqrt {a \cdot b^2} ,\quad a \ge 0$, b>0.

Примеры: 1. Вычислить: а) $\frac{\left( {3\sqrt 5 } \right)^2}{15} = \frac{9 \cdot 5}{15} = 3$; б) $\sqrt {3^6 \cdot 2^4 \cdot 5^2} = 3^3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 540$.

2. Упростить: $\frac{\sqrt {15} }{\sqrt 6 \cdot \sqrt {10} } = \frac{\sqrt {15} }{\sqrt {60} } = \sqrt {\frac{15}{60}} = \sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

3. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: $\frac{a}{\sqrt b } = \frac{a \cdot \sqrt b }{\sqrt b \cdot \sqrt b } = \frac{a\sqrt b }{b}$.

МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Определение: $\left\vert { a } \right\vert = \left[ {\begin{array}{l} a,\quad \;\;если\quad a \ge 0, \\ - a,\quad если\quad a < 0 \\ \end{array}} \right.$;

$\left\vert { x - a } \right\vert$- расстояние между точками $х$ и $а$ на числовой прямой.

Свойства: 1. $\left\vert { a } \right\vert \ge 0$; 2. $\left\vert { x } \right\vert = \left\vert { c } \right\vert \; \Rightarrow \; x = \pm c$; 3. $\left\vert { a } \right\vert = \left\vert { - a } \right\vert$; 4. $\left\vert { x \cdot y } \right\vert = \left\vert { x } \right\vert \cdot \left\vert { y } \right\vert$;
5. $\left\vert { \frac{x}{y} } \right\vert = \frac{\left\vert { x } \right\vert}{\left\vert { y } \right\vert}$; 6. $\left\vert { x + y } \right\vert \le \left\vert { x } \right\vert + \left\vert { y } \right\vert$; 7. $\left\vert { x - y } \right\vert \ge \left\vert { x } \right\vert - \left\vert { y } \right\vert$.

Основные зависимости:

1. $\left\vert { x } \right\vert = c\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ {\begin{... ...n{array}{l} x = c \\ x = - c \\ \end{array}} \right. \\ \end{array}} \right.$; 2. $\left\vert { x } \right\vert < c\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{l} c > 0 \\ x < c \\ x > - c \\ \end{array}} \right.$;

3. $\left\vert { x } \right\vert \ge c\quad \Leftrightarrow \quad \left[ {\begin... ...c < 0 \\ x - \;любое\;число. \\ \end{array}} \right. \\ \end{array}} \right.$

Примеры: Найти $х$ из следующих условий:

а) $\left\vert { x - 2 } \right\vert = 3\;\; \Rightarrow \;\;\left[ {\begin{arra... ...htarrow \;\;\left[ {\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 1 \\ \end{array}} \right.$. $Ответ:$ - 1; 5.

б) $\left\vert { x - 2 } \right\vert \le 3\;\; \Rightarrow \;\; - 3 \le x - 2 \le 3\;\; \Rightarrow \;\; - 1 \le x \le 5$. $Ответ: \quad \left[ { - 1;\;5} \right]$.

в) $\left\vert { x - 2 } \right\vert > 3\;\; \Rightarrow \;\;\left[ {\begin{arra... ...htarrow \;\;\left[ {\begin{array}{l} x > 5 \\ x < - 1 \\ \end{array}} \right.$. $Ответ: \quad \left( { - \infty ;\; - 1\;} \right) \cup \left( {\;5;\; + \infty } \right)$.

ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ

В данном пункте приводятся краткие сведения о функциях, изучаемых в основной школе. Более подробно свойства этих функций нужно повторить по школьному учебнику, уделяя особое внимание теме ``Преобразования графиков функций''.

1. Линейная функция y = k x + b (где $k$ и $b$ - действительные числа).

Область определения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Множество значений - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Если $k$ >0, то функция возрастает.

Если $k$ <0, то функция убывает.

При $k$ = 0 функция принимает вид $y = b$.

Графиком функции является прямая.

Если $b$ = 0, то функция является нечетной и имеет вид $y = k x$. В этом случае ее называют прямой пропорциональностью.

2. Квадратичная функция y = а x$^{2}$ + b х + с ($a \ne 0)$.

Поведение этой функции зависит от значения коэффициента а.

Если $а$ >0, то функция ограничена снизу, если $а$ <0, то функция ограничена сверху.

Область определения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Графиком данной функции является $парабола$, координаты вершины которой $\left( { - \frac{b}{2 a};\;\;\frac{4 a c - b^2}{4 a} } \right)$.

Частный случай - функция y = x$^{2}$, которая является четной, слева от 0 убывающей, а справа от 0 - возрастающей.

3. Функция $y = \sqrt x$.

Область определения - $\left[ { 0;\; + \infty } \right)$.

Множество значений - $\left[ { 0;\; + \infty } \right)$.

Функция возрастает на всей своей области определения.

Функция $y = \sqrt x$ является частным случаем функции $y = \sqrt[{n}]{x}$, где $n$ - натуральное число.

Ниже представлены эскизы графиков описанных функций.

4. Функция y = x$^{3}$.

Область определения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Множество значений - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Функция нечетная, возрастает на всей области определения. Графиком является кубическая парабола.

Функция является частным случаем степенной функции с натуральным показателем $y = x ^n$ (где $n$ - натуральное число).

5. Функция $y = \frac{k}{x}$ (где $k \ne 0)$.

Область определения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\;0{\kern 1pt} } \right) \cup \left( { 0;\; + \infty } \right)$.

Множество значений - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\;0{\kern 1pt} } \right) \cup \left( { 0;\; + \infty } \right)$.

Функция является нечетной.

Если $k$ >0, то функция убывает на каждом из промежутков области определения, а если $k$ <0, то функция возрастает.

При $k$ >0 данную функцию называют обратной пропорциональностью.

Графиком функции является гипербола.

Обобщением является дробно-линейная функция $y = \frac{a x + b}{c x + d}$.

Ниже представлены эскизы графиков описанных функций.

6. Функция y = $\vert$ х $\vert$.

Область определения - $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Множество значений - $\left[ { 0;\; + \infty } \right)$.

Функция является четной.

Данную функцию можно представить как заданную кусочно: $y = \left\{ {\begin{array}{l} - x,\quad x < 0 \\ \;\;x,\quad x \ge 0 \\ \end{array}} \right.$.

Следовательно, данная функция убывает при $x < 0$, а возрастает при $x \ge 0$.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 2

1. Вычислить: $\frac{3 \cdot 4^{ - 1} - 3 \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 2} \cdot 3^0}{5 - \left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}$.

2. Упростить: а) $\frac{a^{ - 2} - b^{ - 2}}{a^{ - 1} - b^{ - 1}} - \frac{a - b^{ - 1}}{ab - 1}$; б) $\left( {\frac{x}{y^2 \cdot x^{ - 1}} + \frac{x}{y}} \right):\left( {xy^{ - 2} - y^{ - 1} + x^{ - 1}} \right)$;
в) $\left( {\frac{a^3 + b^3}{a + b} - ab} \right) \cdot \left( {\frac{a + b}{a^2 - b^2}} \right)^2$.

3. Упростить: а) $3\sqrt 2 \cdot \sqrt 5 \cdot 4\sqrt {10}$; б) $2\sqrt 5 - \sqrt {45} + \sqrt 3$.

4. Сократить дробь: а) $\frac{x - \sqrt x }{\sqrt x - 1}$; б) $\frac{m - n}{\sqrt m - \sqrt n }$; в) $\frac{x\sqrt x + 1}{\sqrt x + 1}$.

5. Упростить: а) $\left( {\frac{1}{c^2 + 3c + 2} + \frac{2c}{c^2 + 4c + 3} + \frac{1}{c^2 + 5c + 6}} \right)^2 \cdot \frac{\left( {c - 3} \right)^2 + 12c}{2}$;

б) $\frac{\sqrt x + 1}{1 + \sqrt x + x}:\frac{1}{x^2 - \sqrt x }$; в) $\left( {\frac{1 - c^{ - 2}}{c^{0,5} - c^{ - 0,5}} - \frac{2c^{0,5}}{c^2} + \fr... ...{c^{0,5} - c^{ - 0,5}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{2}{c^2}} \right)^{ - 2}$.

6. Решить систему неравенств: а) $\left\{ {\begin{array}{l} \frac{1}{9}x^2 \le 1 \\ x^2 > 4 \\ \end{array}} \right.$; б) $\left\{ {\begin{array}{l} \left( {x - 1} \right)^2 > 0 \\ 169 - x^2 \ge 0 \\ \end{array}} \right.$.

7. Решить уравнение: а) $\left\vert { x } \right\vert = 3$; б) $\left\vert { x - 2 } \right\vert = 2$; в) $\left\vert { x + 2 } \right\vert = \left\vert { 2x - 3 } \right\vert$;
г) $\left\vert { \left\vert { x - 2 } \right\vert - 1 } \right\vert = 3$.

8. Раскрыть модуль: $\left\vert { 2 - \sqrt {5 } } \right\vert$.

9. Решить неравенство: а) $\left\vert { x } \right\vert \ge 5$; б) $\left\vert { x + 2 } \right\vert \le 0,5$; в) $2 < \left\vert { x } \right\vert < 3$.

10. Построить графики функций: а) $y = \left\vert { x - 2 } \right\vert$; б) $y = \left\vert { x } \right\vert - 2$; в) $y = \frac{\left\vert { x } \right\vert}{x}$;
г) $y = \left\vert { \left\vert { x - 1 } \right\vert - 1 } \right\vert$.

Ответы к заданиям (для самоконтроля): 1. - 2; 2. а) $\frac{1}{a}$; б) $x + y$; в) 1; 3. а) 12;

б) $- \sqrt 5 + \sqrt 3$; 4. а) $\sqrt x$; б) $\sqrt m + \sqrt n$; в) $x - \sqrt x + 1$; 5. а) 2; б) $\sqrt x \left( {x - 1} \right)$;
в) $- \frac{c^{2,5}}{c^2 + 2}$; 6. а) $\left[ { - 3;\; - 2 } \right) \cup \left( { 2;\;3 } \right]$; б) $\left[ { - 13;\;1 } \right) \cup \left( { 1;\;13 } \right]$; 7. а) - 3; 3; б); 4; в) $\frac{1}{3};\;5$; г) - 2; 6; 8. $\sqrt 5 - 2$; 9. а) $\left( { - \infty ;\; - 5 } \right) \cup \left( { 5;\; + \infty } \right)$; б) $\left( { - 2,5;\; - 1,5 } \right)$; в) $\left( { - 3;\; - 2 } \right) \cup \left( { 2;\;3 } \right)$.

Далее: Тема 3. Текстовые задачи Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание №1