Далее: Библиографический список Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: §3. Поверхность. Метрические задачи

§4. Задачи о кривизне на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности

Вопросы теории

Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна регулярной кривой на поверхности. Теорема Менье. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении. Соприкасающийся параболоид и типы точек на поверхности. Главные кривизны и главные направления поверхности в точке. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Поверхности положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Поверхности постоянной (положительной и отрицательной) гауссовой кривизны. Деривационные формулы и символы Кристоффеля для поверхности. Основные уравнения теории поверхностей. Теорема Бонне. Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Геодезические линии на поверхности. Свойства геодезических. Примеры геодезических линий на поверхностях. Существование и единственность геодезической, проходящей через данную точку поверхности в данном направлении. Реализации геодезических в задачах физики. Понятие внутренней геометрии поверхности. Геодезические линии и гауссова кривизна как объекты внутренней геометрии. Теорема Гаусса - Бонне. Дефект геодезического треугольника и топологическая инвариантность интегральной кривизны.

Основные определения, результаты, комментарии

Второй квадратичной формой поверхности называется выражение

$$II=-(d\vec r,d\vec n )=(d^{ 2}\vec r,\vec n )=L du^2+2M dudv+N dv^2,$$

где $\vec n$ - единичный вектор нормали поверхности в ее точке, а коэффициенты $L, M,N$ имеют выражение

$$L=(\vec r_{uu}, \vec n ),\;\;M=(\vec r_{uv},\vec n ),\;\; N=(\vec r_{vv},\vec n ).$$

На поверхности $\Phi$ рассмотрим $C^{\;2}$ - регулярную кривую $\gamma$ (рис. 26), задаваемую внутренними уравнениями $u=u(s),$ $v=v(s)$, где $s$- естественный параметр кривой. Известно, что вторая производная радиус-вектора точки кривой равна $\vec r ''(s)=k\vec\nu$; тогда

$$(\vec r ''(s), \vec n)=k(\vec \nu, \vec n)=k\cos \phi.\eqno(7)$$

Здесь $\phi$ - угол между векторами $\vec \nu$ и $\vec n$. С другой стороны, имеем

$$\vec r ''(s)=\vec r_{uu}u' ^2(s)+2 \vec r_{uv}u'(s)v'(s)+\vec r_{vv}v' ^2(s)+\vec r_u u''(s)+\vec r_v v''(s).$$

Рис. 26. К теореме Менье

Подстановка в (7) с учетом того, что $ds^2=(d\vec r (s))^2=I$, приводит к равенству

$$k\cos \phi=\frac{II}{I}=\frac{Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2}{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}.\eqno(8)$$

Правая часть уравнения (8) зависит только от направления $(du:dv)$ кривой в данной точке и называется нормальной кривизной поверхности в данной точке в данном направлении и обозначается $k_n$. Равенство (8) принимает форму $k_n=k\cos \phi$, которая носит название теоремы Менье. Для нормального сечения поверхности в данном направлении $\vec \nu=\pm \vec n$, и потому $k_n=\pm k$, где $k$ - кривизна нормального сечения.

Далее будет введено "квадратичное приближение" формы поверхности в окрестности точки - так называемый соприкасающийся параболоид. В каждом конкретном случае он может оказаться гиперболическим или эллиптическим параболоидом, а также не исключено его вырождение в параболический цилиндр или плоскость.

Пусть $\Phi$ - дважды непрерывно дифференцируемая поверхность, $P,Q$ - различные точки на поверхности $\Phi$ (рис. 27), и $U$ - параболоид, касающийся поверхности $\Phi$ в точке $P$.

Рис. 27. Соприкасающийся параболоид поверхности

Параболоид $U$ называется соприкасающимся параболоидом поверхности в ее точке $P$, если выполнено соотношение

$$\lim_{Q\to P} \frac{dist(Q,U)}{dist(Q,P)^2}=0.$$

Предположим, поверхность представляет собой график функции $z=f(x,y)$, проходящий через начало координат так, что нормаль поверхности в точке $(0,0,0)$ совпадает с осью аппликат. Согласно теореме о неявной функции, этого всегда можно добиться выбором подходящей системы координат для $C^{ 2}$-регулярной поверхности. Разлагая по формуле Тейлора функцию $z=f(x,y)$, имеем

$$z=\frac{1}{2}(ax^2+2bxy+cy^2)+\xi(x,y)(x^2+y^2),$$

где $\lim_{x^2+y^2\to 0} \xi(x,y)=0$. Тогда нетрудно проверить, что уравнение
$z=\frac{1}{2}(ax^2+2bxy+cy^2)$ является уравнением соприкасающегося параболоида данной поверхности в точке $(0,0,0).$

Первые и вторые производные координат в фиксированной точке одинаковы у поверхности и ее соприкасающегося параболоида в этой точке. Поэтому соприкасающийся параболоид имеет те же геометрические характеристики, что и исходная поверхность в данной точке, если эти характеристики выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Поворотом осей координат можно привести уравнение соприкасающегося параболоида к виду

$$z=\frac{1}{2}(k_{ 1}x^2+k_{ 2}y^2).$$

Направления координатных осей $Ox$ и $Oy$, при которых уравнение соприкасающегося параболоида имеет такой вид, называются главными направлениями. Нормальные кривизны, вычисленные в главных направлениях, называются главными нормальными кривизнами поверхности в данной точке. Вычисляя по теореме Менье нормальную кривизну соприкасающегося параболоида как функцию направления, имеем

$$k_n=\frac{k_{ 1} dx^2+k_{ 2} dy^2}{dx^2+dy^2}.\eqno(9)$$

Таким образом, нормальная кривизна в направлении оси $Ox$ равна $k_1$, нормальная кривизна в направлении оси $Oy$ равна $k_2$. Обозначив за $\psi$ угол, образованный направлением $(dx:dy)$ с осью $Ox$, из (9) получим теорему Эйлера:

$$k_n=k_1\cos^2\psi+k_{ 2} \sin^2\psi.$$

Используя теорему Эйлера, нетрудно доказать, что главными являются те направления, в которых нормальная кривизна достигает экстремумов.

Линия на поверхности, направление которой в каждой точке является главным, называется линией кривизны. Условие экстремума нормальной кривизны в направлении $(du:dv)$ может быть приведено к виду (обратите внимание на порядок следования дифференциалов!)

$$\left\vert\begin{array}{ccc} dv^2&-du dv& du^2\\ E&F&G\\ L&M&N\end{array}\right\vert=0.\eqno(10)$$

Если определитель равен нулю тождественно, то в данной точке все направления главные. Это означает, что нормальная кривизна поверхности в данной точке постоянна и не зависит от направления. Если нормальная кривизна в такой точке отлична от нуля, то точка называется шаровой, или омбилической. Соприкасающийся параболоид в такой точке является параболоидом вращения. Если нормальная кривизна в данной точке во всех направлениях равна нулю, то точка называется точкой уплощения, а соприкасающийся параболоид вырождается в плоскость.

Во всех остальных случаях уравнение (10) имеет два корня- главных направления, которые дают дифференциальные уравнения линий кривизны. Можно доказать, что в окрестности любой точки, не являющейся омбилической точкой или точкой уплощения, поверхность может быть параметризована так, что координатные линии ее параметризации будут линиями кривизны.

Величины $H=(k_1+k_2)/2$ и $K=k_1 k_2$ называются соответственно средней и гауссовой (полной) кривизнами поверхности в точке. В случае произвольной параметризации средняя и полная кривизны могут быть вычислены с использованием коэффициентов первой и второй квадратичных форм:

$$H=\frac{1}{2}\frac{EN-2MF+LG}{EG-F^{\;2}},\;\; K=\frac{LN-M^{ 2}}{EG-F^{\;2}}.$$

Заметим, что в силу положительной определенности первой квадратичной формы, знак полной кривизны определяется знаком выражения $LN-M^2$.

Индикатриса кривизны, или индикатриса Дюпена, строится в касательной плоскости в данной точке поверхности по следующему правилу. Координатные оси в касательной плоскости совмещают с главными направлениями. На луче, расположенном в каждом направлении, откладывают отрезок, равный величине, обратной квадратному корню из нормальной кривизны поверхности в этом направлении, то есть $1/\sqrt{k_n}$.

Рис. 28. Классификация точек поверхности

Кроме специального случая точки уплощения, различают типы точек на поверхностях, показанные на рис. 28. Существуют поверхности, состоящие из точек одного, двух или трех типов.

Направление $(du:dv)$ на регулярной поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна кривой этого направления равна нулю. Линия на поверхности называется асимптотической, если в каждой точке ее касательная имеет асимптотическое направление.

Из теоремы Менье и уравнения (8) следует, что дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид

$$Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=0.$$

В зависимости от знака дискриминанта $LN-M^2$, это квадратное уравнение может иметь один или два корня - асимптотических направления, или не иметь корней. Наличие корня поставляет обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, указание точки поверхности задает начальные условия для его решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, доказываемая в курсах математического анализа, приводит к следующему геометрическому результату. На поверхности, состоящей из эллиптических точек, действительных асимптотических линий нет; на
поверхности, состоящей из гиперболических точек, имеется асимптотическая сеть; на поверхности, состоящей из параболических точек, не являющихся точками уплощения, через каждую точку проходит единственная асимптотическая линия.

Рассмотрим на $C^{ 2}$-регулярной поверхности $\Phi$ кривую $\gamma$ класса $C^{ 2}$. Пусть $\vec \tau$ - единичный вектор касательной к этой кривой в точке $P$, $\vec n$ - единичный вектор нормали поверхности $\Phi$ в точке $P$, $k\vec \nu$ - вектор кривизны кривой $\gamma$ в точке $P$, $s$ - естественный параметр кривой. Вводя вектор $\vec n_g=\vec n\times \vec \tau$, получим правый ортонормированный базис $\vec \tau, \vec n_g, \vec n$. Разлагая в этом базисе вектор кривизны $k\vec \nu$, имеем $k\vec \nu=\alpha \vec n_g+\beta \vec n,$ где $\beta=(k\vec \nu,\vec n)=k_n.$ Таким образом, нормальная кривизна поверхности $\Phi$ в направлении кривой $\gamma$ есть проекция вектора кривизны этой кривой на направление вектора нормали поверхности. Коэффициент $\alpha=(k\vec \nu,\vec n_g)=(k\vec \nu,\vec n,\vec \tau)$ называется геодезической кривизной $k_g$ кривой $\gamma$ в точке $P.$ Геодезическая кривизна кривой на поверхности может быть вычислена в естественной параметризации по формуле $k_g=(\vec r '(s), \vec r ''(s), \vec n).$

Геодезической линией, или просто геодезической, называется линия, геодезическая кривизна которой в каждой ее точке равна нулю.

Иными словами, геодезическая - это кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением нормального сечения поверхности.

Например, известно, что нормаль поверхности вращения принадлежит
плоскости, содержащей ось вращения. Поэтому нормальные сечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ее ось, являются геодезическими (рис. 29).

Рис. 29. Осевое сечение поверхности вращения

Можно доказать, что через каждую точку $C^2$-регулярной поверхности можно провести геодезическую линию, и притом единственную. Замечательным свойством геодезической является также то, что если точки $P$ и $Q$ геодезической линии достаточно близки, то дуга этой линии является кратчайшей среди всех дуг кривых на данной поверхности, соединяющих точки $P$ и $Q$.

Аналогом формул Френе кривой являются деривационные формулы
поверхности:

$$\vec r_{uu} = \Gamma^1_{11} \vec r_u+\Gamma ^2_{11} \vec r_v+\alpha \vec n,$$

$$\vec r_{uv} = \Gamma^1_{12} \vec r_u+\Gamma ^2_{12} \vec r_v+\beta \vec n,$$

$$\vec r_{vv} = \Gamma^1_{22} \vec r_u+\Gamma ^2_{22} \vec r_v+\gamma \vec n,$$

$$\vec n_u = \alpha_1 \vec r_u+\beta_1 \vec r_v+\gamma_1 \vec n,$$

$$\vec n_v = \alpha_2 \vec r_u+\beta_2 \vec r_v+\gamma_2 \vec n.$$

Так как $\vec n$ - единичный вектор, то $\gamma_1=\gamma_2=0.$ Из двух последних уравнений нетрудно получить, что

$$\alpha_1=\frac{MF-LG}{EG-F^2},\;\; \beta_1=\frac{LF-ME}{EG-F^2},\;\; \alpha_2=\frac{NF-MG}{EG-F^2},\;\; \beta_2=\frac{MF-NE}{EG-F^2};$$

из уравнений для вторых производных следует, что $\alpha =L,$ $\beta =M,$ $\gamma= N.$
Коэффициенты $\Gamma ^k_{ij}$ называются символами Кристоффеля поверхности. Несложным, но весьма громоздким вычислением можно показать, что символы Кристоффеля выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы и их первые частные производные.

Если поверхность и ее параметризация являются $C^{ 3}$-регулярными, то имеют место следующие уравнения связи между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности, называемые основными уравнениями теории поверхностей. Это уравнения Петерсона - Кодацци:

$$2(EG-F^{\;2})(L_v-M_u)-(EN+GL-2MF)(E_v-F_u)+ \left\vert\begin{array}{ccc}E&F&G\\ E_u&F_u&G_u\\ L&M&N\end{array}\right\vert=0,$$

$$2(EG-F^{\;2})(M_v-N_u)-(EN+GL-2MF)(F_v-G_u)+ \left\vert\begin{array}{ccc}E&F&G\\ E_v&F_v&G_v\\ L&M&N\end{array}\right\vert=0$$

и уравнение Гаусса:

$$LN-M^2=\frac{1}{4(EG-F^{\;2})}\left\vert\begin{array}{ccc}E&F&G\\ E_u&F_u&G_u\\ E_v&F_v&G_v\end{array}\right\vert+$$

$$+\frac{1}{2}\sqrt{EG-F^{\;2}}$$   [($$\frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^{\;2}}}$$)$$_v-$$   ($$\frac{F_v-G_u}{\sqrt{EG-F^{\;2}}}$$)$$_u$$]$$.$$

Из уравнения Гаусса следует, что полная кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой квадратичной формы.

Оказывается, других связей между первой и второй квадратичными формами нет, как утверждает теорема Бонне: если в открытой области $D$ на плоскости переменных $u,v$ заданы две квадратичные формы, из которых первая положительно определена и ее коэффициенты принадлежат классу $C^{ 2}$, а коэффициенты второй формы принадлежат классу $C^{ 1}$, и притом коэффициенты заданных форм удовлетворяют уравнениям Петерсона - Кодацци и Гаусса, то каждая точка $(u,v)\in D$ обладает окрестностью $\Omega \subset D$, такой, что определено вложение $\vec r: \Omega \to \mathbb{R}^3$, задающее поверхность класса $C^{ 3}$, для которой данные квадратичные формы являются соответственно первой и второй квадратичным формами. Эта поверхность единственна с точностью до перемещения.

К внутренней геометрии поверхности относят те геометрические характеристики поверхности, понятия и результаты, которые определяются первой квадратичной формой. Объектами внутренней геометрии являются длины кривых, площади областей, углы между кривыми на поверхности, а также геодезическая кривизна кривой на поверхности, символы Кристоффеля и полная кривизна поверхности. Объекты внутренней геометрии остаются неизменными при изометриях.

Пусть $\gamma$ -- $C^{ 2}$-регулярная замкнутая кривая на поверхности $\Phi$, ограничивающая область $Q$, гомеоморфную кругу. Тогда справедливо соотношение

$$\oint \limits_{\gamma} k_g ds=2\pi -\int \limits _{\;Q} \!\!\!\int K d\sigma,$$

где $ds$ - элемент длины дуги кривой $\gamma$, $d\sigma$ - элемент площади области $Q$. Это соотношение составляет содержание теоремы Гаусса - Бонне. Интеграл в правой части уравнения называют интегральной кривизной области $Q$. Для кусочно-регулярной кривой, образующей на поверхности криволинейный $m$-угольник со сторонами $\gamma_1,\dots, \gamma_m$, углы которого равны $\alpha_1, \dots, \alpha_m$, теорема Гаусса - Бонне имеет вид:

$$\sum \limits_{i=1}^m \int \limits_{\gamma_i}k_g ds+\sum \limits_{i=1}^m (\pi-\alpha_i)=2\pi -\int \limits _{\;Q} \int K d\sigma.$$

В частности, для геодезического треугольника имеем

$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi =\int \limits _{\;Q} \int K d\sigma,$$

то есть сумма углов геодезического треугольника больше $\pi$, если $K>0$, и меньше $\pi$, если $K<0$.

Пусть $\Phi$ - замкнутая ориентируемая поверхность. Триангулируем ее на геодезические треугольники $T_1,...,T_f$. Тогда для каждого из этих треугольников имеем

$$\alpha_{i1}+\alpha_{i2}+\alpha_{i3}-\pi =\int \limits _{\;T_i} \int K d\sigma.$$

Суммируя по всем треугольникам триангуляции, получим

$$\sum \limits_{i=1}^f(\alpha_{i1}+\alpha_{i2}+\alpha_{i3})-\pi f = \int \limits _{\;\Phi} \!\!\!\int K d\sigma,$$

где $f$ - число треугольников триангуляции. Сумма углов триангуляции в левой части уравнения равна $2\pi v$, где $v$- число вершин триангуляции. Заметим, что каждая из сторон является общей для двух примыкающих треугольников, поэтому, если $e$ - число ребер триангуляции, то $2e=3f$. Тогда $2\pi v-\pi f=\pi(2v-f)=2\pi (v-e+f)=2\pi \chi(\Phi)$. Отсюда следует уравнение, связывающее эйлерову характеристику поверхности и ее интегральную кривизну: $2\pi \chi(\Phi)=\int \limits _{\;\Phi} \!\!\!\int K d\sigma.$ Таким образом, интегральная кривизна замкнутой ориентируемой поверхности - топологический инвариант.

Задачи

1. Для каждой из данных поверхностей вычислите вторую квадратичную форму, найдите гауссову и среднюю кривизны, а также главные направления и главные кривизны этой поверхности в начале координат:
а) $2z=a^2x^2-b^2y^2$; в) $z=ax+by$;
б) $2z=a^2x^2+b^2y^2$; г) $2z=ax^2$.

2. Найдите главные кривизны поверхности:
а) $z=xy$ в точке (1,1,1);
б) $z=x^2/a+y^2/b$ в точке (0,0,0).

3. Вычислите вторую квадратичную форму:
а) сферы $x=a\cos u \cos v,\;\; y=a\cos u \sin v,\;\; z=a\sin u;$
б) поверхности вращения $x=f(u)\cos v,\;\;y=f(u)\sin v,\;\;z=g(u);$
в) кругового цилиндра $x=a\cos v,\;\; y=a\sin v,\;\; z=u$;
г) винтовой поверхности $x=u\cos v,\;\; y=u\sin v,\;\;z=au$. Проведите классификацию точек указанных поверхностей. Напишите дифференциальные уравнения асимптотических линий. Там, где это возможно, укажите явный вид асимптотических линий либо докажите, что их нет.

4. Дан эллипсоид $\vec r(u,v)=(a\cos u \cos v, a \cos u \sin v, c\sin u)$. Найдите его вторую квадратичную форму, главные кривизны в точках, расположенных на экваторе. Исследуйте характер точек данной поверхности и проверьте, что координатная сеть является сетью линий кривизны.

5. Для данных поверхностей вычислите вторую квадратичную форму, найдите среднюю кривизну и исследуйте характер точек:
а) круговой цилиндр $\vec r(u,v)=(a\cos v, a\sin v, u)$;
б) прямой круговой конус $\vec r(u,v)=(u\cos v, u\sin v, cu)$. Укажите линии кривизны произвольных цилиндрической и конической поверхностей.

6. Дана поверхность, образованная касательными к кривой $\gamma : \vec r=\vec f(u)$, где $u$ - естественный параметр. Вычислите вторую квадратичную форму поверхности, найдите гауссову и среднюю кривизны, а также главные направления и главные кривизны этой поверхности.

7. Дана поверхность переноса $\vec r(u,v)=\vec a(u)+\vec b (v).$ Найдите ее вторую квадратичную форму и вычислите полную кривизну.

8. Дана псевдосфера $x=a\sin v \cos u,\;\;y=a\sin v \sin u,\;\; z=a(\cos v +\ln \tg (v/2))$. Вычислите полную и среднюю кривизны псевдосферы. Проведите классификацию точек псевдосферы.

9. Дан тор $\vec r(u,v)=((a+b\cos v)\cos u;\;(a+b\cos v)\sin u;\;b\sin v)$.
Вычислите его первую и вторую квадратичные формы, площадь и проведите классификацию его точек. Покажите на рисунке множества эллиптических, гиперболических и параболических точек тора.

10. Найдите главные кривизны и главные направления прямого геликоида $x=u\cos v,\;\; y=u\sin v,\;\;z=au;$ докажите, что главные направления делят пополам угол между винтовыми линиями и прямолинейными образующими. Найдите линии кривизны винтовой поверхности.

11. Дана линейчатая поверхность, образованная главными нормалями пространственной кривой $\gamma:\; \vec r=\vec r(u),$ где $u$ - естественный параметр кривой $\gamma$. Найдите вторую квадратичную форму данной поверхности и вычислите ее полную и среднюю кривизны.

12. Найдите линии кривизны поверхности вращения.

13. Докажите, что радиус геодезической кривизны (величина, обратная геодезической кривизне) параллели поверхности вращения равен отрезку касательной к меридиану, заключенному между точкой касания и осью поверхности.

14. Найдите геодезическую кривизну окружности радиуса $r$ на сфере радиуса $R$.

15. Докажите, что геодезические линии плоскости - прямые, геодезические линии сферы - окружности больших кругов. Можно ли доказать эти факты без использования формулы геодезической кривизны?

Далее: Библиографический список Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: §3. Поверхность. Метрические задачи