Далее: §2. Наглядность математических объектов Вверх: Теоретические основы наглядного моделирования Назад: Теоретические основы наглядного моделирования

§1. Дидактическая система математического образования

Изменения в структуре высшего педагогического образования России, появление средних школ разных направлений: лицеев, гимназий, колледжей и т.п., демократизация общественной жизни имеют в своей основе коренной поворот к гуманистическим позициям функционирования современного образования. Способность и готовность учителя XXI века дать личности возможность получения образования необходимого уровня и глубины на любом отрезке ее жизнедеятельности становится теперь одной из основных тенденций развития современного образования. Современный этап развития среднего образования выдвигает повышенные требования к профессиональной (особенно предметной) подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса.

В немалой степени эта тенденция коснулась содержания математического образования в среднем и высшем звене, равно как и теорий, концепций и методов обучения математике. Индивидуализация обучения, дифференцированный подход, использование новейших исследований в психологии, физиологии человека, педагогике для совершенствования процесса обучения, поиск оптимальных условий для усвоения сложного математического содержания требуют от учителя не только высокой компетентности в предметной области, но и достаточной подготовленности к самообразованию, к проявлению творческой активности на основе профессиональной идентификации личности учителя и требований профессии.

Одной из ведущих задач педагогического процесса подготовки учителя математики средней (полной) школы является преобразование личности студента в учителя-профессионала, способность решать все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием школьников.

В современных условиях интенсивного применения математических методов в естествознании, технике и смежных науках, которые непременно находят свое отражение в изменяющихся программах школьного и вузовского математического образования, настоятельно стоит проблема более эффективного использования и развития в обучении математике системы психофизиологических закономерностей и механизмов восприятия сложной информации личностью обучаемого, развития его математических способностей, мышления и культуры.

Поэтому рассмотрение педагогического процесса математического
образования будущих учителей математики, его задачи, планирование, технологии исходят из потребности в поисках нового, оптимального в выборе содержания, методах, средствах и формах обучения, способствующих формированию целостной системы научных и профессиональных знаний, определению компонентов и структуры учебной деятельности.

Актуальность рассмотрения этих вопросов подтверждается ведущим положением математики как среди фундаментальных, так и среди прикладных наук (что находит свое яркое проявление в их интенсивной математизации); с другой стороны, - объективной сложностью усвоения математического содержания, обусловленной прежде всего многоступенчатым характером математических абстракций; в-третьих, необходимостью формирования в ходе учебного процесса психолого-педагогической системы проектируемой учебно-профессиональной деятельности будущего учителя.

Для студентов при изучении математики, особенно на начальных этапах усвоения учебного материала, структура изучаемых математических объектов и их существенные связи не всегда выступают за знаками и символами, выраженными в буквенно-цифровой и графической форме. Даже при наличии развитого фиксированного алфавита в использовании знаково-символических средств, правил обращения с ним, оперирования и перевода процесс в другие знаковые системы обучения математике объективно может привести к формализму в овладении знаниями. Преодоление формализма в усвоении содержания математических объектов представляет серьезную и далеко не решенную проблему в дидактике математики.

Факторы, порождающие формализм знаний в процессе обучения математике и, как следствие, недостаточную подготовленность к профессиональной деятельности учителя, можно подразделить на объективные и субъективные. Объективные факторы (не зависящие от воли и умений преподавателей и студентов) - это сложности оперирования знаково-символическими средствами; высокий уровень абстрагирования при работе с математическими объектами; недостаточная разработанность психолого-педагогических теорий (технологий) обучения математике, а также сложность в выявлении закономерностей психофизиологических и психофизических процессов восприятия, памяти, мышления; слабая эффективность профориентационной работы по привлечению в педвузы одаренных и интеллектуально развитых абитуриентов (в основном по социально-политическим и экономическим причинам); субъективные факторы (зависящие от воли и умений преподавателей и студентов) - это чрезмерная интенсивность и недостаточная эффективность структурирования информационного потока знаний; недостаточная развитость функциональных и операционных механизмов восприятия и переработки математической информации обучаемым; слабая мотивация и прикладная направленность воспринимаемых знаний; недостатки организационно-методического обеспечения учебной деятельности; недостаточное внимание педагогов к вопросу организации рефлексии обучаемых и формированию творческой активности в процессе обучения математике.

В то же время математический аппарат предназначен, в частности, для описания целостных систем, функционирующих в реальном мире, и позволяет исследовать их структуру и динамику, статику и интегральные характеристики. Глубокие взаимосвязи, выражающиеся в математической модели целого, описываются функциональным анализом и теорией автоматов, алгеброй и теорией случайных процессов, статистическими и вероятностными методами. Поэтому математические понятия, теоремы, алгоритмы, доказательства и т.п., будучи математическими объектами педагогического процесса обучения математике, должны приобретать свойства и характеристики целостности как основы сохранения и переноса информации новому поколению в будущей профессиональной деятельности учителя. Исследования целостности на разных уровнях: глобальных структур (дидактический процесс, учебные планы, учебные программы, дидактические модули и т.д.), локальной модельности (модели и схемы функционирования математических понятий, кодирование знаково-символической деятельности, заместители педагогических процессов и т.п.), организация и управление познавательной деятельностью обучаемых и повышение ее результативности - являются одной из важнейших проблем дидактики высшей школы, проектирования и построения образовательного процесса.

В последние десятилетия математика как педагогическая задача испытывает беспрецедентное давление со стороны общественности как по поводу содержания обучения, так и относительно методов ее преподавания. Дело в том, что глубина ее формализации даже в естественных приложениях и следование внутренним закономерностям строения здания математики входят в противоречие как с онтогенезом развития и социализации отдельного индивида, так и с потребностями общества по обеспечению своей жизнедеятельности. Поэтому обучение математике и содержание математического образования как в средней, так и в высшей школе должны пересматриваться в направлении большей визуализации, наглядного моделирования и раскрытия социального статуса математики.

Основным средством, способствующим появлению новообразований, является моделирование как высшая форма знаково-символической деятельности, ведущая к появлению нового знания о природе и технологических процессах в производстве, о законах общественного развития и закономерностях мышления, восприятии и памяти человека.

В современный период усиливается роль математики как средства гуманизации образования и социализации личности в современном обществе. Более того, математика все больше рассматривается как гуманитарная (общекультурная), а не естественнонаучная дисциплина. Продуктивность мышления и восприятия, развитие предметной речи, логическая полноценность аргументации, развитие умственных способностей могут быть реальным результатом математического образования при условии его разумной организации.

Социально-культурная роль математики в виде схемы представлена на риc. 1.

Рис. 1. Личность и математика

Рассматривая математику как педагогическую задачу, приходится сталкиваться с проблемами адекватного представления, различения, становления, устойчивости восприятия и воспроизведения математического знания и выявления специфических особенностей феномена математического мышления.

В последние десятилетия возникла принципиально новая ситуация, благоприятствующая реальным шагам к возрастанию интереса к математике, в том числе как педагогической задаче и эффективному средству развития интеллекта школьников и студентов. Этому способствовали, на наш взгляд, следующие факторы:

- глубокая озабоченность учеников, родителей, педагогов содержанием математического образования и его влиянием на развитие личности;

- демократизация и гуманизация образовательных процессов в школе и вузе, выдвижение на первый план проблем личностного развития школьников, особенно в период формирования онтогенетических новообразований в мышлении;

- расширение информационных средств обеспечения учебного процесса: дисплейные классы, Internet, сервисные программные продукты, мультимедиа, дистанционное обучение и т.д.;

- интенсивное развитие методологических основ обеспечения педагогических процессов: психология и физиология человека, искусственный интеллект, инженерная психология и психология индивидуальной и совместной деятельности, теория управления и теория образовательных систем и т.д.

Как рассказать школьнику, что большая теорема Ферма, над которой триста лет бились лучшие умы человечества, доказана А.Вайлсом в 1995 г., а трисекция угла и квадратура круга невозможны с помощью циркуля и линейки? Как наиболее эффективно развить мыслительные операции ученика (логику, анализ, синтез, обобщение, конкретизации, аналогии и т.п.) в процессе обучения математике, которая объективно должна являться самым мощным развивающим средством (и чего не наблюдается в настоящее время)? Как должна быть отражена в обучении математике ее роль в жизнедеятельности общества и в развитии других наук, в том числе в обосновании космических полетов и безопасности воздушных перевозок? Как показать, что физика - мощный поддерживающий компонент жизнедеятельности и мировоззрения, который без знания и использования математики есть просто наблюдение и эксперимент, а психология без использования статистических методов обработки и анализа экспериментальных данных и моделирования психических процессов есть тенденция к внешней феноменологии и эмпиризму без вскрытия внутренних, сущностных механизмов психических процессов?

Будущий учитель математики должен не только освещать подобные вопросы, но и владеть особой структурой профессиональных умений и навыков оперирования с математическими объектами.

Рассмотрение генезиса учебного элемента как педагогической задачи (т.е. как объекта для усвоения другим субъектом в будущей учебной деятельности) требует учета не только своего ментального опыта, личностных характеристик и психолого-педагогических условий деятельности, но и системного анализа функционирования аналогичных подструктур будущего субъекта усвоения социального опыта в изменившихся педагогических условиях. К тому же целенаправленный процесс перехода социального опыта, накопленного предшествующими поколениями в содержании данного учебного предмета (объекты, явления и процессы) в опыт индивидуальный при активном поведении субъекта в процессе усвоения сопровождается необходимыми атрибутами когнитивного процесса: понимание, представление, локализация, целостность и др., вложенных в процесс профессионализации (см. рис.). На следующем рисунке показаны структура и элементный состав факторов, влияющих на проектирование математического объекта (процесса, явления) как педагогической задачи:

Рис. 2. Факторы проектирования математического объекта как педагогическая задача

В основной образовательной программе вуза должны быть формализованы и материализованы в виде конкретных учебных дисциплин и форм учебной деятельности не только дидактические (когнитивные) процессы, формирующие целеполагание, приобретение, применение и преобразование опыта личности, а также адаптационные процессы, характеризующие профессиональные пробы принятия студентом профессии учителя и личностные процессы, направленные на проявление особенностей и развитие мотиваций и эмоций, рефлексии и саморегуляции, самооценки и выбора, интеллекта и креативности личности.

Таким образом, инновационная технология обучения математике представляет собой проектирование реального учебного процесса, соединяющее в себе теоретический или объектно-сущностный (приобретение опыта), процессуально-деятельностный (применение и преобразование опыта), личностно-адаптационный (развитие личностных характеристик, интеллекта) компоненты.

Как известно, в психологических исследованиях одним из существенных факторов, обусловливающих удовлетворенность обучением, являются оценочные показатели. Исследования, проведенные Ю.П.Поваренковым и авторами [2] в группе студентов с устойчивым семейным положением и состоянием здоровья (диагностировались только математические дисциплины) по шести уровням профессионализации (0 - довузовский), дали результаты, приведенные в табл. 1 (где х - среднее арифметическое значение; к - коэффициент вариации, т.е. оценочные показатели).

Таблица 1

Оценочные показатели успешности обучения математике

Общее количество респондентов составило 170 человек, в среднем по 28 человек с каждого курса, 0 курс (довузовский) был представлен 30 респондентами классов с математическим уклоном.

Полученные в ходе диагностических замеров данные по каждому из 170 респондентов группировались по курсам и другим основаниям, подвергались различным видам статистической обработки (корреляционный, дисперсионный и факторный анализ, оценка значимости отличий по различным критериям). Обобщенные и структурированные данные сводились в таблицы и представлялись в графической форме.

В условиях примерно одинакового уровня требовательности при оценивании результатов обучения средние показатели (по 10-балльной системе) имели явный провал между 0 и 1 уровнем, слабый рост до 3 уровня и заметный подъем на 4, 5 уровнях. Так как блок фундаментальной математической подготовки приходится на I-III уровни, то можно сделать вывод о том, что

- переход от школьного математического образования к вузовскому происходит болезненно и отражает существенную разницу содержания математического образования в школе и на I курсе;

- содержание математической подготовки резко контрастирует с содержанием методической подготовки будущих учителей математики как по уровню сложности, так и по интенсивности информации.

Более того, очевидно, что оценочные показатели успешности обучения будут выше, если уровень математических способностей, интеллектуальные возможности, тип мышления обучаемых будут ориентиром для выбора средств, методов и форм математической подготовки. Это, несомненно, повысит эффективность обучения математике (принцип наилучшего стимула Д.Пойа), так как обучаемый будет получать удовлетворение от самого процесса изучения математики.

Несмотря на определенные недостатки в качестве профориентационной работы с абитуриентами, количественные показатели профессионально ориентированной молодежи для поступления в педвузы в последние годы имеют неуклонную тенденцию к росту. Так, за последние 10 лет на I курс физико-математического факультета Ярославского педуниверситета поступали абитуриенты, окончившие педагогические и профильные (математические) классы, имевшие сертификаты доверия учителей математики, направления от различных органов народного образования, в следующих совокупных данных:

Рис. 3. Динамика роста профориентированной молодежи при поступлении в педвуз (в процентах)

Это означает, в частности, что реальность хорошо организованной профессиональной ориентации, необходимости учета вариативности подготовки учителей математики для разнопрофильных и малокомплектных школ требует существенного повышения качества профессиональной подготовки учителей математики в педвузах.

Более того, улучшение профессиональной подготовки учителя математики зависит не только от новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса и качества профориентационной работы в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, поднятия ее на технологический уровень на основе современных деятельностных теорий учения и личностно-ориентированной педагогики.

Педагогические технологии, проявившиеся в США в 50-х годах теоретической разработкой программированного обучения, в настоящее время активно разрабатываются в различных странах мира, в том числе и в России (В.П.Беспалько, В.М.Монахов, М.В.Кларин, Ф.Янушкевич и др.). Представление о педагогической технологии "как о систематичном и последовательном воплощении на практике заранее спроектированного учебно-воспитательного процесса" все же по-разному трактуется отечественными и зарубежными педагогами. Многие авторы даже не делали различия между понятиями "технология обучения", "обучающая технология", "педагогическая технология". В.И.Богомолов отмечает: "терпимость к различным формулировкам наблюдается на фоне общей тенденции перехода к пониманию педагогической технологии как педагогической системы, в которой использование средств обучения повышает эффективность учебного процесса" [6].

Эффективное достижение планируемых учебных результатов зависит от развития технических средств обучения, управления познавательной деятельностью обучаемых, оптимизации образовательного процесса, использования новейших исследований в области психофизиологических механизмов восприятия, памяти и мышления. Родоначальники программированного обучения Б.Скиннер, Н.Краудер, основываясь на бихевиористической теории обучения (стимул $\longrightarrow$ реакция $\longrightarrow$ подкрепление), определили его характеристические черты: полный набор учебных целей, подбор критериев их измерения и оценки, точное описание условий обучения. В то же время неуправляемое становление приемов мыслительной деятельности, ориентация на репродуктивный тип обучения, неразработанность мотивации учебной деятельности, невозможность диагностирования опыта творческой деятельности заставили педагогов и психологов трезво оценить возможности программированного обучения. Модная современная модернизированная форма программированного обучения - дистанционное. Однако эффективность дистанционного обучения (при условии его качественной организации и содержания) достигается за счет больших временных затрат и возможности оперативного воспроизведения его учебных элементов, в том числе средствами мультимедиа и использования новейших телекоммуникационных ресурсов.

М.В.Кларин [17] отмечает, что по логике технологического подхода к процессу обучения есть две возможности: либо распрощаться с учителем как с фигурой, определяющей учебный процесс, заменив его обучающим устройством, либо ограничить его роль консультативно-организационными функциями (причем для такой работы не обязательна высокая квалификация учителя). Видимо, существует и третья возможность - при соблюдении основных технологических принципов учитель высокой квалификации и педагогического мастерства творчески управляет педагогическим процессом в совместной деятельности с активно познающим новое знание обучаемым. Современные педагогические технологии В.М.Монахова [23], М.А.Чошанова [23], В.П.Беспалько [5] и др. ориентируют именно на это направление развития педагогических технологий. Существенным является то, что технические средства обучения (ТСО) - аудиовизуальные, телекоммуникационные, электронные, интерактивные и т.п. - рассматриваются именно как технологические средства, но не определяющие существо педагогической технологии. Наше исследование педагогических технологий в большей степени будет касаться вопросов системного анализа, психологии обучения математике, управления познавательной деятельностью студентов, научной организации педагогического труда. "Технология полного усвоения" (Дж.Кэррол, Б.Блум, Л.Андерсон и др.) не является предметом данного исследования, авторы более придерживаются концепции "гибкой педагогической технологии" [37], в том числе способной решать проблемы блочно-модульного обучения и организации эффективной творческой деятельности студентов.

В то же время модульное обучения должно сочетаться с другими методами и концепциями эффективной организации учебной деятельности. Исследования, проведенные автором в рамках Кассель-проекта под руководством профессора Д.Берджеса (Англия) по проблеме математических достижений школьников в различных странах мира, дали интересные результаты (табл. 2) на репрезентативных выборках и идентичных тестах с интервалом в один год (одни и те же школьники).

Таблица 2

Среднее количество баллов и средний прирост показателей (за один год) по трем тестам: число, алгебра, геометрия
(из расчета 50 баллов за тест)

$$\begin{tabular}{\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\v... ...19,5}&{\bf\small 29,7}&{\small\bf 10,2}\\ \hline \end{tabular}$$

$$\begin{tabular}{\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\v... ...f 63}&{\bf\small 85,4}&{\small\bf 22,4}\\ \hline \end{tabular}$$

В обследовании было задействовано 6 школ г.Ярославля с репрезентативной выборкой из 425 школьников 6-8 классов. Им был предложен тест потенциала и дважды (с разницей в один год) три математических теста (число, алгебра, геометрия) достижений, по содержанию покрывающих объем учебного материала 5-8 классов основной школы.

Результаты показывают существенный прогресс российских школьников, несмотря на преимущественное использование традиционных методов обучения. Из таблицы видно, что российские школьники опережают сверстников всех европейских стран как по абсолютным показателям, так и по динамике прироста математической подготовленности даже при условии, что средний возраст наших школьников был несколько ниже, чем европейских. В этих результатах на самом деле нет ничего удивительного: хорошо известны наши традиции в определении объема и насыщенности математической информации для образовательной области "математика", равно как и хороший уровень профессиональных умений наших педагогов.

Однако в ласкающих глаз цифрах наших успехов есть несколько тревожных тенденций, скрытых от взора даже внимательного и знающего аналитика. Во-первых, конечно же, назрела необходимость в переструктуризации содержания обучения математике (и других образовательных областей!), начиная с 1 по 11 (или 12) классы. До 5 класса математика должна максимально способствовать социализации и развитию личности, создавая необходимый знаниевый фундамент для основной школы. В основной школе математика должна быть универсальной и единой, показывая свою роль и место в жизни общества и использовании в других науках. При этом особое внимание должно уделяться формированию у школьников средствами математики вычислительной и алгоритмической культуры, функционального и модельного мышления. Старшая школа, сохраняя образовательное ядро, должна быть профильной, способной дать углубленную подготовку в различных направлениях: гуманитарном, инженерном, математическом, экономическом и др.

При этом будет, видимо, сокращаться общий объем математических знаний и осуществлена их переструктуризация в начальной и основной школах при сохранении и усилении развивающего эффекта. Это может быть достигнуто только за счет использования в практике школы современных теорий и технологий обучения и повышения качества подготовки учителей математики в высших учебных заведениях.

Во-вторых, реальная перегрузка наших школьников возникает не столько во время учебного процесса (который в какой-то мере может контролироваться), а, как правило, во внеучебное время (выполнение домашних заданий, дополнительное образование и т.п.). Иной школьник затрачивает больше времени на домашнее задание, чем на работу в классе. Конечно же, это дает в конце концов образовательный эффект, но за счет личного времени школьника, которое он мог бы использовать для укрепления здоровья, расширения коммуникативных возможностей, повышения культуры.

Данные также свидетельствуют о том, что необходим интенсивный обмен передовым опытом функционирования различных образовательных систем в XXI веке с целью выявления эффективных методов, форм и технологий обучения математике, определения оптимального содержания обучения и формирования математической культуры полноценных членов мирового сообщества.

В то же время в последней четверти XX века наши ученые и педагоги озабочены некоторым падением уровня математического образования в педвузах России. Усугубилась ситуация, о которой знаменитый немецкий математик Ф.Клейн еще в 1924 году писал как о "двойном разрыве" между школьной и вузовской математикой, указывая на необходимость преподавания элементарной математики с точки зрения высшей. И дело не только в реальном уменьшении учебных часов на математику или объективно сложившейся ситуации, когда педвузы обучают основную массу средних по интеллектуальным способностям студентов (средние и низкие значения IQ, что нисколько не умаляет возможности подготовки в будущем хороших, творчески мыслящих учителей математики), а в качестве и действенности усвоения студентами математического содержания, формировании опыта творческой деятельности в сочетании с выработкой ценностных ориентаций, в том, что фундаментальность содержания математического образования еще слабо увязывается с будущей профессиональной деятельностью студентов педвузов.

Об осторожности в отборе и объеме фундаментальных знаний будущего учителя неоднократно говорил К.Д.Ушинский.

Кстати, разговор об уровне интеллектуальных способностей студентов педвузов достаточно актуален и определяется целым рядом факторов: социальных, психологических, онтогенетических, экономических, нравственных и др. И здесь важен принципиальный тезис о возможности подготовки компетентного и творчески мыслящего учителя в объективно сложившихся условиях. Примечательно высказывание академика С.П.Новикова: "Эти средние выпускники не напишут, конечно, выдающихся научных работ с оригинальными результатами, но это - слой научно грамотных учителей, а некоторые могут оказаться блестящими педагогами. Они помогут нахождению подлинных математических талантов и будут отнюдь не средними в такой педагогической работе" [25].

Математическое образование студентов педагогических вузов может оказаться наиболее восприимчивым к технологическим инновациям ввиду модельного характера содержания и глубоких внутренних взаимосвязей в структуре математической деятельности, возможности фундирования школьного математического знания.

В основе инновационного подхода к отбору содержания и технологии предметной подготовки учителя математики лежит овладение студентом особым когнитивным стилем математической и, что особенно важно, профессионально-математической деятельности. Последняя может формироваться посредством актуализации субъективного опыта квазипрофессиональной деятельности обучаемого с последующим фундированием на основе теоретического обобщения базовых учебных элементов школьной математики.

Целеполагание

Центральным системообразующим компонентом педагогической технологии является ее цель. Можно выделить три аспекта цели: во-первых, как "идеальный или мысленно представляемый ее результат" [38]; во-вторых, как уровень требований, направленных на характеристику готовности личности к будущей профессиональной деятельности учителя: параметры профессиональной пригодности и профессиональной готовности личности, профессионально важные и профессионально значимые качества, уровни достижений компонентов личностного развития, опыта личности, эмоционально-волевой и мотивационной сферы, креативности и творческой активности личности и т.п.; в-третьих, как целостный и динамический процесс развертывания иерархии целей и уровня достижений в учебной деятельности, принятых личностью, которая начинает теперь выступать в качестве субъекта учебной деятельности.

В процессе освоения педагогической профессии формирование цели начинается с передачи обучающемуся нормативной цели - результата формируемого опыта личности, включающего содержание предметного, методического, методологического компонентов профессиональной подготовки. Задача обучающего на первом этапе профессионального обучения и состоит в том, чтобы сформировать у обучаемых представление о нормативном результате деятельности (НРД).

Анализ различных видов деятельности позволяет выделить два вида цели-результата [38]:

- цель-образ - непосредственно направляющая и регулирующая учебную деятельность на всем ее протяжении (например, учебный план и учебные программы образовательной области);

- цель-задание - регулирующая учебную деятельность через конечный результат, который выступает в форме способа достижения сущностных связей проекта учебного элемента: знания, умения, навыка, математического метода, идеи, алгоритма, процедуры.

Формирование у обучаемых представлений о том, что должно быть получено в результате учебной деятельности, составляет только первый этап формирования цели-результата. На втором и третьем этапах формируется представление о качественных и количественных параметрах НРД. Так, диагностируемой ориентировочной основой учебной деятельности может выступать аннотированная учебная программа (АУП), которая представляет собой проектирование в свернутом виде содержания и структуры учебной дисциплины (или ее части), адекватное диагностируемому целеполаганию приобретения, применения и преобразования когнитивного опыта и предполагающее готовность к управляемой процедуре развертывания в учебной деятельности.

Качественные параметры АУП задаются компонентным составом, способами выполнения учебной деятельности и их последовательности с проектированием теоретического и эмпирического знания, практического и прикладного компонентов, эвристической и алгоритмико-вычислительной деятельности. В главе II приведена АУП по математическому анализу (Введение в анализ) для студентов специальности "математика" педвузов [29].

Представление о количественных параметрах НРД формируется с опорой на психофизиологические особенности обучаемых, требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и его региональных особенностей, логику проектирования и развертывания содержания учебного предмета, квалификацию и критерии контрольно-оценочной деятельности обучающего.

Учебные цели реализуются через мотивированную учебную деятельность в определенных объективных и субъективных условиях активности личности в решении дидактических задач. В свете деятельностного подхода (Л.С.Выготский, С.Л.Рубинштейн, П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина, А.Н.Леонтьев и др.) в структуре деятельности выделяются следующие компоненты: потребности, мотивы, цели, условия, результаты, объект, на который она направлена. Деятельность понимается как реальный процесс взаимодействия человека, являющегося субъектом этой деятельности, с окружающим миром, взятым в его целостности, процесс решения жизненно важных задач и складывается из совокупности действий и операций. При этом важнейшей, с психологической точки зрения, является ориентировочная часть деятельности, предназначенная выполнять сигнальную функцию, ориентировать индивидуума на процесс решения, в том числе учебных задач. Действие (как единица психологического анализа деятельности) - составляющий элемент деятельности, состоит из операций, с помощью которых выполняется действие, и всегда направлено на достижение цели.

П.Я.Гальперин [10] выделил в любом действии три компонента: ориентировочный, исполнительный и контрольно-корректировочный. Н.Ф.Талызина отмечает: "Ориентировочная основа - это та система условий, на которую реально опирается человек при выполнении действий. Ее можно раскрыть как процесс использования ориентировочной основы действия" [32, С. 96]. Но, рассматривая деятельность процесса учения как сложную систему действий и операций, необходимо формировать ориентировочную основу учебной деятельности, адекватно соотнесенную с целью-результатом учения.

Приняв цель учебной деятельности, обучаемый начинает выступать в качестве субъекта учебной деятельности. При этом перед обучаемым во всей полноте встают вопросы: что, как и когда ему надо делать для того, чтобы достичь результата. Обучаемый должен представить компонентный состав учебной деятельности, способы выполнения действий и их последовательность.

Ориентировочная основа учебной деятельности (ООУД) - это непосредственно направляющая и регулирующая совокупность и взаимосвязи актуализированных опор в виде объективных и субъективных условий, принятых личностью, в процессе целенаправленной учебной деятельности. Рассматриваемые опоры могут быть внешние и внутренние, материальные и материализованные, перцептивные и идеальные, мотивационные и эмоционально-волевые, мнемические и эвристические. Характерными признаками ООУД являются ее неизменяемость на векторе цель-результат и реальная возможность и эффективность исполнения деятельности.

Сужение ООУД на конкретное действие, входящее в состав опорной части учебной деятельности, полностью определяет ориентировочную основу действия. Однако объединение последних не составляет полностью ООУД, которая имеет дополнительные компоненты образования структурного и иерархического уровней.

Термин "целенаправленная учебная деятельность" (ЦУД) принадлежит Л.М.Фридману [35, С. 78] и характеризует теорию учебной деятельности, разработанную В.В.Давыдовым и Д.Б.Элькониным [13].
Основная особенность трактовки этого базового понятия состоит в том, что она не только объективно направлена на достижение целей образования, но и принимается личностью, то есть субъективно направлена внутренними мотивациями обучаемого.

Первой особенностью ЦУД является ориентация на расширение опыта личности, развитие ментальных структур, личностных качеств, креативности и интеллекта. Второй ее особенностью является освоение обобщенных схем деятельности (третий тип ориентировки в предмете). Это означает, что необходимо вооружить обучающегося таким методом анализа, чтобы он мог для любого явления из этой области самостоятельно составить полную ориентировочную основу действия. Очевидно далее, что такой анализ должен быть ориентирован: 1) на "основные единицы" материала данной области и 2) на общие правила их сочетания в конкретном явлении. Соответственно этому на первых объектах новой области обучающиеся овладевают двумя методами: методом выделения основных единиц конкретных объектов и методом характеристики их сочетания в этих объектах [13].

Третья особенность заключается в систематическом рассмотрении предметно-материальных условий происхождения основных понятий, при этом создается эффективная познавательная мотивация. Четвертая особенностью ЦУД строится по принципу содержательного обобщения, когда когнитивный процесс направляется от абстрактного знания к конкретно-частному. Наконец, ее пятая особенность заключается в необходимости формировать у обучаемых научно-теоретический тип мышления, в отличие от эмпирического.

Реализация рассмотренных особенностей ЦУД в педагогической системе математического образования будущих учителей математики может осуществляться в следующих компонентах ООУД как объективных характеристиках содержания образования:

- учебный план предметного блока Государственного образовательного стандарта (ГОС);

- учебные программы (образовательные профессиональные программы) математических дисциплин;

- теоретический и практический материал учебных дисциплин, отражающий содержание учебных программ;

- методологическое и методическое обеспечение обучения математике на основе критериев профессионализации математического образования [29].

Факторы, определяющие содержание ООУД, соответствуют характеристикам педагогической системы. Прежде всего, это потребности общества в компетентных высококвалифицированных учителях математики, определяющих в конечном итоге интеллектуальный потенциал нации и технологический прогресс в различных областях науки и техники. Существенным является при этом проектирование не только профессионально-ориентированной "знаниевой" базы будущего опыта личности, но и "методологической" компоненты - специальные (математические) методы и приемы мышления, профессионально важные идеи, алгоритмы и процедуры учебной деятельности. Таким образом, вместо привычной аббревиатуры "ЗУН" - знания, умения, навыки - профессионально-ориентированным представляется сочетание "ЗУНМА" - знания, умения, навыки, методы (специальные), алгоритмы, идеи и процедуры. Однако не весь проектируемый опыт личности (или его часть) входит в состав ООУД (или ее части). Дело в том, что ЗУНМА имеет сложную внутреннюю иерархическую структуру, с объективно существующими логическими, семантическими, реляционными и фреймовыми связями, которые, как правило, не имеют адекватного представления в учебных планах и программах, составе экзаменационных требований и проектируемых учебных материалов. Поэтому актуальной проблемой является определение и представление оптимального "ядра" ЗУНМА глобального, модульного и локального уровней ООУД. К содержанию ООУД

- глобального уровня отнесем: учебный план предметного блока ГОС, перечень учебных дисциплин (в составе учебных предметов), представляющих целостные сквозные циклы предметно-методического содержания ЗУНМА; базовые комплексы измерителей: фундаментального и профессионально-предметного уровня обученности, общеучебных учений и навыков, материализации мотивационной и эмоционально-волевой сфер, развития креативности и творческой активности личности будущего педагога; опорные ЗУНМА школьного и вузовского предметного блока и их взаимосвязи; банк логических спиралей теоретического обобщения школьных опорных ЗУНМА; банк трансдисциплинарных комплексов опорных ЗУНМА; материализацию логических спиралей и трансдисциплинарных комплексов практическими и прикладными задачами;

- модульного уровня отнесем: опорные базы проектируемых и усвоенных ЗУНМА; аннотированные учебные программы; интегративные экзаменационные программы ЗУНМА; деятельностный модуль обучаемого (самостоятельные и контрольные, в том числе домашние работы), творческие задания, педагогические программные продукты (в том числе контролирующие), темы рефератов, коллоквиумов, курсовых и лабораторных работ и т.п.; фрагменты логических спиралей и трансдисциплинарных комплексов; дидактические модули ООУД;

- локального уровня отнесем: структурный анализ опорных
ЗУНМА, являющихся ближайшим видовым проявлением школьных учебных элементов; образцы учебных действий, алгоритмов и процедур учебной деятельности; актуализированные базы усвоенных ЗУНМА; таксономию учебных целей и структуры уровней усвоения; прикладные и практические задачи, моделирующие элемент логических спиралей.

Кроме объективных характеристик, целый ряд субъективных условий, определяющих содержание ООУД, обеспечивает процесс принятия личностью обучаемого целей профессиональной подготовки. В динамической структуре личности этим предметом является опыт личности (направленность, ценностные ориентации, коммуникативность, когнитивные, трудовые, эстетические и физические качества, ЗУНМА). Существенным при этом являются способы кодирования информации, когнитивные схемы, семантические структуры и организация понятийных структур [36, С. 174].

Нормативный результат деятельности, представленный в ООУД, отражает в том числе общественные потребности. В ходе его принятия обучаемым внешнее формирующие воздействие преломляется через внутренние условия - мотивы и способности субъекта, осваивающего учебную деятельность, и в результате представление о НРД трансформируется в субъективную цель деятельности. Этот процесс заключается прежде всего в том, что человек определяет для себя, в какой мере он должен выполнять требования к качественным параметрам результата и какого уровня освоения он может достичь, то есть определяется субъективно приемлемый уровень достижений. Педагогическим условием реализации личностного смысла учебной деятельности являются различные таксономии учебных целей Б.Блума, В.П.Беспалько, А.В.Усовой и др. В зависимости от осознанного личностью смысла деятельности и нормативно одобренной ситуации выбора уровней освоения учебной деятельности обучаемый трансформирует нормативную цель-результат в субъективную цель.

Существенным аспектом такого целеобразования является установление количественной характеристики уровня достижений в учебной деятельности (по каждому определенному параметру). Дело в том, что оценка уровня достижений находится в зависимости от прошлого опыта человека в конкретной предметной области. Приступая к освоению учебной деятельности, обучаемый не в полной мере может составить четкое представление о своих возможностях.

Цель-уровень достижений изменяется в зависимости от достигнутого результата и от усилий, которые обучаемый при этом затрачивает. В экспериментальных исследованиях [38, С. 38] доказано значительное влияние уровня реальных достижений и уровня притязаний обучаемого на процесс целеобразования. Существенное влияние на процесс целеобразования в учебной деятельности оказывают социальные факторы и, прежде всего, педагогическое взаимодействие обучаемых между собой, например, работа в малых группах. Обучаемый постоянно сравнивает свои достижения со средними групповыми результатами и показателями учебной деятельности отдельных членов малой группы, определяя качественные и количественные характеристики цели и воспринимая их как личностно-значимые.

Обобщенная схема процесса формирования цели-уровня достижений представлена на схеме [38]:

Схема 1

Формирование цели-уровня достижений (основные факторы)

Рассмотренные выше аспекты формирования цели присущи не только формированию глобальных целей деятельности, но и представлены при формировании цели конкретных действий. В то же время этот процесс всецело определяется и направляется ООУД. По каждому диагностируемому параметру и показателю ООУД в процессе учебной деятельности фиксируется и динамично изменяется в направлении достижения НРД реальный уровень достижений обучаемого, который формируется как личностными, так и внешними оценочными действиями.

Таким образом, под информационной основой учебной деятельности (ИОУД) (имея в виду [38, С. 48] будем понимать совокупность текущей информации, характеризующей объективные и субъективные условия учебной деятельности и позволяющей организовать деятельность в соответствии с ООУД. В ИОУД входит информация как об объекте, так и субъекте деятельности. Первоначально в ИОУД включаются признаки, доступные для восприятия, усвоения и реализации в исполнительских действиях. Осваивая профессию, обучающий и обучаемый включают в ИОУД те информационные признаки, учет которых способствует успешности учебной деятельности. По мере освоения учебной деятельности количество таких признаков увеличивается.

В процессе формирования ИОУД, помимо содержательных, целесообразно выделить также процессуальные и результативные признаки. Под первыми будем понимать [38, С. 49] информационные признаки, с ориентацией на которые выполняются учебные действия; они несут информацию, используемую в процессе выполнения учебных действий. Результативные признаки дают информацию о параметрах результата, по которым происходит его сравнение с целью деятельности. Следует выделить результативные признаки отдельных действий и деятельности. Усвоенные результативные признаки действий начинают выступать в роли процессуальных признаков при регуляции деятельности. В процессе освоения действий как элементов учебной деятельности отношения между процессуальными и результативными признаками определяются формой задания цели действия,степенью освоения микрокомпонентного состава действия. При задании цели в форме образа значимость результативных признаков резко повышается, при цели-задании ведущая роль переходит к процессуальным признакам. Освоенность микрокомпонентного состава действия диктует следующую динамику ориентировки: на первых этапах освоения учебного действия ведущее значение принадлежит процессуальным признакам, на завершающих - результативным. Если действие состоит из микрокомпонентов, выполнение которых не вызывает трудностей у обучаемых, то ведущую роль могут играть результативные признаки.

Содержание

Содержание образования определяется как совокупность систематизированных знаний, умений и навыков, взглядов и убеждений, а также определенный уровень развития познавательных сил и практической подготовки, достигнутой в ходе учебной деятельности [26]. К педагогическим особенностям проектирования содержания математического образования будущих учителей математики отнесем:

- личностно-ориентированный подход к определению сущности содержания образования, способствующий раскрытию и всестороннему развитию личности будущего педагога, формирующий основы для самореализации и активности личности, создания ситуаций продуктивного учебного взаимодействия в профессионально-педагогической деятельности на основе профессиональной компетентности и технологической гибкости принятия педагогических решений;

- преемственность содержательных линий школьного и вузовского математического образования и вариативности способов решения педагогических и учебных задач на основе взаимопереходов знаково-символической деятельности (вербальной, наглядно-действенной, наглядно-образной, логической);

- целостность, иерархичность и профессионально-педагогическая направленность развертывания математического содержания профессиональной подготовки учителя в единстве теоретического, практического, прикладного, эвристического, мотивационного и алгоритмико-вычислительного компонентов;

- профессионально направленный процесс создания условий (психологических, педагогических, организационно-методических) для актуализации базовых учебных элементов школьной и вузовской математики с последующим теоретическим обобщением структурных единиц, раскрывающих их сущность, целостность и трансдисциплинарные связи в контексте интеллектуального и личностного развития студентов;

- наглядное моделирование дидактических и когнитивных процессов на основе адекватного восприятия, активизации мотивационной и эмоционально-волевой сферы, мнемических процессов, а также разнообразия форм представления математических объектов (логических, реляционных, семантических, продукционных, фреймовых, гипертекстовых);

- создание условий (педагогических, психологических, организационно-методических) для творческой активности студента, создающей основы профессионального мастерства и моделирующей приемы и методы деятельности учителя математики.

Целенаправленный процесс перехода социального опыта, накопленного предшествующими поколениями в рамках данного учебного предмета (объекта, явления или процесса), в опыт индивидуальный при условии активности субъекта обучения сопровождается необходимыми атрибутами когнитивного процесса: восприятие, понимание, представление, узнавание, локализация, целостность и др.

Анализ раличных подходов к содержанию образования (И.Я.Лернер, В.С.Леднев, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, Е.И.Смирнов, В.В.Афанасьев и др.) позволяет определить следующую модель содержания математического образования студентов педагогических вузов:

Схема 2

Модель содержания
математического образования будущих учителей математики (целостный объект)

Проблема содержания образования и логики его развертывания в педагогическом процессе является центральной для процессов профессионализации в различных компонентах структуры личности.

Математические аспекты проектирования теоретического содержания математического образования достаточно полно освещены в психологических исследованиях. "Всю систему обучения необходимо переориентировать с формирования у детей рассудочно-эмпирического мышления на развитие у них современного научно-теоретического мышления" [12]. Тем более велика роль формирования теоретического мышления у будущих учителей математики, когда само содержание и форма математических знаний обуславливают выполнение основных математических операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное и теоретическое. Теоретическое мышление физиологически естественно для студенческого возраста и совершается оперированием идеальными элементами (понятиями, рассуждениями, умозаключениями и т.п.). В то же время актуальным остается положение Л.С.Выготского о том, "что процессы развития идут вслед за процессом обучения, создающим зоны ближайшего развития" [9].

М.Дональдсон [14] выделяет следующие условия, способствующие формированию теоретического мышления:

- никакой формальной системой нельзя овладеть, не научившись хотя бы немного выходить за рамки конкретики;

- необходимо направлять мыслительные процессы на самих себя, не просто говорить, а отбирать то, что собираешься сказать, не просто интерпретировать, а сравнивать интерпретации;

- следует развивать в себе способность задержать внешнее действие и переключить внимание на умственные действия.
Именно этот момент способствует осознанию внутренних действий:

- саморефлексии своих умственных действий;

- владению планирующей деятельностью.

Далее можно упомянуть теорию развивающего обучения Л.В.Занкова (один из принципов - приоритет теории) [15]; теорию В.В.Давыдова (признаки теоретического мышления - обобщенность, рефлексия, внутренний план действий), когда основу теоретического обобщения составляет всеобщая (существенная) связь, выступающая в роли генетической исходной основы для всех частных проявлений [12]; развитие теории ориентировочной основы умственных действий П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной (III тип ориентировки - моделирования обобщенных ориентированных основ действий) [10].

В.В.Давыдов отмечает следующие основные различия эмпирического и теоретического мышления:

- эмпирические знания есть результат сравнения предметов и представлений о них, а теоретические знания возникают в процессе анализа их функций;

- в процессе эмпирического сравнения происходит выделение формального свойства, общего для всех предметов, а теоретический анализ позволяет открыть реальные отношения в системе предметов или явлений;

- эмпирические знания, опирающиеся на наблюдение, отражают в представлениях внешние свойства предметов, а теоретические знания отражают их внутренние отношения и связи;

- процесс конкретизации эмпирических знаний состоит в подборе иллюстраций, примеров, входящих в соответствующий класс предметов, а конкретизация теоретических знаний состоит в выведении и объяснении особенных и единичных проявлений целостной системы из ее всеобщего основания;

- необходимым средством фиксации эмпирических знаний являются слова-термины, а теоретические знания выражаются в способах умственной деятельности, а затем уже с помощью различных символьно-знаковых средств [13].

В основе инновационного подхода к отбору содержания предметной подготовки учителя математики лежит овладение обучаемым когнитивным стилем математической и, что особенно важно, профессионально-математической деятельности. Последний может формироваться посредством актуализации субъективного опыта квазипрофессиональной деятельности обучаемого с последующим фундированием базовых учебных элементов школьной математики (БУЭШМ) на основе их теоретического обобщения.

Фундирование

Принцип фундаментализации (теоретического обобщения) для определения содержания и структуры математического образования будущих учителей математики неоднократно использовался в педагогических исследованиях проблем высшей школы. Этот вопрос обсуждался в докторских диссертациях А.Г.Мордковича, В.А.Оганесяна, Г.Л.Луканкина, Г.Г.Хамова, Е.И.Смирнова и других.

Так, М.И.Шабунин (1994 г.) определяет содержание этого принципа требованием, чтобы:

а) математические понятия и методы решения задач имели достаточную степень обобщения, чтобы обеспечить широкие возможности их применения;

б) используемые математические понятия содержали точные определения, основные утверждения должны быть доказаны;

в) изложение материала было логически строгим, а последовательность его изучения согласована с потребностями смежных дисциплин;

г) курс математики заложил основы творческого применения полученных знаний для решения прикладных задач.

Все рассматриваемые выше подходы реализуют линейную схему моделирования теоретического знания (в соответствии с известным тезисом: от простого - к сложному, от знания неполного, неточного - к более полному, к более точному), тогда как содержание математического образования должно рассматриваться, в частности, как целостная система знаний, умений, навыков, методов, представляющих собой профессионально необходимое расширение школьного математического содержания.

Структурообразующим фактором проектируемой дидактической системы является концепция фундирования, предложенная В.Д.Шадриковым. В связи с выявленными тенденциями было предложено углубить теоретическую и практическую составляющие математического образования будущего учителя математики, изменив содержание и структуру математической и методической подготовки в направлении усиления школьного компонента математического образования с последующим фундированием знаний на разных уровнях. Фундирование - это процесс создания условий (психологических, педагогических, организационно-методических) для актуализации базовых учебных элементов школьной и вузовской математики с последующим теоретическим обобщением структурных единиц, раскрывающим их сущность, целостность и трансдисциплинарные связи в направлении профессионализации знаний и формирования личности педагога.

Концепция фундирования школьных математических элементов (знаний, умений, навыков, математических методов) предполагает развертывание в процессе математической подготовки студентов следующих компонентов:

- определение содержания уровней базового школьного учебного элемента (знания, умения, навыки, математические методы, идеи, алгоритмы и процедуры);

- определение содержания уровней и этапов (профессионального, фундаментального и технологического) развертывания базового вузовского учебного элемента;

- определение технологии фундирования (диагностируемое целеполагание, наглядное моделирование уровней глобальной структуры, локальной модельности, управления познавательной и творческой деятельностью студентов, блоки мотивации базовых учебных элементов);

- определение методической адекватности базовых школьных и вузовских (фундированных) учебных элементов на основе современных методологических концепций.

Принципиальным отличием формулируемой концепции фундирования является определение профессионально ориентированной теоретической основы для спиралевидной схемы развертывания и моделирования базовых учебных элементов в направлении их творческого обобщения в системе математической подготовки студентов педвузов. Если мы начнем со школьного предмета через послойное фундирование его в разных теоретических дисциплинах, то объем, содержание и структура математической подготовки должны претерпеть значительные изменения в направлении практической реализации теоретического обобщения школьного знания по принципу "спирали".

Образовательная область (учебный предмет) "математика" применительно к основной и старшей школе традиционно преподается как учебные курсы (дисциплины): алгебра (алгебра и начала анализа) и геометрия. Проблема изучения начал анализа в средней школе дискутируется более века: содержание, уровень строгости и доказательности, практических умений и навыков, прикладные аспекты и т.п., и в настоящее время элементы математического анализа прочно вошли в содержание школьного математического образования. Государственным образовательным стандартом определены 5 содержательных линий школьного курса математики: числовая, функциональная, геометрическая, тождественных преобразований, уравнений и неравенств. Такая структуризация учебного материала позволяет выделить исходные объекты фундирования:

Рис. 4. Исходные объекты фундирования: Г - геометрическая;

Ф - функциональная; Ч - числовая; Т - тождественных преобразований;
У - уравнений и неравенств

К данному перечню следует присоединить стохастическую линию, необходимость введения которой в школьный курс математики активно обсуждается и частично реализуется в последние годы, и алгоритмическую линию, связанную с методологическими основами информатизации учебного процесса. Таким образом, мы имеем полную картину исходного уровня фундирования:

Рис. 5. Исходный уровень фундирования: С - стохастика;
А - алгоритмика; остальные обозначения см. на рис. 4

Каждая содержательная линия определяет базовые знания, умения, навыки и методы, распределенные по оптимальному набору учебных предметов вуза. Преемственность учебных предметов определяется через (и посредством) содержательных линий:

Рис. 6. Преемственность школьных содержательных линий и вузовских учебных предметов

Будем рассматривать три компонента процесса фундирования базового учебного элемента школьной математики (БУЭШМ): глобальный, локальный и модульный. Основанием для типологии фундирования является степень развернутости спиралевидного процесса и различие в целеполагании.

Учебный предмет, представляя собой целостную структуру учебной информации в составе теоретического, практического, прикладного, деятельностного, эвристического и гуманитарного компонентов, разворачивается в базисном (содержательном), процессуальном и иерархическом уровнях в своих локальных, модульных и глобальных проявлениях.

В развертывании содержания учебного предмета в контексте профессионализации фундирования БУЭШМ с особой отчетливостью прослеживаются три линии:

- логика определения содержания учебного предмета, исходя из его особенностей: отбор базовых учебных элементов, структуры, этапы изучения, интегративные знания, соотношение теоретического и практического компонентов и т.п.;

- логика преемственности и содержания теоретического обобщения БУЭШМ: содержательные линии школьной математики и набор учебных предметов вузовского обучения, построение системы логически взаимосвязанных видовых проявлений базовых родовых понятий, усиление прикладного и деятельностного компонентов обучения математике, модульный принцип развертывания содержания учебного предмета и т.п.;

- учет психологических и педагогических особенностей восприятия, усвоения, представления, применения, анализа и синтеза учебного материала субъектом обучения: наглядное моделирование, имитационное моделирование, структурный анализ базовых учебных элементов, усиление эвристического и гуманитарного компонентов, развитие интеллектуальных и личностных характеристик, вариативность решения учебных задач, взаимопереходы знаковых систем и т.п.

Осмысление математического объекта как педагогической задачи в когнитивном процессе логически проявляется в структуре спирали фундирования учебного элемента на этапе методики ее изучения в школьной математике (глобальное фундирование).

Признаками глобального фундирования являются: развернутость учебной деятельности во времени (8-10 семестров); наличие существенной обобщенной связи в комплексе видовых проявлений учебного элемента; наглядное моделирование структуры видовых проявлений; наличие спиралевидной модели видовых взаимосвязей, где начальное звено представляет собой школьный учебный элемент; обязательное наличие теоретического обобщения, конечное звено представляет собой методическое осмысление начального звена; корреляция начального и конечного звена спирали.

Основная задача глобального фундирования школьного учебного элемента в вузовском дидактическом процессе обучения математике - создание целостного представления о слое профессионально ориентированных знаний, умений, навыков, математических методов, алгоритмов и процедур, упорядоченном в направлении теоретического обобщения школьного учебного элемента в контексте развертывания устойчивых профессионально-важных связей между видовыми проявлениями родового учебного элемента. При этом необходимо обеспечить максимальный развертывающий эффект средствами математики и сформировать устойчивый потенциал математической деятельности.

Структура глобального фундирования разворачивается по 6 базовым учебным предметам сквозного характера (в течение всех лет обучения): математический анализ, алгебра, геометрия, алгоритмика, стохастика, элементарная математика, которые продолжают и углубляют 7 содержательных линий школьной математики. Другой срез структуры образуют 3 слоя фундирования:

- профессиональный (I-III семестры), предназначенный для формирования ближайшего видового обобщения методом наглядного моделирования базовых учебных элементов школьной математики. Дело в том, что в зависимости от того, в какой мере усвоение понятия удовлетворяет критериям, определяются уровни его усвоения. Психологи Д.Н.Богоявленский, Н.А.Менчинская, М.Н.Шардаков различают четыре уровня. Первый характеризуется диффузно-рассеянным представлением о предмете, явлении. Для второго уровня характерным является то, что ученик уже может указать признаки понятий, но не может отделить существенные от несущественных. Для третьего уровня усвоения понятий характерным является то, что ученик усваивает все существенные признаки, но понятие оказывается еще скованным единичными образами, служившими опорами при формировании понятия. Понятие еще не обобщено. Четвертый уровень характеризуется тем, что понятие уже обобщено, усвоены существенные связи данного понятия с другими, благодаря чему ученик свободно оперирует понятием в решении различного рода задач. Возникает также необходимость в выделении еще более высокого (пятого) уровня усвоения понятия (А.В.Усова), характеризующегося установлением связи понятий, формируемых в разных учебных предметах.

Как правило, в школьной математике понятие доводится до второго уровня (то есть сообщается на "уровне данных" в отличие от "уровня знаний" [40]), и задача высшей школы заключается в том, чтобы достигнуть "уровня знаний" в различных видовых проявлениях родового понятия;

- фундирования (IV-VI семестры), предназначенный для освоения глубокого теоретического обобщения БУЭШМ. Этот путь согласуется с теорией В.В.Давыдова [13], который заметил, что "переход некоторого объекта в форму модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, которые не появляются при непосредственном оперировании", и выделить триаду теоретического обобщения (внутренний план действий, рефлексия, теоретическое обобщение). Основу теоретического обобщения составляет всеобщая (существенная) связь, выступающая в роли генетической исходной основы для всех частных проявлений. Проверенная на практике более 20 лет теоретическая концепция В.В.Давыдова доказала свою высокую эффективность.

- технологический (VII-X семестры), предназначенный для освоения технологических приемов профессиональной деятельности и методического обоснования изучения БУЭШМ.

Следующая структурно-процессуальная схема формализует существенные связи в триаде: школа - педвуз - школа:

Схема 3

где МА - математический анализ, Г - геометрия, А - алгебра, Ал - алгоритмика, С - стохастика, ЭМ - элементарная математика, Ч - числовая линия, Ф - функциональная линия.

Особенности:

- сквозное развертывание учебных предметов,

- блочно-модульная структура,

- преемственность содержания школьного и вузовского обучения,

- приоритет принципов фундаментализации и профессионализации подготовки,

- усиление технологизации профессиональной подготовки.

Целостность и направленность проектируемой дидактической системе придает развертывание спиралей фундирования базовых школьных учебных элементов посредством построения родового теоретического обобщения и технологического осмысления видовых его проявлений.

Например, возможна такая цепочка фундирования:

Рис. 7. Схема фундирования школьного знания

В нашем примере необходимо построить теоретическое обобщение производной на уровне банаховых пространств. Пусть $X,Y$ - банаховы пространства, $U\subset X$ - открытое множество в $X$, $f:U\longrightarrow Y$ и $x_0\in U$. Говорят, что существует производная $f'$ функции $f$ в точке $x_0$, если выполнено условие ($f'$ - линейный оператор из $X$ в $Y$)

$$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+o(h),$$

где $\lim\limits_{h\rightarrow 0}{\displaystyle o(h)\over\displaystyle \vert\vert h\vert\vert}=0.$

Теперь, если $X=Y={\bf R}$, то $f'$ - одномерная производная (число); если $X={\bf R}^n$, $Y={\bf R}$, то $f'=\left( {\displaystyle \partial f\over\displaystyle \partial x_1},..., {\displaystyle \partial f\over\displaystyle \partial x_n}\right)$ - градиент функции $f$ в точке $x_0$, а его компоненты - частные производные $f$ по переменным; если $X={\bf R},$ $Y={\bf R}^n$, то $f'$ - вектор-столбец производных компонентных функций; если $X=Y={\bf C}$, то $f'$ - комплексная производная (комплексное число); если $x={\bf R}^n,$ $y={\bf R}^m$, то $f'$ - матрица Якоби.

Существование производной $f$ в точке $p_0\in X$ означает нечто большее, чем просто существование особого вида действительного числа $\tg\alpha$, вектора $\left({\displaystyle \partial f\over\displaystyle \partial x}, {\displaystyle \partial f\over\displaystyle \partial y}\right)$, комплексного числа (тоже вектора) $\left({\displaystyle \partial u\over\displaystyle \partial x}, -{\displaystyle \partial u\over\displaystyle \partial y}\right)$, матрицы Якоби $\left({\displaystyle \partial f_i\over\displaystyle \partial x_i}\right)_{ij},$ линейного оператора $A:\Omega \longrightarrow Y$ $(p_0\in\Omega ).$ Это прежде всего возможность аппроксимации (приближения) функции $f$ в окрестности точки $p_0$ линейным отображением. Сущность понятия производной заключена в самой возможности линеаризации функции в окрестности исследуемой точки.

Ценность данной модели фундирования (понятия производной на уровне "данных" до ее глубокого теоретического обобщения на уровне "сущности") для учебного процесса в вузе и будущей профессиональной деятельности для студента-математика несомненна и должна найти определенное место в учебных программах математического анализа и авторских технологиях школьного обучения математике.

В то же время данная модель несет в единичном и особенном своем проявлении все основные черты теоретического знания о процессе фундирования базовых учебных элементов школьной математики. Создание системогенетического блока спиралей фундирования БУЭШМ позволяет определить устойчивое ядро содержания учебной информации, проектирующее элементы ориентировочной основы учебной деятельности студентов.

С другой стороны, проецирование теоретического обобщения (родовое понятие) на видовое разнообразие частных случаев в форме актуализированных практических приложений создает устойчивый мотивационный эффект в процессе усвоения школьного математического знания (в нашем примере - понятия производной).

Рис. 8. Схема видовых проявлений родового понятия

Значимость батареи спиралей фундирования по учебным предметам в глобальном аспекте может быть представлена в форме спецсеминара для студентов V курса "Технология фундирования базовых учебных элементов школьной математики", а также в качестве основы для исследования в форме курсовых и выпускных квалификационных работ студентов.

Еще А.Н.Леонтьев считал, что "...актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной деятельности студента, то есть занимает структурное место непосредственно цели внутреннего или внешнего действия в системе той или иной деятельности" [19], поэтому спирали фундирования должны быть представлены студентам на I курсе на уровне данных и познавательной мотивации. Для проектирования учебной деятельности, стимулирующей проблемность и познавательную мотивацию, необходимо сопроводить каждое звено спирали фундирования конкретными прикладными задачами и проблемами из предметных областей, определяющих материализацию познавательных мотиваций в глобальном аспекте. Соответствующая учебная деятельность может быть представлена при написании рефератов (историко-прикладного характера), на лекциях, организацией квазииследовательской деятельности.

Но даже развернутая во времени и смоделированная спираль фундирования не будет нести позитивную познавательную и профессиональную компоненту будущей деятельности, если не спроектировать приемы и элементы учебной деятельности с I по IX семестры, проявляющие компонентный состав, структуру, особенности восприятия и понимания, стимулирующие мотивационную и эмоциональную сферы обучаемых, определяющие контрольно-коррекционные механизмы развертывания спиралей фундирования.

На схеме 4 приведены основные характеристики и критерии проявления их сущности для глобального компонента фундирования БУЭШМ.

Схема 4

Глобальное фундирование БУЭШМ

Признаки	Моделирование ООУД (3 слоя фундирования, банк спиралей фундирования, банк БУЭ(ШМ) и (ВМ)	Формы управления учебной деятельностью	Информационная основа учебной деятельности (ИОУД)
- развернутость во времени (8-10) семестров; - наличие существенных обобщений (родовой) связи в комплексе видовых проявлений; - наглядное моделирование структуры; - наличие спиралевидной модели видовых взаимосвязей; - корреляция начального и конечного звена спирали.	$\bullet$По базовым учебным предметам: - математический анализ; - алгебра; - геометрия; - стохастика; - алгоритмика; - элементарная математика. $\bullet$Трансдисциплинарные спирали. $\bullet$Материализация мотивационной сферы. $\bullet$Фундирование учебных ячеек - развертывание когорты прикладных задач, сопровождающих спирали; - банк спиралей фундирования в интерактивном режиме информационных технологий.	- развертывание слоев фундирования и дидактических модулей; - обеспечение преемственности дидактических модулей и слоев фундирования; - структурный анализ видовых проявлений родового учебного элемента; - написание рефе- ратов и исследо- вание работ, трактующих фрагменты связей в спирали фундирования; - разверывание в курсовых и дипломных работах целостной структуры спиралей; - спецсеминар по технологии фундирования БУЭШМ (V курс).	- определение степени развернутости и мотивации спирали фундирования; - качество и устойчивость усвоения содержания БУЭВМ; - качество усвоения содержания БУЭШМ; - творческая активность квази- исследовательской деятельности в области фунда- ментального и школьного знания; - уровень разви- тия мотивацион- ной сферы, стиль и формы ее материализации.

Этап локального фундирования является очень важным. Работа обучаемых с использованием формально-логического аппарата не всегда ведет к повышению уровня теоретического обобщения, главное - важна адекватность учебной деятельности формируемым знаниям. Обобщенность, гибкость оперирования знаниями поэтому зависит не только от уровня операционального развития личности, но и от предметно-специфических знаний, которые определяются структурой и способами формирования знаний.

Локальное фундирование

Основная задача локального фундирования - создание педагогических условий для целостного профессионально-ориентированного когнитивного процесса структурного анализа видового обобщения школьного учебного элемента. Когнитивный процесс локального фундирования длится в течение начального периода обучения (3-4 семестра) в рамках профессиональной ступени фундирования и предполагает приобретение, применение и преобразование опыта видового обобщения базового школьного учебного элемента. Основанием для проектирования структуры видового обобщения служит: таксономия учебных целей
Б.Блума, типология уровней усвоения В.П.Беспалько, а также трехкомпонентная модель когнитивного процесса: любой когнитивный акт должен включать в себя приобретение, применение и преобразования опыта (В.Н.Дружинин).

Характерной особенностью структурного анализа видового обобщения служит взаимопереход когнитивных сфер: знаково-символической, вербальной, графической, тактильно-кинестетической и деятельностной (наглядно-действенной). Для этого необходимо смоделировать учебный элемент в соответствующей учебной деятельности. Например, для учебного элемента "производная" функции одного действительного переменного как видового обобщения школьного учебного элемента "производная" возможна следующая модель:

Рис. 9. Фрейм представления учебного элемента

Реализация локального фундирования (в том числе структурный анализ видового обобщения) в процессе обучения математике ведет к пониманию обучаемым существа (сущности) математического знания (явления, процесса) и затем к его освоению и усвоению в триаде: понимание + устойчивость + применение.

Каждая из деятельностей связана с активизацией соответствующих когнитивных структур мышления индивидуума, влияние которых на понимание существенных связей в объекте восприятия (в данном случае - в понятии "производная") неоднократно подчеркивалось психологами. Так, психологическое исследование способов кодирования информации впервые было предпринято Дж.Брунером [7], который выделял три основных способа субъективного представления идеи в виде действия, наглядных образов и языковых знаков. Взаимодействие этих трех способов кодирования информации составляет одну из главных черт эффективности мыслительной деятельности индивидуума. Аналогичную мысль о том, что мышление обеспечивают три сферы переработки информации - знаково-словесная, образно-пространственная и тактильно-кинестетическая - неоднократно высказывали Л.М.Веккер, а также
Н.Г.Салмина, М.Холодная и др.

Основные понятия и теоремы в процессе локального фундирования тщательно и всесторонне обсуждаются в совместной деятельности преподавателя (транслятора) и студента с целью достижения методом наглядного моделирования существенных связей учебного элемента и управляемых когнитивных процессов, приводящих к пониманию этой сущности: проводится структурный анализ по следующей схеме:

Рис. 10. Структурный анализ учебного элемента

Признаки локального фундирования

- целостность структурного анализа видового обобщения базового школьного учебного элемента; непосредственность и преемственность видового обобщения;

- выделение существенной связи в видовом обобщении школьного учебного элемента, по которой развертывается теоретическое обобщение;

- адекватность педагогических (дидактических) задач уровню интеллектуального развития студентов; формирование мыслительных действий в "зонах ближайшего развития" индивидуумов;

- выделение ментальных процедур, свойственных математической деятельности учителя, управляемое становление приемов мыслительной деятельности;

- взаимопереход знаковых систем (способов кодирования информации) в операциональной деятельности с математическим объектом.

На первом этапе локального фундирования школьного математического знания определяются существенные внутренние связи понятия (или теоремы), по которым должно будет развертываться теоретическое обобщение. При этом важно в свете профессиональной направленности создать педагогические условия для вариативности актуализации ближайшего видового проявления БУЭШМ. Например, для понятия "производной" это будут: скорость для вектор-функции $\vec r'(t_0)$; производная как предел разностного отношения; частная производная (все - по основному признаку: топологической близости разностного отношения) и условие дифференцируемости (по топологической близости линеаризации графика). Немаловажную роль может сыграть привлечение к активному анализу обучаемыми исторических подходов к введению понятия "производной" и установлению корреляции с актуализированными существенными связями (в данном случае - линеаризация и условие дифференцируемости). Визуализация поиска существенных связей показана на схеме:

Схема 5

Структурно-логическая схема генезиса теоретического обобщения понятия "производная"

Основная задача модульного фундирования - создание условий для формирования целостного представления о видовых проявлениях родового учебного элемента на фоне устойчивого развертывания структурного и методического анализа, адекватного БУЭШМ. В этом важную роль играют преемственность дидактических модулей и освоение расширяющихся фрагментов спирали фундирования БУЭШМ.

Основным компонентом педагогической системы, в котором развертывается модульное фундирование, является дидактический модуль.

Существуют различные точки зрения на сущность и компоненты модуля как в плане структурирования обучения, так и разработки форм и методов обучения (В.Гольдшмидт, М.Гольдшмидт, Дж.Рассел, Ю.К.Балашов, В.А.Рыжов и др.). Так, А.А.Вербицкий [8] вводит понятие деятельностного модуля, в отличие от понятия обучающего модуля (фрагмент содержания курса вместе с методическими материалами к нему), и планирует их в следующие блоки: общеметодологический, конкретно-методологический, теоретический, практический и социальный, совокупность которых и составляет модель специалиста. Ю.К.Балашов и В.А.Рыжов [4] отмечают, что модуль может быть представлен как учебный элемент в форме стандартизированного буклета, состоящего из следующих компонентов:

- точно сформулированная учебная цель;

- список необходимого оборудования, материалов и инструментов;

- список смежных учебных элементов;

- собственно учебный материал в виде краткого конкретного текста, сопровождаемого конкретными иллюстрациями;

- практические занятия для отработки необходимых навыков, относящихся к данному учебному элементу;

- контрольная (проверочная) работа, которая строго соответствует целям, поставленным в данном учебном элементе.

В.М.Монахов [23] определяет понятие дидактического модуля как содержательные блоки курса, соответствующие отдельным темам или разделам программы и определяющие содержание обучения и инструментарий учителя в границах технологического рабочего поля деятельности учителя. Опыт применения модульного обучения в США, Германии, Англии, Шотландии и в нашей стране позволяет выделить следующие его основные элементы: цель (общая или специальная), планируемые результаты обучения (знания, умения, навыки, методы), содержание (контекст, методы и формы обучения, процедуры оценки), максимальная индивидуализация продвижения в обучении (вариативность). Например, в школах Шотландии весь цикл учебных предметов разбивается на 2000 модулей трех типов: общие, специальные, интегративные.

В целом, по оценкам исследователей, модульное обучение позволяет сократить время учебного курса на 30% без ущерба для полноты изложения и глубины усвоения материала.

При решении технологических задач реализации дидактической системы математического образования будущего учителя математики и, как следствие, получения вероятностно гарантированных результатов обучения для большинства студентов одним из ведущих факторов, определяющих оптимальность дидактической системы, выступает исходное состояние личности обучаемого. Многолетние наблюдения за качественным составом нового набора в педвузы, равно как и исторические экскурсы, не позволяют усомниться в том, что более половины студентов I курса родились и выросли в сельской местности (данные по Ярославскому педуниверситету за последние 10 лет колеблются от 56% до 59% абитуриентов из сельской местности) и лишь немногие из них имеют "выдающиеся" математические способности (число выпускников физико-математического факультета ЯГПУ, окончивших вуз с отличными оценками, за последние 10 лет колеблется от 6% до 10% от набора).

Поэтому важным аспектом диагностируемого целеполагания измерителей качества усвоения дидактических модулей (теоретического, прикладного, методического) является диверсификация уровней усвоения учебного материала, причем мы будем различать усвоение понятий, теорем, алгоритмов и т.п. и освоение практических умений, связанных с данным понятием, теоремой, алгоритмом. Это отличается от подхода Н.А.Копытова [18], который, освещая вопрос о том, что подразумевается под "сформированным понятием", отмечает, что оно представляет собой наличие "в... сознании некоторой совокупности родственных понятий и соответствующих им умений". Н.А.Копытов, не употребляя термин "конструирование технологии обучения", практически задает этапы проектирования методической системы, направленной на формирование понятий: выявление совокупности понятий и умений, четко описывающих базовый уровень качества рассматриваемого понятия; полученная на первом этапе совокупность формирует минимальную систему познавательных задач на заданном уровне; минимальный класс заменяется более точно описывающим; далее формируются совокупности задач, позволяющие проверить умение решать.

В то же время А.В.Усова [33] выделяет следующие критерии усвоения понятий:

- полнота усвоения содержания понятия;

- степень усвоения объема понятия, являющаяся мерой его обобщенности;

- полнота усвоения связей и отношений данного понятия с другими;

- умение отделить существенные признаки понятия от несущественных;

- умение оперировать понятиями при решении задач;

- умение классифицировать понятия, правильно их соотносить друг с другом.

С.Б.Суворова [31] рассматривает систему методических требований, которым должна удовлетворять система упражнений, направленная на формирование понятия, и отмечает, что формирование понятий через систему задач требует создания дидактических условий, позволяющих учащимся осознать, прочно запомнить, самостоятельно конструировать и формировать определения понятий.

Однако мы в диагностировании целеполагания и экспериментальной работе будем придерживаться уровней усвоения знаний по В.П.Беспалько [5].

Дидактический модуль (ДМ) развертывается в течение 1-2 учебных семестров, включая ориентировочную и информационную основу совместной деятельности учителя и ученика. Важнейшими компонентами проектирования ДМ являются актуализация фрагментов спиралей фундирования и устойчивости базисных школьных учебных элементов. Если условно закодировать произвольную спираль фундирования в виде рисунка,

Рис. 11. Актуализация теоретического обобщения БУЭШМ в спирали фундирования

то ее актуализация в дидактических модулях реализуется по целостным фрагментам:

Рис. 12. Динамика актуализации теоретического обобщения
БУЭШМ в ДМ

Важно отметить, что при изучении сложного раздела математики в дидактически оправданной последовательной цепи ${\rm ДМ 1}\longrightarrow {\rm ДМ(N)}$ происходит "склеивание" последующего и предыдущего компонентов по следующему принципу: интегративные учебные элементы ДМ(S) (включая фрагменты спиралей фундирования) трансформируются в исходную базу учебных элементов ДМ(S+1). Целостная картина дидактического процесса технологии фундирования представлена на следующем рисунке:

Рис. 13. Педагогическая технология фундирования школьного знания (дидактические модули учебного предмета)

Далее: §2. Наглядность математических объектов Вверх: Теоретические основы наглядного моделирования Назад: Теоретические основы наглядного моделирования