Далее: §2. Фрейм исходной базы Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: Дидактический модуль "Введение в

§1. Цели и задачи. Требования к уровню освоения дисциплины

Предложенный курс " Введение в анализ" непосредственно продолжает школьный курс алгебры и начал анализа. Его изучение, понимание и неформальное владение основными принципами, определениями, теоремами, методами и алгоритмами имеют большое методологическое и мировоззренческое значение, повышают уровень математической культуры студента. При этом закладываются основы для дальнейшего восприятия математического анализа и будущей профессиональной деятельности. Материал курса " Введение в анализ" тесно связан с такими основными содержательными линиями школьного курса математики, как " Числа и вычисления", " Функции", и является их научным обоснованием. Естественно, что знания, полученные за время обучения в педвузе, должны быть прочно закреплены, чтобы в своей профессиональной деятельности учитель не испытывал трудностей в оперировании математическими объектами и видел за фактами школьной математики их научные основы и значение, взаимосвязь с вузовской математикой.

Понятие числа изучается на протяжении всего школьного курса математики, по завершении которого студенту необходимо овладеть оформленной теорией действительного числа: знать аксиоматику, уметь доказывать некоторые свойства действительных чисел, знать свойства числовых неравенств, степеней, основные классы в ${\bf R}$, их свойства, существующие между ними соотношения $({\bf N}, {\bf Z}, {\bf Q},\ {\bf I})$, кроме того, знать структуру числовой прямой, классификацию промежутков на ней.

Функции изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал анализа. Во " Введении в анализ" обобщается понятие функции как отображения множеств, доказываются основные свойства элементарных функций, проводится их классификация. Понятие предела, техника его вычисления, понятие непрерывности в школе изучаются лишь обзорно, но учитель должен хорошо владеть ими для исследования элементарных функций, понимания их поведения.

Глубокое изучение последовательности дейтвительных чисел как функции натурального аргумента позволит учителю математики логически строго построить преподавание темы " Прогрессии", подобрать задачный материал, доказать свойства изучаемых объектов, выстроить ассоциативный ряд прикладных и творческих задач.

Методы доказательства и исследования, применяемые в математическом анализе, могут быть спроектированы на школьный курс математики и использованы в нем. Важную роль играет умение проводить структурный и логический анализ понятий и теорем, проектировать учебный материал по уровням усвоения и ступеням абстракции, выстраивать обоснованную таксономию учебных целей, создавать условия для эффективного педагогического взаимодействия.

Таким образом, материал курса " Введение в анализ" закладывает основы базиса профессиональных умений будущего учителя. Знание важнейших понятий (таких, как действительное число, функция, последовательность, система координат, непрерывность и погрешность), владение общими методами доказательства и исследования будут способствовать дальнейшей успешной работе в школе.

Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид занятий	Всего часов
Общая трудоемкость (по ГОС ВПО)	766
Аудиторные занятия	434
Лекции	226
Практические занятия	179
Лабораторные работы	29
Самостоятельная работа	332
Другие виды работы	-
Форма итогового контроля	Экз.

Содержание дисциплины

Разделы дисциплины и виды занятий

№	Раздел учебного предмета	Лек	ПЗ	ЛЗ
1	Введение в анализ	27	23	4

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - зачет + экзамен.

2

Дифференциальное исчисление (функции одной переменной)

36

30

6

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - экзамен.

3

Интегральное исчисление (функции одной переменной)

26

20

4

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - экзамен.

4.

Функции нескольких переменных

36

30

6

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - зачет.

5.

Ряды и дифференциальные уравнения

35

30

5

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - экзамен.

6.

Теория функций действительного и комплексного переменного

66

46

4

Самостоятельные работы - 3 по 15 минут;

контрольные работы - 2;

коллоквиум -2;

вид итогового контроля - экзамен.

Лектор, работающий по данной технологии наглядного моделирования, прежде всего проводит качественный и количественный анализ содержания учебного материала: выделение основных понятий $\sim$ (число, окрестность, функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, жорданова мера), основных теорем $\sim$ (теорема Больцано-Коши, теорема Лагранжа, теорема Тейлора и т. д.), основные умения $\sim$ (умение решать неравенства с модулем, умение находить предел функции, умение проводить исторический анализ понятий и теорем и т. п.), основные практические навыки $\sim$ (навык оперирования с действительными числами, вычислительная культура, навык дифференцирования и интегрирования, навык элементарного исследования функций и т. п.), основные методы (метод математической индукции, метод дихотомии, метод введения вспомогательной функции, метод "от противного", метод неопределенных коэффициентов, метод продолжения, метод математического моделирования). Так как всякий навык в рамках данного курса вторичен и формируется из соответствующего умения, поэтому не следует основные умения и навыки рассматривать изолированно, тем более, что их отбор в определенной степени носит субъективный характер (научные интересы лектора, контингент студентов и т. п.). Основные знания, умения, навыки и методы, закодированные в знаково-символической форме, могут быть сведены в опорную таблицу:

Таблица 6

Опорная таблица курса " Введение в анализ"

Таблица 7

Математические методы

Вербальное раскодирование

Знания, понятия

Множество действительных чисел.

Окрестность точки на числовой прямой.

Числовая функция (последовательность как функция натурального аргумента).

Предел функции (предел последовательности).

Непрерывность функции.

Теоремы

Теорема Архимеда: для любого $x\in{\bf R}$ существует натуральное число $n\in{\bf N}$, такое, что $n>\vert x\vert$.

Теорема Кантора: всякая система вложенных друг в друга отрезков имеет непустое пересечение.

Теорема Вейерштрасса: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема Больцано - Коши: если функция $f$ непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях: 1) всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на нем; 2) всякая непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Алгоритмы

Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Разложение правильной рациональной дроби в ${\bf R}$ на элементарные дроби.

Преобразование конечной суммы двучленов.

Построение отрицания для одноместного предиката.

Умения

Умение решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

Умение находить предел функции, предел последовательности.

Умение привести 10 различных примеров по тому или иному вопросу.

Умение находить сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии.

Умение логически анализировать теоремы, выделять условие, заключение теоремы, формулировать обратную и противоположную теоремы, строить контрпримеры к условиям, блок-схемы доказательства.

Умение строить графики функций, представляющих собой сумму, произведение, композицию некоторых основных элементарных функций.

Навыки

Навыки оперирования с действительными числами, вычислительная культура.

Навыки перехода от одной системы координат к другой (декартова, полярная, параметрическая).

Навыки построения графиков основных элементарных функций, построение графиков элементарными средствами.

Навыки исследования квадратичной функции.

Математические методы

Метод математической индукции.

Метод дихотомии.

Метод введения вспомогательной функции.

Метод " от противного".

Метод продолжения.

Далее: §2. Фрейм исходной базы Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: Дидактический модуль "Введение в