Далее: §3. Фрейм аннотированной учебной Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §1. Цели и задачи.

§2. Фрейм исходной базы учебных элементов

Преемственность школьной и вузовской математики проявляется в том числе и в том, что базовые учебные элементы школьной математики (знания, умения, навыки и математические методы) остаются таковыми и в вузовской математике (число, функция, предел, непрерывность, производная, интеграл и т.д.). Однако глубина осознания учеником существа понятия, теоремы, метода, процедуры существенно отличается как по целеполаганию, так и по содержанию и объему. В школьной математике большинство учебных элементов должно усваиваться на уровне базы данных, то есть ученик знает, умеет выполнять практические действия, но только на уровне репродукции и иногда переноса в новые ситуации. В вузовской же математике целью является достижение творческого уровня усвоения учебных элементов, когда осуществляется проникновение в существо понятия или теоремы, на высоком уровне самостоятельности, вариативности, новизны и критичности. Существо математического объекта проявляется через установление устойчивых связей базовых компонентов объекта с внешними математическими объектами, прочно усвоенными ранее. Это может быть достигнуто двумя путями: моделированием существенных и устойчивых внутренних связей и компонентов целостного математического объекта или широким показом вариативности качественных и количественных признаков объекта; при этом образуется гармоничное целое (Ганзен [11]). Здесь математический объект проявляется уже на уровне базы знаний [40].

Но в подготовке компетентного учителя математики важен и третий уровень, когда школьный учебный элемент не только переходит из уровня базы данных в уровень базы знаний, но и фиксируется процедура получения математического знания, ее вариативность, доступность и устойчивость, существо которой и выражается наглядным моделированием.

Например, понятие первообразной (неопределенного интеграла) в
школьной математике, равно как техника интегрирования, осваиваются на уровне базы данных. Только позднее студент узнает, что рациональная дробь всегда интегрируется в конечном виде, а разложение на простейшие рациональные дроби есть следствие важной теоремы Коши из комплексного анализа и что первообразная функция абсолютно непрерывна. Эта информация в последующей профессиональной деятельности учителя может и забыться, но останется осознанное умение интегрировать рациональные дроби и навык интегрирования основных элементарных функций.

Поэтому так важно в управлении познавательной деятельностью студентов создать условия для непрерывного сохранения в памяти определенной информации так называемых "ночных" знаний, которые могут быть воспроизведены в любой необходимый момент и составляют основу профессионально важных школьных математических знаний, умений, навыков и методов. Последние особенно важны, так как отражают универсальный сквозной способ математической деятельности, системный характер математических правил и действий.

Сжатие информационно-деятельностной составляющей остаточных
учебных элементов осуществляется средствами фреймовых моделей. Основатель теории фреймов М.Минский дает следующее определение: "Фрейм (рамка) - это единица представления знаний, запомненная в прошлом, детали которой при необходимости могут быть изменены согласно текущей ситуации" [21]. В тех случаях, когда многое можно сказать о содержимом вершины сети, целесообразен переход к фреймовому представлению, содержащему ячейки (слоты) и имена ячеек. Фрейм может иметь многоуровневую структуру. Наличие имен фреймов и имен слотов обеспечивает возможность внутренней интерпретируемости знаний, хранимых во фреймах, а также активизации фрейма за счет процедурных слотов. Таким образом, фреймовые модели удовлетворяют всем четырем основным требованиям к знаниям (внутренняя интерпретируемость, структурированность, связность и активность [27]).

Для учебного материала I семестра фрейм остаточной базы определяется школьным математическим содержанием по учебному предмету "Алгебра и начала анализа".

Фрейм исходной базы школьных знаний представлен на следующей схеме:

Таблица 8

Опорная таблица кодировки

Вербальное раскодирование

Понятия

Умения

- решать неравенства (уравнения): алгебраические (рациональные и иррациональные), трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические);

- владеть методами:

а) разложения на множители (вынесение общего множителя и способ группировки; использование формул сокращенного умножения),

б) замены переменной (подстановки),

в) методом возведения в степень,

г) графическим методом,

д) методом интервалов,
а также некоторыми специальными методами решения уравнений и неравенств.

- работа с аналитическим заданием функции:

а) определение вида функции по формуле,

б) вычисление значения функции по заданному значению аргумента;

- исследование функции элементарными средствами:

а) нахождение области определения, множества значений,

б) исследование на четность, нечетность; периодичность,

в) нахождение нулей и интервалов знакопостоянства функции,

г) исследование характера монотонности (без использования производной); наибольшее, наименьшее значение функции на промежутке.

- построение графиков функции:

а) уметь использовать результаты исследования функции при построении графиков,

б) выполнять преобразования графиков: строить графики функций $y=f(x-a),$ $y=f(x)+b,$ $y=kf(x),$ $y=f(lx),$ где $a,b,k,l\in{\bf R}$; $k,l\ne0;$ $y=f(x)$ - одна из основных элементарных функций;

- "чтение" графиков функций:

а) нахождение по графику значения функции по заданному значению аргумента; значение аргумента по заданному значению функции,

б) определение по графику симметрии, четности, нечетности, периодичности функции,

в) определение по графику промежутков знакопостоянства, координат пересечения графика с осями координат,

г) определение по графику промежутков монотонности, точек экстремума, вида экстремума, экстремумов.

- находить $n$-й член последовательности, заданной формулой общего члена (рекуррентно заданной последовательности);

- находить сумму $n$ членов арифметической (геометрической) прогрессий;

- вычислять сумму бесконечного числа членов убывающей геометрической прогрессии.

- проводить логический анализ теоремы: выделять условие и заключение, необходимое и достаточное условия, строить обратную и противоположную теоремы.

Навыки

- оперирование с действительными числами, вычислительная культура, арифметические действия над обыкновенными и десятичными
дробями.

- тождественные преобразования алгебраических выражений (рациональных: целых и дробных; иррациональных); трансцендентных выражений (показательных, логарифмических, тригонометрических выражений, содержащих обратные тригонометрические функции);

- применение формул сокращенного умножения, основных свойств радикалов; степеней с произвольным рациональным показателем; логарифмов; формул тригонометрии.

- работа на числовой прямой:

а) нахождение расстояния от точки до начала координат,

б) нахождение точки, удаленной от начала координат на заданное расстояние,

в) нахождение расстояния между двумя точками на координатной прямой,

г) нахождение объединения, пересечения двух интервалов (лучей),

д) нахождение точек с заданной координатой на числовой прямой;

- работа на плоскости в декартовой системе координат:

а) построение точки по заданным координатам,

б) нахождение координат заданной точки,

в) нахождение координат точек пересечения графиков кривых,

г) нахождение расстояния между двумя точками; от точки до прямой; до осей координат;

- работа с графиками функций:

а) определение по формуле, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции;

б) строить графики основных элементарных функций.

- исследование квадратичной функции:

а) построение графика функции различными способами,

б) разложение квадратного трехчлена на множители,

в) нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции, промежутков монотонности, оси симметрии,

г) умение: выделять полный квадрат.

Методы

Интегративное диагностирование

Предложенные далее серии вопросов и упражнений относятся к каждому из выделенных основных понятий и направлены на исследование степени сформированности у учащихся знаний, умений и навыков по соответствующему разделу школьной алгебры, необходимых для дальнейшего успешного изучения раздела "Введение в анализ".

В зависимости от целей конкретной проводимой диагностики преподавателем могут быть выбраны необходимые вопросы и задания. В случае необходимости предложенные упражнения могут быть использованы для организации коррекционной работы.

Множество действительных чисел. Классификация действительных чисел (римские цифры обозначают уровни сложности).

I. 1. Какие числа называются натуральными (целыми)?

2. Разложите натуральное число 49896 на простые сомножители.

3. Найти наибольший общий делитель чисел 5 и 3; ${\displaystyle 1\over\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle 1\over\displaystyle 3}$; 5,3 и 11.

4. Дайте определение рационального (иррационального) числа.

5. В чем отличие десятичной записи рационального числа от иррационального?

II. 6. Определить, какие из бесконечных десятичных дробей выражают рациональные числа, какие - иррациональные, и записать рациональные числа в виде обыкновенных дробей: а) 2,(32); б) 3,52(375); в) 1,37(9); г) 1,1201200120001...

7. Доказать, что сумма, разность, произведение и частное (делитель отличен от нуля) рациональных чисел есть число рациональное.

III. 8. Доказать, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

9. Каким числом (рациональным или иррациональным) может оказаться сумма двух иррациональных чисел? Приведите пример.

I. 10. Какие числа называются действительными?

11. Сформулируйте свойства арифметических операций над действительными числами.

II. 12. Сформулируйте свойства числовых неравенств. Докажите неравенство: $(a>b,$ $c>0\Longrightarrow ac>bc)$ $(\forall a,b,c\in{\bf R}).$

13. Сформулируйте свойства стпени, арифметического корня. Докажите, что $\root m\of{\root n\of a}=\root{mn}\of a,$ $(a^n)^m=a^{nm}$ $(\forall a\in{\bf R}^+).$

14. Выписать десятичные приближения к числу $\sqrt2$ по недостатку (по избытку) с точностью до 0,1; 0,01; 0,001.

Числовые функции. 1. Понятие числовой функции. Способы задания функции. Композиция функций (сложная функция). Основные элементарные функции. Их свойства.

2. Элементарное исследование функций.

3. График функции. Преобразование графиков функций. График сложной функции.

1. Понятие функции. Способы задания. Основные элементарные функции.

I. 1. Является ли функциональной зависимостью зависимость между площадью прямоугольника, вписанного в круг радиуса $R$, и его основанием?

2. Является ли функциональной зависимостью зависимость между площадью прямоугольника и длиной его диагонали?

3. Записать функцию, выражающую зависимость радиуса $r$ цилиндра от его высоты $h$ при заданном объеме $V=1.$ Вычислить значения $r$ при следующих значениях $h$: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3.

II. 4. Выразить полную поверхность конуса, описанного вокруг шара радиуса $R$, как функцию от его высоты $H$.

I. 5. Определить, являются ли функциями следующие соответствия, заданные

6. Рассмотрим функцию, определенную следующим образом: любому натуральному числу $n\in{\bf N}$ ставим в соответствие число $f(n)$, равное количеству простых чисел, не превосходящих $n$. Найти $f(1),$ $f(2),$ $f(12).$

7. Даны функции $f(x)={\displaystyle x-2\over\displaystyle x+1};$ $\varphi (x)={\displaystyle \vert x-2\vert\over\displaystyle x+1}.$ Найти $f(0);$ $f(1);$ $f(2);$ $\varphi (0);$ $\varphi (1);$ $\varphi (2);$ $f(\sqrt2);$ $\left\vert f\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\right)\right\vert;$ $\varphi (-2);$ $\varphi (4);$ $f(a-1);$ $f(a+1).$ Существуют ли $f(-1);$ $\varphi (-1)$? Найти значения аргумента, при которых $f(x)=f(0);$ $f(x)>f(0).$ Принадлежат ли графику функции $y=f(x)$ точки $(-2;4)$ и $\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 3};-{\displaystyle 5\over\displaystyle 3}\right)$?

8. Дана функция $\psi(t)=ta^t.$ Найти $\psi(0);$ $\psi(1);$ $\psi(-1);$ $\psi\left({\displaystyle 1\over\displaystyle a}\right);$ $\psi(-a)$.

9. Пусть $f(x)=1+x^2.$ Найдите выражения для $f(x^2)-5f(x)+2;$ ${\displaystyle f(x)-1\over\displaystyle f(x)+1};$ $f\left({\displaystyle x-1\over\displaystyle x+1}\right);$ $xf(x^2-5x+2).$

10. Даны функции $f(x)=x^2,$ $g(x)=2^x.$ Найдите композиции $f(f(x));$ $g(g(x));$ $f(g(x));$ $g(f(x)).$

11. Композицией каких основных элементарных функций являются функции $y=\cos^2{\displaystyle x\over\displaystyle 2};$ $y=\sqrt{(x+2)^3};$ $y=(\log_2x+1)^3;$ $y=2^{{x-1}\over{x+2}}$?

II. 12. Какие функции относятся к основным элементарным? Перечислите свойства каждой из них.

13. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

14. Приведите примеры неэлементарных функций.

15. При каких значениях $k$ и $b$ график линейной функции $y=kx+b$ будет параллелен оси абсцисс?

16. При каких значениях $a,b,c$ квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ является четной?

II. 17. Найти квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$, если $f(1)=5;$ $f(0)=1;$ $f(-2)=0.$

18. Задайте формулой квадратичную функцию, если ее график проходит через точки $A(0;-2),$ $B(-2,4)$ и функция принимает значение -4 в единичной точке.

19. На рисунке изображен график функции $y=ax^2+bx+c$. Определить, положительно, отрицательно или равно нулю каждое из чисел $a,b$ и $c$:

20. Построить график функции $y=\sqrt{ax^2+bx+c},$ если $a>0,$ $b^2-4ac=0.$

III. 21. Известно, что квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ не имеет корней и $a+c<b.$ Определите знак $c$.

2. Элементарное исследование функций.

I. 1. Из каких условий находится область определения функции $y=f(x)$, если
а) $f(x)={\displaystyle u(x)\over\displaystyle v(x)};$ б)  $f(x)=\root{2k}\of{u(x)}$ $(k\in{\bf N});$ в)  $f(x)=\log_au(x)$ $(a>0,a\ne1);$ г)  $f(x)=\arcsin u(x);$ д) $f(x)=\tg u(x)$?

2. Найти область определения функции:

$$\begin{tabular}{lll} 1) $y=\sqrt{9-x^2};$& 2) $y={\displayst... ...ver 2}}\over\displaystyle \sqrt{6-35x-6x^2}}.$\\ \end{tabular}$$

3. Привести пример функции с областью определения: а)  $D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty);$ б)  $D(y)=(-\infty;0);$ в) $D(y)=[2;5].$

4. Найти множество значений функции: а) $y=x^2-4x+7$ на ${\bf R}$; на множествах $[1;4];$ $(-\infty;2):$ $(-\infty;3];$ б) $y=4+3x^2-21x$ на ${\bf R}$; в)  $y=\sqrt{2x-x^2-1};$ г)  $y={\displaystyle x-1\over\displaystyle 2x+3};$ д) $y=\vert\cos x\vert;$ е)  $y={\displaystyle 1-x^2\over\displaystyle 1+x^2}.$

II. 5. Найти множество значений функции: а)  $y={\displaystyle 2\over\displaystyle x^2+2};$ б)  $y={\displaystyle x^2+1\over\displaystyle x};$ в) $y=4^x-2^x+1.$

I. 6. Совпадают ли области определения функций? Указать функцию, имеющую более широкую область определения:
а) $y=\lg x^2$ и $y=2\lg x$;
б) $y=x-1$ и $y={\displaystyle x^2-1\over\displaystyle x+1};$
в) $y=\lg x+\lg(x-2)$ и $y=\lg x(x-2).$

7. Какой особенностью обладают графики четных (нечетных) функций? Периодических функций? Каково расположение графиков взаимнообратных функций?

8. Какие из перечисленных функций являются четными, нечетными, какие не относятся ни к тем, ни к другим:

$$\begin{tabular}{lll} 1) $y=5-x^2+3x^4;$& 2) $y=x^4 (x\in(0;... ...\over\displaystyle e^x+1};$& 11) $y=x\sin 3x.$\\ \end{tabular}$$

III. 9. Доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций - четная функция; сумма и разность нечетных функций - нечетная функция, а произведение и частное двух нечетных функций - четная функция.

II. 10. Существуют ли всюду определенные функции, являющиеся одновременно:

а) четными и возрастающими на ${\bf R}$;

б) нечетными и убывающими на ${\bf R}$;

в) нечетными и положительными на ${\bf R}$?

11. Графики каких функций симметричны относительно оси ординат, начала координат:
а) $y=x^2-1;$ б)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x};$ в) $y=\vert x\vert;$ г)  $y={\displaystyle x^3\over\displaystyle x+1}$?

12. Как ведет себя при $x<0$ четная функция, возрастающая при $x>0$? (при $x<0,$ нечетная и убывающая при $x>0)$?

I. 13. Исследовать на периодичность и найти основной период, если он существует:
а) $y=\sin 2x; y=\sin{\displaystyle x\over\displaystyle 2};\ y=2\sin x;\ y={\disp... ...aystyle 2}+{\displaystyle \pi\over\displaystyle 3}\right); y=\vert\sin x\vert;$
б) $y=x+\sin x; y=\sin(x\sqrt2); y=\cos^2x;\ y=3\cos4x-5\sin4x;$
в) $y=\cos{\displaystyle x\over\displaystyle 3}+\tg{\displaystyle x\over\displaystyle 5}; y=\sin2x+\tg{\displaystyle x\over\displaystyle 2}; y=\sin x\cos x.$

II. 14. Может ли сумма двух определенных на ${\bf R}$ непериодических функций быть периодической функцией?

III. 15. Доказать, что сумма (произведение, частное) двух функций, имеющих период $T$, обладает тем же периодом.

I. 16. Найти обратные функции для функций: а) $y=2x-1;$ б) $y=-x^2-1,$ $x\in(-\infty;0]$; в)  $y={\displaystyle x-1\over\displaystyle x+1};$ г)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle 1+x^3}.$

17. При каких $\alpha$ $y=x^\alpha$ совпадает со своей обратной функцией?

II. 18. Доказать, что функции монотонны: а) $y=3x+1$ на ${\bf R}$; б) $y=\sqrt x$ на ${\bf R}^+$; в) $y=x^2$ на $(0;+\infty)$; г) $y=\cos x$ на $[0;\pi].$

II. 19. Функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ возрастают на множестве $X$. Верно ли, что функции

а) $y=f(x)+g(x); y=f^2(x); y=f(x)\cdot g(x)$ возрастают на $X$;

б) $y=-f(x); y={\displaystyle 1\over\displaystyle f(x)}$ убывают на $X$?

III. 20. Доказать, что если функция $y=f(x)$ убывает (возрастает) на множестве $X$, а функция $y=g(x)$ убывает (возрастает) на множестве $f(X),$ то композиция этих функций $y=g(f(x))$ возрастает на $X$.

I. 21. Построить графики функций, указать участки возрастания, убывания, наименьшее и наибольшее значения на указанных промежутках:

а)$y=x^2-2x-3$ на ${\bf R}$; на $[-2;2];$ $(-2;2);$ $(0;10;$

б) $y=\sin x$ на ${\bf R}$; на $\left[{\displaystyle \pi\over\displaystyle 3};\pi\right];$ $\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 3};\pi\right);$ $\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 4};{\displaystyle 7\pi\over\displaystyle 4}\right);$ $\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 4};{\displaystyle 5\pi\over\displaystyle 3}\right);$

в) $y={\displaystyle x\over\displaystyle x-1}$ на $[-3;-1];$ $[2;3];$ $91;+\infty);$ $(1;3].$

3. Графики функций.

I. 1. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток $[-4;3]$, значения функции составляют промежуток $[-2;5],$ промежутки возрастания - $[-4;2]$ и $[1;3],$ функция убывает на промежутке $[-2;1];$

б) область определения функции есть промежуток $[-3;4]$, значения функции составляют промежуток $[-2;5],$ значения функции отрицательны только в точках промежутка $(0;3),$ точки экстремума функции -1 и 2.

2. Зная график функции $y=f(x)$, как построить графики функций $y=f(-x);$ $y=-f(x);$ $y=-f(-x)$?

3. Построить графики функций а) $F(x)=f(x)+2;$ б)  $F(x)=f(x+4)-2,$ где $f(x)={\displaystyle 1\over\displaystyle x};$ $f(x)=x^2;$ $f(x)\log_2x.$

4. Построить графики функций $F(x)=2f(x);$ $F(x)=f(2x);$ $F(x)=f\left({\displaystyle x\over\displaystyle 3}\right);$ $F(x)=2f\left({\displaystyle x\over\displaystyle 3}\right);$ $F(x)={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}f(3x);$ $F(x)={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}f\left({\displaystyle x\over\displaystyle 3}\right),$ где $f(x)=\sin x.$

5. Построить графики функций $F(x)=2f\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 4}-x\right);$ $F(x)=f\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 2}-2x\right)+2,$ где $f(x)=\cos x.$

6. На одном чертеже построить графики степенных функций:

а) $y=x^2, x^3, x^4, x^{1\over 2}, x^{1\over 3};$

б) $y=(x-2)^2, -(x-2)^{1\over 2}, -(x-2)^2+1;$

в) $y=x^2-4x+3;$ $y=-x^2+2x+3;$

г) $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x}, {\displaystyle 1\over\displaystyle x^... ...isplaystyle 1\over\displaystyle x^3}, {\displaystyle 1\over\displaystyle x^4}.$

III. 7. Исследовать функции и построить их графики:

$$\begin{tabular}{llll} а) $y=x+{\displaystyle 1\over\displays... ...x};$& е) $y=\lg(\sin x);$& ж) $y=\cos(\ln x).$\\ \end{tabular}$$

Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Понятие последовательности, способы задания последовательности (формула общего члена, рекуррентное задание), монотонная, ограниченная последовательность.

Арифметическая и геометрическая прогрессии: определение, формула $n$-го члена, свойства членов, сумма $n$ членов, сумма бесконечно убывающей прогрессии.

I. 1. Выписать первые 6 членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена: а) $a_n=5,$ б)  $a_n={\displaystyle 2^n+1\over\displaystyle 10-n^2};$ в)  $a_n=2^n+(-2)^n;$ г)  $a_n=(-1)^n+(-1)^{n+1};$

II. 2. Выписать первые 6 членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена: а)  $a_n={\displaystyle 2^{n^2}\over\displaystyle 2^{2^n}};$ б)  $a_n=\sin{\displaystyle n\pi\over\displaystyle 2};$ в)  $a_n=\cos{\displaystyle n\pi\over\displaystyle 2}.$

I. 3. Написать первые 6 членов последовательности $(b_n),$ заданной рекуррентно:

$$\begin{tabular}{l} а) $b_1=5; b_{n+1}=(-1)^nb_n-8;$\\ б) $... ...}={\displaystyle n+2\over\displaystyle n}b_n.$\\ \end{tabular}$$

I. 4. Доказать, что последовательность с общим членом $a_n={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}(5\cdot 3^{n-1}-1)$ удовлетворяет рекуррентному соотношению $a_n=3a_{n-1}+1$ и $a_1=2.$

II. 5. Доказать, что последовательность возрастает: $x_n={\displaystyle 3n-1\over\displaystyle 5n+2}.$

III. 6. Является ли последовательность $y_n={\displaystyle 2^n\over\displaystyle n!}$ монотонной?

7. Найти, при каких отношениях между $a,b,c,d$ последовательность $y_n={\displaystyle an+b\over\displaystyle cn+d}$ будет возрастающей.

II. 8. Найти наименьшие члены последовательностей: а)  $y_n=n^2-17n+21;$ б)  $y_n=(n-1)(n-3)(n-5);$ в)  $y_n=n^2+{\displaystyle 16\over\displaystyle n}.$

II. 9. Найти наибольшие члены последовательностей: а)  $x_n=-n^2+5n-6;$ б) $x_n=18n-n^3.$ 10. Будет ли ограничена последовательность $x_n={\displaystyle 3n+8\over\displaystyle 2n}$?

I. 11. Известно, что при любом $n$ сумма $S_n$ членов некоторой последовательности $S_n=2n^2+3n$. Найти десятый член этой последовательности и доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

12. Найти последовательность, в которой сумма любого числа членов, начиная с первого, в четыре раза больше квадрата числа членов.

II. 13. Доказать, что если $S_n, S_{2n}, S_{3n}$ - суммы $n, 2n, 3n$ членов арифметической прогрессии, то $S_{3n}=3(S_{2n}-S_n).$

III. 14. При каких значениях параметра $a$ найдутся такие значения $x$, что числа

$$5^{1+x}+5^{1-x}, {\displaystyle a\over\displaystyle 2}, \ 25^x+25^{-x}$$

будут тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

15. При каких значениях $x$ три числа $\lg 2, \lg(2^x-1),\ \lg(2^x+3)$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

III. 16. Доказать, что числа $\sqrt{2}, \sqrt{3},\ \sqrt{5}$ не могут быть членами (не обязательно соседними) арифметической прогрессии.

I. 17. Доказать, что для любого четного числа членов геометрической прогрессии $S_{неч}$ - сумма членов, стоящих на нечетных местах, и $S_{чет}$ - сумма членов, стоящих на четных местах, связаны равенством $qS_{неч}=S_{чет}.$

18. Первый член некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен единице, а ее сумма равна $S$. Найти сумму квадратов членов этой прогрессии.

II. 19. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами. Выразить произведение первых ее $n$ членов через их сумму $S_n$ и через $S'_n$ - сумму обратных величин этих членов.

II. 20. Доказать, что если $S_n, S_{2n}, S_{3n}$ - суммы $n, 2n, 3n$ первых членов геометрической прогрессии, то $S_n(S_{3n}-S_{2n})=(S_{2n}-S_n)^2.$

21. Найти сумму:

$$\left(x+{\displaystyle 1\over\displaystyle x}\right)^2+\left... ...displaystyle 1\over\displaystyle x^n}\right)^2, x\ne\pm1.$$

III. 22. Найти суммы:

$$S_n={\displaystyle 1\over\displaystyle 2^0}+{\displaystyle 2... ...laystyle 2^3}+...+{\displaystyle n\over\displaystyle 2^{n-1}};$$

$$S_n=x+2x^2+3x^3+...+nx^n, x\ne1.$$

23. Могут ли числа 11, 12, 13 быть числами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

Декартова система координат на плоскости. Координатная прямая, координаты точки на прямой, числовые промежутки (луч, интервал, отрезок).

Координатная плоскость, оси абсцисс, ординат, координаты точки на плоскости, графики функций, множества.

I. 1. Найти расстояние между точками $M_1$ и $M_2$, лежащими на координатной оси и имеющими координаты $x_1$ и $x_2.$

2. а) Найти расстояние между точками $M_1$ и $M_2$, лежащими на плоскости и имеющими в декартовой системе координат координаты $(x_1,y_1), (x_2,y_2).$

б) Точки $M$ и $N$ имеют декартовы координаты (1,2) и (3,5) соответственно. Найти длину отрезка $MN.$ Найти координаты середины отрезка $MN.$

3. Пусть $y_1=kx_1+q_1, y_2=kx_2+q_2$ - уравнения прямых в декартовой системе координат. Запишите условия их параллельности (перпендикулярности).

II. 4. Найти точку пересечения графиков функций $y=\log_2(x+14)$ и $y=6-\log_2(x+2).$

5. В каких точках график функции $y=\log_3(\sqrt{x^2+21}-\sqrt{x^2+12})$ пересекает ось $OX$?

III. 6. На прямой $y=2x-5$ найдите такую точку $M$, сумма расстояний от которой до точек $A(-7,1)$ и $B(-5,0)$ была бы наименьшей.

7. Изобразите на координатной плоскости множество точек, каждая из которых равноудалена от данной точки $F(4,-1)$ и данной прямой $y=1$.

I. 8. Нарисовать график уравнения а) $y^2=2x^2;$ б) $x^2+y^2=2x.$

III. 9. Изобразить в координатной плоскости $XOY$ заданные соотношения между переменными $x$ и $y$:

$$\begin{tabular}{lcl} а) $3x-4y+12>0$&и&$x+y-2<0;$\\ б) $y+3\ge x^2+2x$&и&$x+y\le3;$\\ в) $\log_2(x+y-1)<0.$\\ \end{tabular}$$

Схема 13

Интегративные знания, умения, навыки, методы и алгоритмы

Далее: §3. Фрейм аннотированной учебной Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §1. Цели и задачи.