Далее: §4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §2. Фрейм исходной базы

§3. Фрейм аннотированной учебной программы курса
"Введение в анализ"

Общеучебные умения: владеть логическим анализом теоремы, выделять условие, заключение теоремы, необходимое и достаточное условие, формулировать обратную и противоположную теоремы; силлогизмы, кванторы и пропозиционные связки, отрицание высказываний, конструктивная теорема, теорема существования, построение контрпримеров к условиям теоремы, построение блок-схемы доказательства, структурный анализ учебных элементов.

Методы исследования и доказательства: "от противного", метод Больцано, метод введения вспомогательной функции, метод математической индукции, метод продолжения, метод математического моделирования, метод последовательных приближений.

Историко-методическое оснащение: элементы историзма и генезиса УЭ; отбор базовых и интегративных УЭ; взаимопереходы знаковых систем; решение задач при ограничении условий (поиск оптимальных условий); вариативность способов решения задач; структурный анализ УЭ; единичное и особенное проявлений теорий учения в моделировании процессов усвоения УЭ; актуализация фаз и типов ориентировки и исполнения в учебной деятельности; формирование культуры устной и письменной речи, мышления; фундирование опыта и личностных характеристик в направлении профессионализации; опора на устойчивые ассоциации, активизация ментальных и личностных характеристик.

1. Множество и элементарные операции над множествами

Знания: "наивное" и аксиоматическое построение теории множеств, система обозначений. Конечные и бесконечные множества. Задание множеств. Включение и равенство множеств. Булеан множеств, число сочетаний $C^m_n.$ Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, декартово произведение).

Умения: приводить примеры конечных и бесконечных множеств, производить операции над множествами, доказывать теоретико-множественные равенства, использовать диаграммы Эйлера-Венна.

Мотивация. 1. Понятие множества и элемента являются первичными в математическом анализе. Теоретико-множественной базе принадлежит главная роль в построении и организации математического анализа. Одно из важнейших понятий, пронизывающих весь курс анализа, - понятие числовой функции, определяется как специально заданное соответствие между двумя числовыми множествами. Современная теория множеств, созданная Георгом Кантором и его школой в конце XIX в., глубоко проникла во многие области математики и оказала на них огромное влияние.

2. Решите систему неравенств: $\cases{ x^2-4x+3<0;\cr 2x-4<0;\cr}$ совокупность неравенств
$\left[{ \begin{tabular}{l} $(x-1)(x-2)(x-3)<0;$\\ $x^2<1.$\\ \end{tabular}}\right.$ Как находится решение системы (совокупности) из множеств, являющихся решениями соответственно первого и второго неравенств?

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать, что каждое из условий: $A\cap B=A,$ $A\cup B=B,$ $\bar B\subset\bar A,$ $A\cap\bar B=\emptyset$ необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось включение $A\subset B.$

2. Привести примеры таких множеств $A$ и $B$, что $A\ne B\cup(A\setminus B).$ В каком случае равенство выполняется?

II. 3. a) Доказать, что если $A=B\cup C$, то $A\setminus B\subset C.$

б) Привести пример множеств $A, B, C$ таких, что $A=B\cup C$, но $A\setminus B\ne C.$ В каком случае выполняется равенство?

в) Доказать, что включение $A\setminus B\subset C$ верно тогда и только тогда, когда $A\subset B\cup C.$

4. а) Привести пример таких множеств $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ что $D=A\cup(B\setminus C),$ но $D\ne(A\cup B)\setminus C.$

б) Доказать, что если $D=A\cup(B\setminus C),$ то $(A\cup B)\setminus C\subset D.$

5. Доказать равенства:

а) $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B;$

б) $(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B);$

в) $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C);$

г) $(A\times B)\cap(B\times A)=(A\cap B)\times(A\cap B);$

д) $\overline{A\setminus B}=\bar A\cup B.$

III. 6. Подсчитать число подмножеств конечного множества.

7. Дана система производных множеств $A_s,$ $s\in{\bf N}.$

а) Пусть $B_n=\mathop{\cup}\limits_{s=1}^nA_s, n\in{\bf N}.$ Доказать, что $\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty B_s=\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty A_s.$

б) Пусть $B_n=\mathop{\cap}\limits_{s=1}^nA_s, n\in{\bf N}.$ Доказать, что $\mathop{\cap}\limits_{s=1}^\infty B_s=\mathop{\cap}\limits_{s=1}^\infty A_s.$

8. Пусть $A_{sp}, s\in{\bf N}, p\in{\bf N}$ - система произвольных множеств. Установить, верны ли включения:

а) $\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty(\mathop{\cap}\limits_{p=1}^\infty A_{sp}) \subset\mathop{\cap}\limits_{p=1}^\infty(\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty A_{sp});$ б) $\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty(\mathop{\cap}\limits_{p=1}^\infty A_{sp}) \supset\mathop{\cap}\limits_{p=1}^\infty(\mathop{\cup}\limits_{s=1}^\infty A_{sp}).$

9. Даны множества $A,$ $B,$ $C.$ С помощью операций объединения и пересечения записать множество, состоящее из элементов, принадлежащих

а) всем трем множествам;

б) хотя бы одном множеству;

в) по крайней мере двум из этих множеств.

Практическая компонента

I. 1. Пусть $A=\{x\in{\bf N}\vert x<7\}, B=\{x\in{\bf N}\vert x^2-25=0\},$ $C=\{x\in{\bf N}\vert 5\le x<9\}.$ Из каких элементов состоят множества:

а) $A\cap C;$ б)  $A\cup B\cap C;$ в)  $A\cap B\cap C;$ г)  $A\cup B\cup C;$ д) $С\setminus A;$ е)  $(A\cap B)\cup(B\cup C);$ ж) $B\times C;$ з) $C\times B$?

2. Пусть $A=[-2;-8];$ $B=(-4;11);$ $C=[0;9).$ Найдите множества а)  $A\cap B\cap C;$ б)  $A\cup B\cup C;$ в)  $(A\cup B)\cap\bar C;$ г)  $(\bar A\cap B)\cup C.$

3. а) Выписать пять первых членов множества $F$, где
1)  $F=\left\{{\displaystyle n^2+1\over\displaystyle n},n\in{\bf N}\right\};$ 2)  $F=\left\{n^3-1,n\in{\bf N},1\le n\le8\right\}.$

б) Из каких элементов состоят множества $M=\{(-1)^n,n\in{\bf N}\},$ $N=\{1+(-1)^n\cdot 3, n\in{\bf N}\}$?

4. Пусть множества $A$ и $B$ являются подмножествами множества $U$, причем $A\cap B\ne\emptyset.$ Изобразить на диаграмме Эйлера-Венна следующие множества: $A\cup\bar B,$ $\bar A\cap B$, $\overline{A\cup B},$ $\overline{A\cup\bar B},$ $\overline{A\cap B},$ $(\bar A\cap B)\cup(A\cap\bar B).$

5. Пусть $A=\{3n-1\vert n\in{\bf N}\},$ $B=\{5n+2\vert n\in{\bf N}\},$ $C=\{2n+1\vert n\in{\bf N}\}.$ Найдите $A\cap B,$ $A\cap C,$ $A\cap B\cap C,$ $(A\cap B)\cup C.$

6. Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов, множество $B$ - $m$ элементов, а пересечение $A\cap B$ - $k$ элементов. Найти число элементов множества а) $A\cup B$, б) $A\times B.$

Деятельностная компонента

I. 1. Изобразить на плоскости множества $A$ и $B$. Найти $A\cup B$, $A\cap B$, где

а) $A=\{(x,y)\in{\bf R}^2\vert 2x+3y=0\};$ $B=\{(x,y)\vert y=x^2+1\};$

б) $A=\{(x,y)\in{\bf R}^2\vert y^2\le x\};$ $B=\{(x,y)\vert x-3y+2<0\}.$

II. 2. Множество $A$ задается неравенством $x^2+y^2\ge 1;$ множество $B$ - неравенством $x^2+y^2\le 4$; множество $C$ - неравенством $y\ge x^2,$ множество $D$ - неравенством $y\le 8-x^2.$ Изобразить на плоскости следующие множества: а)  $(A\cup B)\cap(C\cup D);$ б)  $(A\cap B)\cup(C\cap D);$ в)  $(A\cap B\cap C)\cup D;$ г)  $(A\cap B\cap C)\setminus D.$

Прикладная компонента

I. 1. Найдите $\mathop{\cup}\limits_{i=1}^5A_i$ и $\mathop{\cap}\limits_{i=1}^5A_i$, если $A_i$ заданы следующим образом:
а)  $\left(1+{\displaystyle 1\over\displaystyle i};4-{\displaystyle 1\over\displaystyle i}\right);$ б)  $\left[1+{\displaystyle 1\over\displaystyle i};4-{\displaystyle 1\over\displaystyle i}\right];$ в)  $\left[0;{\displaystyle 1\over\displaystyle i}\right];$ д)  $\left(0;{\displaystyle 1\over\displaystyle i}\right);$ е)  $\left[-{\displaystyle 1\over\displaystyle i};{\displaystyle 1\over\displaystyle i}\right].$

2. Для множеств из предыдущего примера найти $\mathop{\cup}\limits_{i=1}^\infty A_i$ и $\mathop{\cap}\limits_{i=1}^\infty A_i$.

3. Найдите $\mathop{\cup}\limits_{A\in S}A$ и $\mathop{\cap}\limits_{A\in S}A$, где

а) $S$ - множество всех треугольников, вписанных в данную окружность (каждый треугольник рассматривается как часть плоскости);

б) $S$ - множество всех правильных треугольников, вписанных в данную окружность;

в) $S$ - множество всех остроугольных (прямоугольных, тупоугольных) треугольников, вписанных в данную окружность.

4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение а) двух отрезков; б) двух прямых; в) прямой и окружности; г) прямой и круга; д) двух окружностей.

5. Множество $\Delta =\{(x_1,x_2)\in X^2\vert x_1=x_2\}$ называется диагональю декартова квадрата $X^2$ множества $X$. Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, получившихся в пунктах а), б), д).

2. Аксиоматика действительных чисел

Знания: аксиомы сложения, умножения, порядка, связи, аксиома непрерывности Дедекинда, теоремы существования разности и частного, основные следствия из аксиом.

Умения: доказывать теоремы существования разности $a-b$ и частного $a/b$ действительных чисел. Доказывать теорему $(a\le b\land c\le d)\Longrightarrow (a+c\le b+d)$ и другие общие свойства действительных чисел.

Навыки. Навыки оперирования с действительными числами.

Методы. Метод математической индукции.

Мотивация. 1. Число - это важнейшее математическое понятие, развитие которого происходило на протяжении развития человеческой цивилизации и было обусловлено как практической деятельностью человека, так и явилось следствием развития математики.

XIX век ознаменовался критическим пересмотром основ классического математического анализа и прежде всего учения о числе. К тому времени был накоплен огромный фактический материал, но он являлся недостаточно разработанным в логическом отношении. Действительное число трактовалось на геометрической основе, при этом существенную роль играла геометрическая интуиция. Современная теория действительных чисел ведет свое начало от работ Гаусса, Больцано, Коши и окончательно оформилась в работах немецких математиков Дедекинда, Вейерштрасса и Кантора. Аксиомы действительных чисел были впервые сформулированы Дедекиндом в 1888 г. и итальянским математиком Пеано в 1891 г.

2. Как уже отмечалось, функции являются объектом изучения математического анализа, в первую очередь вещественнозначные функции одного переменного. Функции отображают одно множество действительных чисел в другое, поэтому прежде чем изучать функции, необходимо изучить множество ${\bf R}$.

3. Понятие числа изучается на протяжении всего школьного курса математики: "числа и вычисления" - одна из основных содержательных линий школьного курса. Будущий учитель должен владеть теорией действительного числа. Кроме того, студенты знакомятся с аксиоматическим способом определения понятия в анализе, а не только в геометрии.

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать единственность единичного элемента и нуля в ${\bf R}.$

2. Доказать, что в ${\bf R}$ у каждого элемента имеется единственный противоположный элемент, и для $a\ne0$ обратный к нему элемент $a^{-1}$ - единственный.

3. Уравнения $a+x=b$ и $ax=b (a\ne0)$ в ${\bf R}$ имеют единственные решения.

4. Для любого $a\in{\bf R}$ выполнено $a\cdot 0=0.$

5. $(ab=0)\Longrightarrow (a=0\vee b=0).$

6. $\forall a,b\in{\bf R}$ имеет место одно из соотношений $a<b,\ a=b, a>b.$

7. Если $a,b\in{\bf R}$, то $((a>0)\land(b>0))\Longrightarrow (ab>0);$ $((a<0)\land(b<0))\Longrightarrow (ab>0).$

II. 8. Докажите, что

а) $-(a+b)=(-a)+(-b)=(-b)+(-a);$

б) $(a\ne 0\land b\ne 0)\Longrightarrow (ab\ne0);$

в) $(a\ne 0\land b\ne 0)\Longrightarrow (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1};$

г) $-(-a)=a;$

д) $(a\ne 0)\Longrightarrow (a^{-1})^{-1}=a.$

9. Докажите равенство $(-1)a=-a.$

III. 10. Верны ли утверждения:

а) $(a=b\land c=d)\Longleftrightarrow (ac=bd);$

б) $(a\le b\land c\le d)\Longleftrightarrow ac\le bd;$

в) $(ab=ac)\Longleftrightarrow (b=c).$

11. Докажите, что $(0<a\le b)\Longrightarrow \left({\displaystyle 1\over\displaystyle a}\ge{\displaystyle 1\over\displaystyle b}\right).$

Метод математической индукции.

I. 1. Доказать, что для любого $n\in{\bf N}$ справедливы равенства:

а) $1^2+2^2+...+n^2={\displaystyle 1(n+1)(n+2)\over\displaystyle 6};$

б) $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2;$

в) $1^2+3^2+...+(2n-1)^2={\displaystyle n(4n^2-1)\over\displaystyle 3};$

г) $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+...+(n-1)n^2={\displaystyle n(n^2-1)(3n+2)\over\displaystyle 12};$

д) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1\cdot 3}+{\displaystyle 1\over\displaystyle... ...yle 1\over\displaystyle (2n-1)(2n+1)}={\displaystyle n\over\displaystyle 2n+1};$

е) $\left(1-{\displaystyle 1\over\displaystyle 4}\right)+\left(1-{\displaystyle 1\o... ...1\over\displaystyle (n+1)^2}\right)={\displaystyle n+2\over\displaystyle 2n+2}.$

II. 2. Доказать неравенство: $(1+x_1)(1+x_2)\cdot...\cdot(1+x_n)\ge1+x_1+x_2+...+x_n,$ где $x_1,$ $x_2,$... $x_n$ - числа одного и того же знака, большие $-1$.

3. Доказать неравенство Бернулли: $(1+\alpha )^n\ge 1+n\alpha ,$ $\alpha >-1,$ $n\in{\bf N}.$

4. Доказать формулу бинома Ньютона: $(a+b)^n=\sum\limits_{m=0}^nC_n^ma^{n-m}b^m.$

5. Доказать неравенство: ${\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\cdot{\displaystyle 3\over\displaystyle 4}... ...yle 2n-1\over\displaystyle 2n}<{\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{2n+1}}.$

6. Доказать неравенство: $\sqrt{n}<1+{\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{2}}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{n}}<2\sqrt{n} (n\ge 2).$

III. 7. Доказать, что при любом $n>2$ верно неравенство: а) $2^nn!<n^n;$ б)  $(2n)!<2^{2n}(n!)^2 (n>1);$ в)  $(2n)!>{\displaystyle 4n\over\displaystyle n+1}(n!)^2.$

8. Доказать неравенство: а)  ${\displaystyle 1\over\displaystyle n+1}+{\displaystyle 1\over\displaystyle n+2}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle 3n+1}>1 (n\in{\bf N});$ б)  ${\displaystyle 1\over\displaystyle n+1}+{\displaystyle 1\over\displaystyle n+2}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2n}>{\displaystyle 13\over\displaystyle 24}.$

9. Найти сумму $\arctg{\displaystyle 1\over\displaystyle 2}+\arctg{\displaystyle 1\over\display... ...le 1\over\displaystyle 18}+...+ \arctg{\displaystyle 1\over\displaystyle 2n^2}.$

10. Доказать равенство $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}=2\cos\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 2^{n+1}}\right),\ n\in{\bf N}.$

3. Модуль действительного числа. Теорема Архимеда

Знания: определение модуля действительного числа, свойства модуля. Модуль суммы, разности, произведения. Неравенство треугольника. Теорема Архимеда и следствия из нее.

Умения: доказывать свойства модуля, проводить аналитическое и графическое доказательства неравенства треугольника. Доказывать следствие теоремы Архимеда:

$$\forall\varepsilon >0 \exists N\in{\bf N} \forall ... ...ightarrow {\displaystyle 1\over\displaystyle n}<\varepsilon ).$$

Решать неравенства с модулем, двойные неравенства, системы, совокупности неравенств.

Мотивация. 1. Модули используются в определении фундаментального понятия математического анализа - понятия предела.

2. Теорема Архимеда и ее следствия имеют исключительно важное значение. На их основе, в частности, доказывается возможность представления любого натурального числа в позиционной $q$-ичной системе счисления.

3. Пусть $x_1$ и $x_2$ - две точки на числовой прямой. Как найти расстояние между ними?

4. Какому неравенству удовлетворяют точки, удаленные от точки 2 на расстояние, большее, чем 4 (меньшее, чем 3)?

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать, что для $\forall a\in{\bf R}$ справедливы соотношения: $\vert a\vert\ge0;$ $\vert a\vert=\vert-a\vert;$ $-\vert a\vert\le a\le\vert a\vert.$

II. 2. Доказать, что для $\forall a\in{\bf R}$ и $\forall b\in{\bf R}$
$\vert a+b\vert\le\vert a\vert+\vert b\vert;$ $\vert a-b\vert\ge\left\vert\vert a\vert-\vert b\vert\right\vert;$ $\vert a-b\vert=\vert a\vert\cdot\vert b\vert;$ $\vert b\vert-\vert a\vert\le\vert a-b\vert.$ Найдите необходимое и достаточное условия, при котором неравенство будет равенством.

3. Докажите: $\vert a+a_1+...+a_n\vert\ge\vert a\vert-(\vert a_1+...+\vert a_n).$

4. Найти а)  ${\displaystyle a\over\displaystyle \vert a\vert} (a\ne0);$ б) $a\cdot\vert a\vert;$ в) $a-\vert a\vert;$ г) $a+\vert a\vert;$ д) $\vert a\vert-a.$

Практическая компонента

I. 1. Решить неравенства и уравнения с модулем:

а) $\vert x-5\vert\le3;$ $\vert 2-3x\vert<1;$ $\vert 3x-5\vert\ge 2;$

б) $\vert 2x-1\vert\le\vert 3x+1\vert;$

в) $\vert x+1\vert+\vert x-2\vert\ge 12;$

г) $\vert x^2-7x+12\vert>x^2-7x+12;$

д) $\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-12x+36}=8;$

е) $\vert x-4\vert+\vert 2x+6\vert>10;$ $\vert 5x-13\vert-\vert 6-5x\vert=7;$

ж) $\vert x^2-2x\vert>x^2-2\vert x\vert.$

II. 2. Решить неравенства и уравнения с модулем:

а) $\vert(x^2+4x+9)+(2x+3)\vert=\vert x^2+4x+9\vert+\vert 2x+3\vert;$

б) $\left\vert\vert x-3\vert-2\right\vert\le 1;$

в) $\left\vert\vert x+2\vert-\vert x\vert\right\vert<x;$

г) $\left\vert x-\vert 2x+3\vert\right\vert=3x-1;$

д) $\left\vert\vert 3-x\vert-2\right\vert\le\vert x-2\vert.$

4. Классы действительных чисел

Знания: определение классов действительных чисел. Целая и дробная часть действительного числа, диофантовы уравнения. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Системы счисления. Позиционная запись натуральных чисел. Понятие бита и байта информации. Двоичная система счисления и ЭВМ.

Умения. Находить НОД, НОК двух натуральных чисел, решать диофантовы уравнения $ax+by=c$ с помощью алгоритма Евклида. Представлять натуральные числа в различных системах счисления.

Мотивация. 1. Натуральные числа, используемые для счета в практической деятельности, появились на самых ранних этапах развития человеческой цивилизации. Первоначально понятие числа отсутствовало - число было привязано к пересчитываемым предметам. Отвлеченное понятие натурального числа появляется и закрепляется с развитием письменности и введением для обозначения чисел определенных символов.

2. В чем отличие записи чисел в позиционной системе счисления от непозиционной? Какие вы знаете примеры позиционных и непозиционных систем счисления?

3. Представьте число 48501 в виде суммы степеней десяти.

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать, что если $a\in{\bf Z},$ $b\in{\bf Z},$ $b>0$, то существует и притом единственное представление числа $a$ в виде

$$a=bq+r, 0\le r\le b; q\in{\bf Z}, r\in{\bf Z}.$$

2. Обозначим НОД чисел $a$ и $b$ через $(a;b).$ Доказать, что если $a=bq+r,$ $a,b,q,r\in{\bf Z},$ то $(a;b)=(b;r).$

3. Доказать, что совокупность общих делителей двух натуральных чисел совпадает с совокупностью делителей их наибольшего общего делителя.

Практическая компонента

I. 1. Найдите НОД (158;204). Найдите все решения диофантова уравнения $204x+158y=1;$ $11x+8y=104.$

2. Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД (13172;261). Найдите НОК (49896;26460).

3. Постройте графики функций $y=[x];$ $y=\{x\};$ $y=x\cdot[x];$ $y=x\cdot\{x\};$ $y=[\sin x];$ $y=\{\sin x\}.$

4. Переведите следующие числа в 10-чную систему: $10200_3,$ $2122_4,$ $125_8,$ $(10)6(11)_{12},$ $101001011_2.$

5. Переведите из 10-чной системы в $q$-чную: $46\rightarrow x_2,$ $5480\rightarrow x_7,$ $63210\rightarrow x_9,$ $123456789\rightarrow x_{21}.$

6. Запишите $100_{10}$ в двоичной и троичной системах.

II. 7. Напишите таблицу умножения и сложения для шестеричной системы счисления. Используя их, вычислить в шестеричной системе: а)  $532_6\cdot 145_6;$ б) $1301_6:25_6;$ в)  $4052_6+3125_6.$

8. Разложить рациональную дробь на простейшие в ${\bf R}$: а)  ${\displaystyle 6\over\displaystyle x^3-1};$
б)  ${\displaystyle x^2+2x+6\over\displaystyle (x-1)(x-2)(x-4)};$ в)  ${\displaystyle 5x^2+6x-23\over\displaystyle (x-2)(x+1)^2(x-1)^2}.$

9. Вычислить суммы: а) $\sum\limits_{k=1}^n{\displaystyle 1\over\displaystyle (3k-2)(3k+1)};$ б)  $\sum\limits_{k=1}^n{\displaystyle 1\over\displaystyle (2k-1)(2k+1)(2k+3)}.$

5. Рациональные числа

Знания: рациональные числа. Плотность рациональных чисел в ${\bf R}$. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема о плотности $a<{\displaystyle m\over\displaystyle n}<b.$ Числа $e$ и $\pi$. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.

Умения: доказывать теорему о плотности ${\bf Q}$ в ${\bf R},$ доказывать сепарабельность некоторых чисел, приводить 10 примеров алгебраических и трансцендентных чисел.

Навыки: оперирование с числами из ${\bf Q}$ в дробном представлении $\left({\displaystyle m\over\displaystyle n}\right)$, нахождение десятичных приближений с заданной точностью.

Мотивация. 1. Потребность в измерении величин таких, как длина, площадь, объем, привела к появлению рациональных чисел. Положительные дроби были известны еще древним цивилизациям Вавилона и Египта; как полагают, индийцы изобрели число нуль. Отрицательные рациональные числа были введены в Италии в эпоху Возрождения.

2. Существование иррациональных чисел было установлено еще в Древней Греции, когда "несоизмеримость" диагонали квадрата с его стороной обнаружила сложность и несовершенство представлений об
окружающем мире. Осознание этого факта привлекло внимание ученых к строгим математическим методам доказательства, а теория пропорций Евдокса - одно из блестящих достижений древнегреческой математики - заложила основы современной теории действительных чисел.

3. Существование трансцендентных чисел было впервые установлено французским математиком И.Лиувиллем в 1844 г. Однако впервые конкретные примеры трансцендентных чисел появились лишь в конце XIX в. Именно французский математик Ш.Эрмит в 1873 г. доказал трансцендентность числа $e\approx2,71828...$, а немецкий математик Ф.Линдеман в 1882 г. установил трансцендентность числа $\pi,$ чем доказал невозможность квадратуры круга - построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади круга, - проблему, остававшуюся без ответа на протяжении столетий.

4. Всегда ли сумма двух рациональных чисел есть число рациональное? А сумма рационального и иррационального?

5. Если высота треугольника имеет длину 5 см и делит основание треугольника на отрезки длиной 2 и 5 см, то периметр треугольника равен $9+\sqrt{29}+\sqrt{74}.$ В практической деятельности для сложения иррациональных чисел используют десятичные приближения.

Теоретическая компонента

I. 1. Докажите или опровергните:

а) сумма рациональных чисел рациональна;

б) сумма иррациональных чисел иррациональна;

в) сумма рационального и иррационального числа иррациональна.

Проверьте аналогичные утверждения для разности, частного и произведения.

II. 2. Доказать, что если $a\in{\bf N}$, то $\sqrt a$ - либо натуральное, либо иррациональное число.

3. Доказать эквивалентность утверждений:

а) между любыми двумя рациональными числами заключено хотя бы одно рациональное число;

б) между любыми двумя рациональными числами заключено бесконечно много рациональных чисел.

Верно ли это утверждение для иррациональных чисел?

III. 4. Доказать, что для любых рациональных чисел $a$ и $b$ таких, что $a<b$, найдется иррациональное число $c$, удовлетворяющее условию $a<c<b.$

5. Доказать, что существует иррациональное число $\alpha$, для которого неравенство $\left\vert\alpha -{\displaystyle p\over\displaystyle q}\right\vert<{\displaystyle 1\over\displaystyle q^\alpha }$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $p$ и $q$ $(q>0)$.

Практическая компонента

I. 1. Доказать, что данные числа иррациональны:

а) $\sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{{\displaystyle 2\over\displaystyle 3}}; \sqrt{2}+\sqrt{3};$

б) $\root{3}\of{7};$ в)  $\lg 2; \lg2+\lg5;$

в) $0,1212212221...$

II. 2. Докажите, что всякое число, в котором нули стоят на всех местах с номерами $10^n$ и только на этих местах, является иррациональным.

3. Доказать, что для $\forall p,q,r\in{\bf Q}$, из которых хотя бы одно число не равно нулю, число $p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+r\sqrt{{\displaystyle 2\over\displaystyle 3}}$ - иррационально.

4. Сумма и разность двух чисел $a$ и $b$ есть число рациональное. Докажите, что $a$ и $b$ также являются рациональными.

5. Пусть $\alpha$ и $\beta$ - иррациональные числа, а $\alpha +\beta$ - рационально. Докажите, что числа $\alpha -\beta$ и $\alpha +2\beta$ иррациональны.

6. Числа $a$, $b$ и $\sqrt a+\sqrt b$ являются рациональными. Доказать, что $\sqrt{ab},$ $\sqrt a-\sqrt b$, $\sqrt a$, $\sqrt b$ - также рациональные числа.

Деятельностная компонента

I. 1. Записать рациональные числа в виде бесконечных десятичных дробей:

$${\displaystyle 2\over\displaystyle 3}, {\displaystyle 11\ove... ...ver\displaystyle 14},\ -{\displaystyle 2\over\displaystyle 7}.$$

2. Записать периодические бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:

$$0,125(0); 0,(3); 2,4(31); \ 0,2(9).$$

3. Найдите десятичные приближения чисел ${\displaystyle 3\over\displaystyle 17},$ $\sqrt 2-\sqrt 3$, $\sqrt 3-\sqrt 5+\sqrt 7$ по недостатку и по избытку с точностью до 0,1; 0,01; 0,001.

6. Числовая прямая

Знания: определение длины отрезка на прямой $l$. Соизмеримые отрезки. Построение отрезка, соизмеримого с данным. Установление взаимнооднозначного соответствия между ${\bf R}$ и точками $l$. Числовая прямая. Несобственные точки $+\infty$ и $-\infty$, оперирование с бесконечностями.

Практическая компонента

I. 1. Соизмеримы ли отрезки, если отношение их длин выражается дробью 0,23(75)?

Деятельностная компонента

I. 1. Дан отрезок $a$. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок ${\displaystyle a\over\displaystyle 2},$ ${\displaystyle a\over\displaystyle 5},$ ${\displaystyle 2\over\displaystyle 3} a,$ ${\displaystyle 3\over\displaystyle 7} a.$

7. Классификация промежутков на числовой прямой

Знания: классификация промежутков на числовой прямой. Система вложенных промежутков. Теорема Кантора.

Умения: доказывать теорему Кантора, владеть понятием арифметической и геометрической прогрессии, находить сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии.

Методы: метод Больцано (дихотомии).

Мотивация. 1. Найдите $\mathop{\cap}\limits_{n=1}^5A_n,$ где а)  $A_n=\left(1+{\displaystyle 1\over\displaystyle n};4-{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right);$ б)  $A_n=\left[1-{\displaystyle 1\over\displaystyle n};4+{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right];$ в)  $A_n=\left[0;{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right];$ г)  $A_n=\left(0;{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right).$ Найдите в каждом случае $\mathop{\cap}\limits_{n=1}^\infty A_n.$

2. Каким может быть пересечение конечной (бесконечной) системы вложенных отрезков (интервалов)?

Теоретическая компонента

II. 1. Справедливо ли утверждение: всякая система вложенных интервалов $\{(a_n,b_n)\}$, т.е. таких, что $(a_{n+1},b_{n+1})\subset(a_n,b_n),$ $n\in{\bf N}$, имеет непустое пересечение? Привести пример.

2. Привести пример системы вложенных интервалов, имеющих одну точку пересечения (содержащих в пересечении отрезок).

3. Привести пример последовательности вложенных отрезков $[a_n,b_n]$ такой, что $\mathop{\cap}\limits_{n=1}^\infty[a_n,b_n]$ содержит не менее двух точек.

4. Отрезком $[a,b]_{\bf Q}$ рациональных чисел называется множество $[a,b]_{\bf Q}=\{x\vert a\le x\le b, a\in{\bf Q}, b\in{\bf Q},\ x\in{\bf Q}\}.$
Система $\left\{[a_n,b_n]_{\bf Q}\right\}$ отрезков рациональных чисел называется вложенной, если для любого $n\in{\bf N}$ выполняется включение

$$[a_{n+1},b_{n+1}]_{\bf Q}\subset[a_n,b_n]_{\bf Q}.$$

Справедливо ли утверждение: пересечение любой системы вложенных отрезков рациональных чисел содержит по крайней мере одно рациональное число?

8. Окрестность точки на числовой прямой

Знания: понятие окрестности точки на числовой прямой (собственной и несобственной). Отделимость окрестностей. Понятие предельной точки, внутренней точки. Понятие открытого множества, замкнутого множества.

Умения: доказывать теорему об отделимости окрестностей. Приводить 10 примеров: предельных точек, внутренних точек, открытых, замкнутых множеств.

Мотивация. 1. Понятие окрестности позволяет раскрыть структуру точечных множеств, исследовать локальные свойства отображений. Понятие окрестности используется при определении предела, непрерывности, дифференцируемости функции.

2. Чему равна длина отрезка, соответствующего на числовой прямой множеству решений неравенства $\vert x-1\vert\le0,3$? Найдите координаты середины этого отрезка.

3. Известно, что переменная принимает все значения из промежутка $(-0,1;0,1)$. Задайте эту переменную с помощью неравенства, содержащего модуль.

4. Значения переменной $x$ находятся на числовой прямой от точки с координатой 1,5 на расстоянии меньшем, чем 0,2. Задайте эту переменную с помощью неравенства, содержащего знак модуля.

Практическая компонента

I. 1. Дано утверждение:

а) "расстояние между точками $x$ и 3 меньше 0,1; ${\displaystyle 2\over\displaystyle 5};$ $\delta '';$

б) "расстояние между точками $x$ и -0,2 не больше 0,01; ${\displaystyle \delta \over\displaystyle 2}$";

в) "расстояние между точками $f(x)$ и 1 больше 2";

г) "расстояние между точками $f(x)$ и $f(3)$ меньше $\varepsilon$".

Записать его, i) используя знак принадлежности и обозначения окрестности в виде интервала; ii) используя неравенства с модулем; iii) используя двойные неравенства или системы и совокупности неравенств.

2. Найдите пересечение окрестности точки с координатой 5 радиуса 0,2 с окрестностью точки с координатой 4 радиуса 0,9.

3. Укажите непересекающиеся окрестности точек с координатами 3 и 2,9 (3 и 2,99).

4. Запишите тремя способами следующие окрестности:

а) окрестность точки с координатой 2,5 радиуса 0,3;

б) проколотую окрестность точки с координатой 2,5 радиуса 0,3 (точки "-3,7" радиуса 0,02).

5. Найдите пересечение всех окрестностей точки с координатой 5 и пересечение всех проколотых окрестностей этой точки.

6. Найдите наибольшую $\varepsilon$-окрестность точки $x=2$, в которой а) $x^2-5x+4<0;$ б) $\sin x>0;$ в) $\tg x<0;$ г)  ${\displaystyle x^2(x+1)\over\displaystyle x-1}>0.$

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать утверждения:

а) объединение любой совокупности окрестностей одной и той же точки есть окрестность этой точки;

б) пересечение любой конечной совокупности окрестностей одной и той же точки есть окрестность этой точки.

II. 2. Пусть $E$ -подмножество числовой прямой, $E'$ - множество предельных точек множества $E$. Привести примеры таких множеств, которые удовлетворяют соотношению: а) $E=E';$ б) $E'\subset E$ и $E\setminus E'\ne\emptyset;$ в) $E\subset E'$ и $E'\setminus E\ne\emptyset;$ г)  $E'\setminus E\ne\emptyset$ и $E\setminus E'\ne\emptyset$; д)  $E\cap E'=\emptyset.$

3. Привести пример множества, имеющего а) ровно одну предельную точку; б) ровно шесть предельных точек.

4. Может ли множество, состоящее только из изолированных точек, иметь предельные точки?

5. Доказать, что непустое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

6. Привести пример последовательности замкнутых множеств $F_n$ такой, что множество $A=\mathop{\cup}\limits_{n=1}^\infty F_n$ не замкнуто; в частности, чтобы множество $A$ было интервалом.

7. Привести пример последовательности открытых множеств $G_n$ такой, что множество $A=\mathop{\cap}\limits_{n=1}^\infty G_n$ не открыто; в частности, множество $A$ - отрезок.

8. Найдите множества предельных точек для ${\bf N}, {\bf Z}, {\bf Q},\ {\bf I}, {\bf A}, {\bf T}.$

9. Найдите замыкания множеств ${\bf N}, {\bf Q}.$

9. Грани множества

Знания: понятие верхней и нижней границы (грани) множества. Замкнутость множества верхних и нижних границ множества. Теорема существования граней. Характеристическое свойство граней. Теорема существования корня.

Умения: доказывать замкнутость множества верхних и нижних границ множества, теорему существования корня, теорему существования граней. Приводить 10 примеров верхней и нижней границ множества.

Мотивация. 1. Даны множества $M=\{(-1)^n\vert n\in{\bf N}\}$; $N=\{1+(-1)^n\cdot 3\vert n\in{\bf N}\}.$ Перечислите элементы каждого множества. Укажите число, превосходящее элементы множества $M$ $(N)$; число, не превосходящее. Единственны ли такие числа?

2. Какое свойство множества $A\subset{\bf R}$ определяет следующее высказывание:

а) $(\exists b\in{\bf R})$ такое, что $(\forall x\in A)$ $(x\ge b)$; (1)

б) $(\exists b\in{\bf R})$ такое, что $(\forall x\in A)$ $(x\le b)$. (2)

3. Для каждого из следующих множеств укажите числа $b$, удовлетворяющие высказыванию (1): а) $A={\bf N};$ б)  $A=[-2;+\infty);$ в) $A=[-2;3);$ г)  $A=\{2^x\vert x\in{\bf R}\};$ д)  $A=\{\arctg x\vert x\in{\bf R}\}.$ Для всех ли множеств существуют числа $b$, удовлетворяющие высказыванию (2)?

3. Назовите наибольший (наименьший) элемент множества, если он существует: а)  $A=\{y\vert y=x^2\land x\in{\bf R}\};$ б) $A=[a;b];$ в) $A=(a;b);$ г)  $A=\{y\vert y=\arctg x\land x\in{\bf R}\};$ д)  $A=\{y\vert y=2^x\land x\in{\bf R}\}$.

Теоретическая компонента

I. 1. Доказать, что множество $X\subset{\bf R}$ ограничено тогда и только тогда, когда существует такое $a$, что для $\forall x\in X \vert x\vert\le a.$

2. Всегда ли пересечение неограниченных множеств есть неограниченное множество?

II. 3. Доказать, что если $A$ и $B$ - ограниченные множества, то их пересечение (объединение) - ограниченное множество. Доказать, что объединение конечного числа отрезков $[a;b]$ есть ограниченное множество.

4. Пусть множества $A$ и $B$ ограничены сверху, причем $\mathop{\rm sup} A<\mathop{\rm sup}B$. Следует ли из этого, что $A\subset B$? Какое условие следует добавить, чтобы вложение выполнялось?

5. Доказать, что если множества $A$ и $B$ таковы, что выполняется условие $A\subset B$ и множество $B$ ограничено, то справедливы неравенства $\mathop{\rm sup}A\le\mathop{\rm sup}B$ и $\mathop{\rm sup}A\ge<\mathop{\rm sup}B$.

6. Приведите пример числового множества $M$, для которого $\inf M=0;$ $\mathop{\rm sup}M=1,$ но которое не совпадает с отрезком $[0;1]$.

7. Для каких числовых множеств $\inf M=\mathop{\rm sup}M$?

III. 8. Пусть $(-A)$ - множество чисел вида $-a$, где $a\in A\subset {\bf R}.$ Покажите, что $\mathop{\rm sup}(-A)=-\inf A;$ $\inf(-A)=-\mathop{\rm sup}A.$

9. Пусть $A+B$ - множество чисел вида $a+b,$ где $a\in A\subset{\bf R};$ $b\in B\subset{\bf R};$ $A-B$ - множество чисел вида $a-b$; $AB$ - множество чисел вида $ab$ $(a\ge 0,b\ge 0).$ Проверьте, всегда ли

а) $\mathop{\rm sup}(A+B)=\mathop{\rm sup}A+\mathop{\rm sup}B;$ $\inf(A+B)=\inf A+\inf B;$

б) $\mathop{\rm sup}(A-B)=\mathop{\rm sup}A-\mathop{\rm sup}B;$

в) $\mathop{\rm sup}(AB)=\mathop{\rm sup}A\cdot\mathop{\rm sup}B;$ $\inf(AB)=\inf A\cdot\inf B.$

Практическая компонента

I. 1. Найти $\inf A$ и $\mathop{\rm sup}A,$ если а)  $A=\left\{{\displaystyle n\over\displaystyle n+1}\vert n\in{\bf N}\right\};$ б)  $A=\{n\vert n\in{\bf N}\};$
в)  $A=\left\{{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\vert n\in{\bf N}\right\};$ г)  $A=\left\{1+{\displaystyle (-1)^n\over\displaystyle n}\vert n\in{\bf N}\right\};$ д)  $A=\left\{n^{(-1)^n}\vert n\in{\bf N}\right\}.$

II. 2. Найти $\inf A$ и $\mathop{\rm sup}A,$ если

а)  $A=\left\{{\displaystyle n^3\over\displaystyle 2n^3+1}\vert n\in{\bf N}\right\};$

б)  $A=\left\{(1+(-1)^n){\displaystyle 1\over\displaystyle n}+(1+(-1)^{n+1}){\displaystyle n\over\displaystyle n+1}\vert n\in{\bf N}\right\};$

в)  $A=\left\{((-1)^n+1)n^2+{\displaystyle (-1)^n-1\over\displaystyle n}\vert n\in{\bf N}\right\}.$

3. Пусть $X=\{x\vert x\in{\bf Q},x^2<2\}.$ Доказать, что множество $X$ не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Найти $\mathop{\rm sup}X$ и $\inf X.$

III. 4. Ограничены или нет множества, если ограничены, найти точные границы: $P=\left\{{\displaystyle p\over\displaystyle q}\vert p\in{\bf N}, q\in{\bf N},p\le q\right\};$ $P=\left\{{\displaystyle p\over\displaystyle q}\vert p\in{\bf N}, q\in{\bf N},p\ge q\right\}.$

10. Понятие функции

Знания: понятие функции. Система обозначений. Типы отображений (инъекция, сюръекция, биекция). Способы задания функций (аналитический, табличный, графический, словесный). Понятие композиции функций. Ассоциативный закон композиции. Контрпример для коммутативного закона. Понятие обратной функции.

Умения: доказывать ассоциативный закон композиции функций, приводить контрпример для коммутативного закона. Приводить примеры различных типов отображений, способов задания функций (10 примеров). Понятие обратной функции (10 примеров).

Навыки: построение графиков элементарными средствами.

Мотивация. 1. История возникновения понятия функции. 2. История преподавания функциональных понятий в школе. 3. Функции описывают реальные процессы. 4. Функции - один из основных объектов изучения в школьном курсе математики.

Теоретическая компонента

I. 1. Пусть $A$ и $B$ - множества из области определения функции $f(x)$. Доказать, что $A\subset B\Longrightarrow f(A)\subset f(B).$

II. 2. Пусть $A$ и $B$ - множества из области определения функции $f(x)$. Доказать, что а)  $F(A\cup B)=f(A)\cup f(B);$ б)  $F(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B);$ в)  $F(A\cap B)=f(A)\cap f(B),$ где $f(x)$ - взаимнооднозначное отображение.

3. Пусть $A$ - множество из области определения функции $f(x).$ Как соотносятся множества $A$ и $f^{-1}(f(A))$? Доказать, что $f^{-1}(f(A))=A.$

4. При каких $a$ и $b$ функция $y=ax+b$ имеет обратную и совпадает с ней?

5. При каких $\alpha \in{\bf R}$ функция $y=x^\alpha$ $(x>0)$ совпадает со своей обратной?

Практическая компонента

I. 1. Рассмотреть функцию, которая определяется по следующему закону: $\forall n\in{\bf N}$ ставит в соответствие число $f(n)$, равное квадрату $n$-го десятичного знака после запятой при разложении числа $\pi$ в десятичную дробь. Определите $f(1),$ $f(2),...,f(5).$

2. Дана функция $f(x)=\cases{\vert x\vert,&$x\le-1;$\cr 2-x^2,&$-1<x<2;$\cr 0,&$x\ge 2.$\cr }$ Постройте ее график. Найдите $f(-4),$ $f(-1),$ $f(-0,5),$ $f(1),$ $f(2001).$

3. Пусть $X=0;1];$ $Y=[0;1].$ Какие из следующих функций $y=f(x)$ задают инъективное (сюръективное, биективное) отображение: а)  $f(x)={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\tg{\displaystyle \pi x\over\displaystyle 4};$ б)  $f(x)=\sin\pi x;$ в)  $f(x)=2(x-x^2);$ г)  $f(x)=\cos{\displaystyle \pi x\over\displaystyle 2};$ д) $f(x)=x^3;$ е)  $f(x)=\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 3}\right)^x$?

4. Пусть $f(x)={\displaystyle x\over\displaystyle ax+b};$ $g(x)={\displaystyle x\over\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}}.$ Найти а)  $f\circ f\circ f(x);$ б)  $g\circ g\circ g(x);$ в)  $f\circ f\circ...\circ f(x)$ ($n$ композиций); г)  $g\circ g\circ...\circ g(x)$ ($n$ композиций).

5. Пусть $y=f(x)$ определена на множестве $[0;1]$. Каковы области определения функций $f(-x^2);$ $f(\cos x);$ $f(x-1);$ $f(2x);$ $f\left({\displaystyle \vert x\vert\over\displaystyle x}\right)$?

6. Найти обратные функции и построить их графики: а)  $y={\displaystyle 4-x\over\displaystyle 4+x};$ б)  $y={\displaystyle 2x\over\displaystyle 1-x^2},$ $x\le-1;$ в) $y=\sin^3 x,$ $-{\displaystyle \pi\over\displaystyle 2}\le x\le{\displaystyle \pi\over\displaystyle 2}.$

7. Пусть $y=x^3-3x.$ Найти множество на прямой $OY$, являющееся образом множества: $[0;\sqrt 3];$ $[0;1];$ $(-1;1);$ $(-2;2);$ $(-5;5);$ $[-\sqrt3;0]\cup(\sqrt3;2);$ $[-\sqrt3;0]\cup\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 2};\sqrt3\right).$ Найти множество на оси $OX$, являющееся прообразом множества $(-2;2);$ $[-2;0];$ $(0;110).$

Прикладная компонента

I. 1. Окно имеет форму прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, на котором построен полукруг радиуса $r={\displaystyle b\over\displaystyle 2}.$ Написать аналитическое выражение $s(x)$ для площади части окна, отсекаемой прямой, параллельной основанию прямоугольника и отстоящей от него на расстоянии $x$.

2. Выразите полную поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$, как функцию высоты. Найти обратную функцию и выделить ее однозначные ветви.

3. Парашютист падает в свободном падении $a$ сек, после чего открывает парашют и падает $b$ сек с постоянной скоростью $v_0.$ Написать выражение функции $s(t)$ пути, пройденного парашютистом за время $t$.

4. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди в них $p$% и $q$% соответственно. Сплавив эти куски вместе, получили сплав с процентным содержанием меди в нем $r$%. Выразите $r$ как функцию отношения масс этих кусков.

11. Элементарные функции

Знания: понятие основной элементарной функции; элементарные
функции, типы (монотонные, периодические, ограниченные, четные, нечетные). Классификация элементарных функций: многочлены, рациональные функции, иррациональные, трансцендентные, неявные алгебраические функции. Понятие декартовой, полярной, параметрической системы координат на плоскости, переход из одной системы координат в другую.

Умения: приводить примеры представителей различных типов элементарных функций (10 примеров), различных классов элементарных функций (10 примеров), функций, заданных в декартовой, полярной и параметрической системах координат (10 примеров).

Владеть методами преобразования графиков. Уметь построить график функции, представляющей собой сумму, произведение, композицию и обращение некоторых основных элементарных функций, например: $y={\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2};$ $y={\displaystyle 1\over\displaystyle 1+x^2};$ $y=\ln\vert 2x-1\vert.$ Построение графиков элементарных функций в декартовой, полярной системах координат, в параметрических координатах. Уметь приводить примеры непрерывного, периодического и другого продолжения функции.

Навыки: построение графиков основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических; навыки исследования квадратичной функции, перехода от одной системы координат к другой.

Методы: метод продолжения.

Мотивация. 1. Исторические задачи и факты, приводящие к понятию конкретной основной элементарной функции.

2. Описание реальных процессов, которые моделируют элементарные функции на некотором сужении области определения (равномерных, равноускоренных, периодических, органического роста).

Теоретическая компонента

I. 1. Сформулировать, что означает, что функция $f$ не является четной на промежутке $(-l;l)$.

2. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.

3. Сформулировать утверждение: функция не является ограниченной на множестве $M$ (не является монотонной на промежутке $[a;b]$).

4. Доказать, что если график функции $y=f(x)$, определенной на всей числовой прямой, симметричен относительно двух вертикальных осей $x=a$ и $x=b$, то функция $f(x)$ периодическая (симметричен относительно точки $A(a;b)$ и прямой $x=c$ $(c\ne a)$).

II. 5. Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки $O$ областью определения представляется (притом единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функции.

6. Существует ли функция, являющаяся одновременно четной и нечетной?

7. Докажите, что если $y=f(x)$ - четная функция, а $x=\varphi (t)$ - нечетная, то $y=f(\varphi (t))$ - нечетная функция.

8. Всегда ли разность двух возрастающих (убывающих) функций на множестве $A$ является возрастающей (убывающей) функцией?

9. Привести примеры немонотонных обратимых функций, указав обратные им функции.

10. Является ли произведение двух монотонных на ${\bf R}$ функций монотонной на ${\bf R}$ функцией?

11. Доказать, что если функция $x=f(t)$ возрастает на $[\alpha ;\beta]$, а функция $y=F(x)$ убывает на $[f(\beta);f(\alpha )],$ то функция $y=F(f(t))$ возрастает на $[\alpha ;\beta].$

12. Известно, что $\mathop{\rm sup}\limits_{[a;b]}f(x)<\mathop{\rm sup}\limits_{[a;b]}g(x)$ и $\inf\limits_{[a;b]}f(x)<\inf\limits_{[a;b]}g(x)$. Следует ли отсюда, что $f(x)<g(x)$ на $[a;b]$?

13. Следует ли из равенства $\inf\limits_{(a;b)}f(x)=\mathop{\rm sup}\limits_{(a;b)}f(x)$, что $f$ постоянна на $(a;b)$?

Практическая компонента

I. 1. Какие из следующих функций являются бесконечно большими при $x\rightarrow 1$, какие ограниченными, какие неограниченными:
а)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x-1}\sin^2{\displaystyle \pi\over\displaystyle x-1};$ б)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x-1}\left(\sin{\displaystyle \pi\over\displaystyle x-1}+2\right);$ в)  $y={\displaystyle \sin\pi(x-1)\over\displaystyle x-1};$ г)  $y={\displaystyle \sin\pi(x-1)\over\displaystyle x-1}\cos{\displaystyle \pi\over\displaystyle x-1}.$

2. Какие из следующих функций ограничены снизу (сверху), ограничены:
а)  $y={\displaystyle x^4\over\displaystyle x^4+1};$ б)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x^2+10};$ в)  $y=-{\displaystyle 1\over\displaystyle x^4+4};$ г) $y=x^3+6;$ д)  $y=-2x^4+2x^2+1;$ е)  $y={\displaystyle \root{3}\of{x^4+10}\over\displaystyle x^2+1};$ ж)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \cos x};$ з)  $y=\ctg x\cdot\sin 2x;$ и)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt{1-x^2}}\ (x\in(-1;1));$ к)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \lg(2-x^4)};$ л)  $y=\log_x2\ x\in(1;+\infty).$

3. Дана функция $y=2\cos^2x-3\sqrt3\cos x-\sin^2x+5.$ Найти ее наибольшее и наименьшее значения и значения аргумента, при которых они достигаются.

4. Продолжить функции а) четным образом: $y=\sin x+x\tg x,$ $0\le x\le{\displaystyle \pi\over\displaystyle 2};$ б) нечетным образом: $y=\sin^4x+\cos^4x,$ $0\le x\le+\infty.$

5. Продолжить нечетным образом функцию $f(x)=\cases{ \cos x,&$0\le x\le{\displaystyle \pi\over\displaystyle 2};$\cr 0,&${\displaystyle \pi\over\displaystyle 2}<x\le\pi.$\cr}$

6. Периодически продолжить функцию $f(x)=x^2+x+1,$ $-2\le x\le2$ на всю ось $(T=4).$

II. 7. Доказать, что функция не является периодической: а) $y=\cos^2x;$ б)  $y=\sin(x\sqrt2);$ в) $y=\{x^2\};$ г)  $y=\{x\}+\{x\sqrt2\}.$

8. Найдите ось симметрии для графиков функций: а)  $y=(x-3)^4+2(x-3)^2+5;$ б) $y=x^2-3x+5.$ Найдите центр симметрии функции: а)  $y=(x-2)^3+3(x-2)-6;$ б)  $y=(x+4)^5+(x+4)^3-1.$

9.Доказать, что функции являются монотонными: а) $y=x^3;$ б) $y=\sqrt x;$ в) $y=a^x;$ г)  $y=\log_ax (x>0);$ д)  $y=\cos x (x\in[0;\pi]);$ е)  $y=\arccos x (x\in[-1;1]).$

10. Найти множество значений функции: а)  $y={\displaystyle x^2+4\over\displaystyle x}\ (x<0);$ б)  $y={\displaystyle x^2+2x-2\over\displaystyle x^2-x+1};$ в)  $y=2^{x^2+4x-5};$ г)  $y=\log_3x+\log_x3;$ д)  $y=\log_2(\cos x+\sin^2x);$ е)  $y=\sqrt{2\log_2x-\log^2_2x};$ ж)  $y=\arctg{\displaystyle 2x\over\displaystyle x^2+1}.$

11. Точки $M$ и $N$ имеют полярные координаты $(r_1,\varphi _1)$ и $(r_2,\varphi _2)$ соответственно. Найдите длину отрезка $[MN]$.

12. На плоскости выбрана декартова (полярная) система координат. Изобразить на плоскости множество точек, имеющих

а) первую координату, равную 2; $\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 3}\right);$

б) вторую координату, равную 1; $\left({\displaystyle \pi\over\displaystyle 6}\right).$

Деятельностная компонента

I. 1. Построить графики функций: 1)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\log_{1\over3}x;$ 2)  $y=\root{3}\of{-x};$ 3)  $y=\sin{\displaystyle 1\over\displaystyle \pi}x;$ 4)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\sin\left(3x+{\displaystyle \pi\over\displaystyle 4}\right)+1;$ 5)  $y=\sin\left(x+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\right)+{\displaystyle 3\over\displaystyle 2};$ 6)  $y=\arccos{\displaystyle 1+x\over\displaystyle 2};$ 7)  $y=\tg\left(2x-{\displaystyle \pi\over\displaystyle 3}\right);$ 8)  $y=\sin^4x+\cos^4x;$ 9) $y=x+\tg x;$ 10) $y=2^x+2^{-x};$ 11)  $y=\arctg x+4x;$ 12)  $y=\{x\}-{\rm sgn} x.$

2. Построить графики функций: 1) $y=x^2\sin x;$ 2)  $y={\displaystyle \sin x\over\displaystyle 1+x^2};$ 3)  $y=e^{-x}\cos x;$ 4)  $y=x{\rm sgn} x;$ 5)  $y=e^x\sin\pi x;$ 6)  $y={\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2};$ 7)  $y=\sqrt{{\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2}};$ 8)  $y=\root{3}\of{{\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2}};$ 9)  $y=2^{{\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2}};$ 10)  $y=\log_2{\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2};$ 11)  $y=\arcsin{\displaystyle 2x\over\displaystyle 1+x^2};$ 12)  $y=\arcsin{\displaystyle 1+x\over\displaystyle 1-x};$ 13)  $y=\log_3{\displaystyle x^3\over\displaystyle 1-x^2};$ 14)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \sin x+\cos x};$ 15)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \log_2(x-3)-1};$ 16)  $y=\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\right)^{{1}\over{x^2-1}};$ 17)  $y=2^{{\vert 1-2x\vert}\over{3x+4}};$ 18)  $y=\sin{\displaystyle 1\over\displaystyle x};$ 19) $y=\sin x^2;$ 20)  $y=\arccos{\displaystyle 1\over\displaystyle \lg x};$ 21)  $y=\arctg{\displaystyle 1\over\displaystyle \cos x};$ 22)  $y=\arccos{\displaystyle 2x-4\over\displaystyle x^2-4x+5};$ 23)  $y=\lg(x^2+6x+10);$ 24)  $y=x{\rm sgn}(\sin x);$ 25) $y=\{\lg x\}.$

3. Построить графики функций $y=y(x)$, заданных параметрически: а)  $x=t+{\displaystyle 1\over\displaystyle t}; y=t+{\displaystyle 1\over\displaystyle t^2};$ б)  $x={\displaystyle t\over\displaystyle t^2-1}; y={\displaystyle t^2\over\displaystyle t-1};$ в)  $x=2(t-\sin t); \ y=2(1-\cos t).$

4. Построить графики функций, заданных в полярной системе координат: а)  $r=2(1+\cos \varphi )$; б)  $r=4\sin 3\varphi ;$ в) $r=2\varphi ;$ д)  $r={\displaystyle \pi\over\displaystyle 4};$ д) $r=e^\varphi .$

5. Записать в полярных координатах уравнение и построить график: а) $x+y+1=0;$ б) $x^2+y^2=2x;$ в) $2xy=x^2-y^2;$ г)  $x=y^2-{\displaystyle 1\over\displaystyle 4}.$

6. Изобразить графики уравнений: а) $\vert x\vert+\vert y\vert=1;$ б) $x^4-y^4=0;$ в) $x^2+y^2-4y=0;$ г) $x^2-y^4=0;$ д)  ${\displaystyle x^2\over\displaystyle 4}+y^2=1;$ е)  $y^2+2\cos 2x=2.$

12. Последовательность. Способы задания, некоторые приемы конструирования последовательностей

Знания: последовательность как функция натурального аргумента. Способы задания, некоторые приемы конструирования последовательностей.

Способы задания: аналитический (арифметическая, геометрическая прогрессии), рекуррентный способ задания, числа Фибоначчи.

Умения: приводить примеры последовательностей, заданных различными способами, конструировать последовательности: непрерывные дроби, десятичные дроби, числовые ряды, арифметические операции (10 примеров).

Мотивация. 1. Числовые последовательности представляют собой аппарат, не заменимый при изучении бесконечных процессов, и именно этим обусловлена их роль в математике.

2. Числовые ряды являются частным случаем последовательностей, новой формой изучения последовательности и ее предела.

3. Последовательности, в частности, арифметическая и геометрическая прогрессии, являются одним из объектов изучения в школьной математике.

4. Последовательность - частный случай функции. Какова область определения последовательности? Каким является ее множество значений? Какие способы изображения последовательностей существуют? Как найти расстояние между двумя членами последовательности?

Теоретическая компонента

I. 1. Привести пример последовательности $\{x_n\}$, удовлетворяющей условию:

а) $\forall m \exists n: x_m\ne x_n;$

б) $\exists N \forall n\ge N: x_n<x_N;$

в) $\exists N_1 \forall n\ge N_1: x_{N_1}>x_n$ и $\exists N_2 \forall n\ge N_2: x_{N_2}<x_n;$

д) $\exists N \forall n>N \forall m>n: x_n<x_m.$

2. Какое свойство последовательности определяет следующее высказывание:

а) $\forall n\in{\bf N} \exists A>): \vert a_n\vert\le A;$

б) $\exists A>0 \forall n\in{\bf N}: \vert a_n\vert\le A.$

3. Доказать, что если $x_1=a^{1\over k} (a>0),\ x_{k+1}=\left({\displaystyle a\over\displaystyle x_n}\right)^{1\over k},$ то $x_n=a^{{1-(-k)^{-n}}\over{k+1}}.$

4. Найти общий член последовательности $\{x_n\},$ если $x_1=a,$ и $x_{m+n}=x_m+x_n+mn$ для $\forall m,n\in{\bf N}.$

5. Существует ли последовательность $\{x_n\}$ такая, что для $\forall m\in{\bf N},$ $\forall n\in{\bf N}$ верно равенство $x_{m+n}=x_m+x_n+m+n$?

Практическая компонента

I. 1. Указать какой-либо номер $N$ такой, что для всех $n\ge N$ члены последовательности $\{x_n\}$ удовлетворяют заданному неравенству:

а) $x_n={\displaystyle (-1)^n-3\over\displaystyle n^2}, n\in{\bf N}, \vert x_n\vert<0,1;$

б) $x_n={\displaystyle 1-2^{n+1}\over\displaystyle 1+2^n}, n\in{\bf N}, \vert x_n+2\vert<0,001;$

в) $x_n={\displaystyle \log_2n\over\displaystyle n}, n\in{\bf N}, \vert x_n\vert<{\displaystyle 1\over\displaystyle k}, k\in{\bf N}$ (доказать и использовать неравенство $2^{1\over k}-1>{\displaystyle 1\over\displaystyle 2k},\ k\in{\bf N})$.

2. Задайте аналитически последовательность $(y_n)$, если

а) $y_1=-10, y_{n+1}=y_n+5;$

б) $y_1=4, y_{n+1}=-y_n;$

II. 3. Задайте аналитически последовательность $(y_n)$, если $y_1=a, y_2=b, y_{n+2}={\displaystyle y_{n}+y_{n+1}\over\displaystyle 2}.$

4. Доказать, что $(y_{n+1}-y_n)$ - геометрическая прогрессия:

а) $y_1=0, y_{n+1}={\displaystyle y_n+1\over\displaystyle n+1}, n\in{\bf N};$

б) $y_1={\displaystyle 1\over\displaystyle 2}, y_{n+1}={\displaystyle 1\over\displaystyle 2-x_n};$

в) $y_1=0, y_2=1, y_{n+2}={\displaystyle 3y_{n+1}-y_n\over\displaystyle 2}.$

Деятельностная компонента

I. 1. Изобразить геометрически (двумя способами) последовательность $(a_n)$: а)  $a_n={\displaystyle 1\over\displaystyle n};$ б)  $a_n=-{\displaystyle 1\over\displaystyle n};$ в)  $a_n={\displaystyle (-1)^n\over\displaystyle n};$ г)  $a_n={\displaystyle 1+(-1)^n\over\displaystyle n};$ д)  $a_n={\displaystyle 2+(-1)^n\over\displaystyle n};$ е)  $a_n={\displaystyle 2+(-1)^n\over\displaystyle n}.$

2. Какие из чисел $a,b$ являются членами последовательности $\{x_n\},$ если

а) $a=1215, b=12555, x_n=5\cdot 3^{2n-3}, n\in{\bf N};$

б) $a=6, b=11, x_n={\displaystyle n^2+11\over\displaystyle n+1}, n\in{\bf N};$

в) $a=248, b=2050, x_n=2^n-n, n\in{\bf N}.$

3. Последовательность задана формулой $x_n={\displaystyle 2n+3\over\displaystyle n}$.

а) Найти расстояние от точки 2 до точки $x_5, x_{20}, x_{100}$ на числовой прямой.

б) Укажите номера членов последовательности, удаленных от точки 2 менее чем на 0,1; 0,02.

13. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях

Знания: понятие предела последовательности, понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности, теоремы о бесконечно малых последовательностях, понятие суммы числового ряда, расходимость гармонического ряда.

Умения: приводить примеры сходящихся и расходящихся последовательностей (в частности, пример $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} q^n=0, \vert q\vert<1$). Доказывать теоремы о бесконечно малых последовательностях. Уметь вычислять пределы последовательностей: $(a^n),$ $(\root{n}\of{a})$ $(a>0),$ $(\root{n}\of{n}),$ $\left(1+{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right)^n).$

Мотивация. 1. Последовательность десятичных приближений (по недостатку) к числу $s$:

а) $s={\displaystyle 1\over\displaystyle 3}; \{s_n\}: 0,3; 0,33; 0,333;...$

б) $s=\sqrt2; \{s_n\}: 1,4; 1,41, 1,414; 1,4142;...$
$s_n$ отличается от $s$, эта разность становится сколь угодно малой при неограниченном возрастании $n$.

2. Опишите поведение членов последовательностей (характер приближения последовательностей к 0) из примера 1 (деятельностная компонента, 12 вопрос).

3. Пусть $\varepsilon ={\displaystyle 1\over\displaystyle 5}.$ Найдите, начиная с какого номера $n$ все члены последовательности $\{a_n\}=\left\{{\displaystyle 1\over\displaystyle n}\right\}$ будут удалены от 0 на расстояние, меньшее $\varepsilon .$ Решите задачу при произвольном $\varepsilon >0.$ Как записать данное свойство с помощью неравенства с модулем? На языке окрестностей? Приведите геометрическую иллюстрацию.

Теоретическая компонента

I. 1. Постройте отрицание понятия предела последовательности. Запишите на " $\varepsilon -N$" языке (на языке окрестностей), что а) число $a$ не является пределом последовательности $\{x_n\};$ б) никакое число $a$ не является пределом последовательности $\{x_n\}.$ Как изменится утверждение, если $a=+\infty,$ $a=-\infty$?

2. Сформулируйте на " $\varepsilon -N$" языке отрицание того, что $\{x_n\}$ - бесконечно большая последовательность.

II. 3. Докажите, пользуясь определением, что а)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle 3n-6\over\displaystyle 9n+7}={\displaystyle 1\over\displaystyle 3};$ б)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}={\displaystyle 2n\over\displaystyle 3n-2}\ne{\displaystyle 1\over\displaystyle 3}.$

4. Докажите, что последовательности а)  $x_n={\displaystyle 1\over\displaystyle n^3+n+5};$ б)  $x_n={\displaystyle (-1)^n\over\displaystyle \sqrt{n}}\sin\left(\sqrt{n}{\displaystyle \pi\over\displaystyle 2}\right)$ бесконечно малые.

5. Доказать, что последовательность расходится: а) $x_n=(-1)^n;$ б) $x_n=n;$ в)  $x_n=\sin{\displaystyle \pi n\over\displaystyle 2};$ г)  $x_n={\displaystyle n\over\displaystyle n+1}\cos{\displaystyle 2\pi n\over\displaystyle 3}.$

6. Известно, что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle 3n-5\over\displaystyle 9n+4}={\displaystyle 1\over\displaystyle 3}.$ Найдите число точек последовательности, лежащих вне интервала $\left({\displaystyle 1\over\displaystyle 3}-{\displaystyle 1\over\displaystyle ... ...aystyle 1\over\displaystyle 3}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 1000}\right).$

7. Приведите примеры последовательности $\{a_n\}$ такой, что $a_n\rightarrow +\infty$ и а)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(a_{n+1}-a_n)=10;$ б)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(a_{n+1}-a_n)=+\infty;$ в)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle a_{n+1}\over\displaystyle a_n}=0;$ г)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle a_{n+1}\over\displaystyle a_n}=3;$ д)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle a_{n+1}\over\displaystyle a_n}=+\infty;$ е) последовательность $\{a_{n+1}-a_n\}$ $\left({\displaystyle a_{n+1}\over\displaystyle a_n}\right)$ не имеет предела.

14. Единственность предела последовательности. Переход к пределу в неравенствах, арифметические операции над пределами

Знания: теорема о единственности предела последовательности, теоремы о переходе к пределу в неравенствах, арифметические операции над пределами (теоремы о пределе суммы, произведения, частного).

Умения: доказывать перечисленные теоремы, вычислять сумму бесконечного числа членов убывающей геометрической прогрессии, владеть методами раскрытия неопределенностей вида: ${\displaystyle 0\over\displaystyle 0},$ ${\displaystyle \infty\over\displaystyle \infty},$ $1^\infty,$ $0\cdot\infty,$ $\infty\pm\infty,$ $0^\infty.$

Теоретическая компонента

II. 1. Пусть в некоторой окрестности точки $a$ находится бесконечное множество членов последовательности $\{x_n\}$. Верно ли, что: а)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}=a;$ б) никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности $\{x_n\}$?

2. Пусть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$ и $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=b$. Исследовать на сходимость последовательность $x_1,$ $y_1,$ $x_2,$ $y_2,...,$ $x_n,$ $y_n,...$

3. Верно ли, что если последовательность $(x_n)$ расходится, то последовательность $\vert x_1\vert,$ $\vert x_2\vert,...,$ $\vert x_n\vert,...$ а) сходится; б) расходится?

4. Известно, что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{x_n}{y_n}=0$. Следует ли отсюда, что а)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{x_n}= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{y_n}=0;$ б) хотя бы одна из последовательностей стремится к нулю?

5. Последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{x_n}=a, a\ne0,$ последовательность $\{y_n\}$ расходится. Доказать, что последовательность $\{x_ny_n\}$ расходится.

6. Доказать, что: а)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\root{n}\of{n}=1;$ б)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle 2^n\over\displaystyle n!}=0;$ в)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle 5^n\over\displaystyle n^n}=0;$ г)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle n\over\displaystyle 2^n}=0;$ д)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle n^2\over\displaystyle 5^n}=0;$ е)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle n\over\displaystyle a_n}=0$ $(a>1);$ ж)  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\displaystyle a^n\over\displaystyle n!}=0$ $(\forall a>0).$

Практическая компонента

1. Найти пределы последовательностей:

$$\begin{tabular}{ll} 1) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\d... ...+{1\over 3}+{1\over{3^2}}+...+{1\over{3^n}}};$\\ \end{tabular}$$

$$\begin{tabular}{ll} 13) $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} {... ...b+b^2+...+b^n} (\vert a\vert<1,\vert b\vert<1).$ \end{tabular}$$

15. Ограниченная последовательность

Знания: понятие ограниченной последовательности, теорема об ограниченности сходящейся последовательности, понятие монотонной последовательности, теорема Вейерштрасса.

Умения: приводить примеры ограниченных последовательностей, монотонных последовательностей (10 примеров), доказывать теорему об ограниченности сходящейся последовательности, теорему Вейерштрасса, владеть логическим анализом теоремы.

Мотивация. 1. Верны ли высказывания:

- монотонная последовательность имеет предел;

- ограниченная последовательность имеет предел;

- сходящаяся последовательность является монотонной;

- сходящаяся последовательность является ограниченной.
Приведите примеры (контрпримеры).

2. Всегда ли неограничена расходящаяся последовательность?

3. Приведите пример неограниченной последовательности, не являющейся бесконечно большой.

Теоретическая компонента

II. 1. Докажите верные высказывания из пункта 1 раздела "Мотивация".

2. Пусть последовательность $\{x_n\}$ ограничена. Существуют ли пределы $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(x_n+y_n),$ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_ny_n,$, если последовательность $\{y_n\}$ а) сходится; б) расходится.

3. Доказать, что если $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ - ограниченные последовательности, то ограничены и последовательности $(x_ny_n),\ (\alpha x_n+\beta y_n),$ где $\alpha ,\beta \in{\bf R}.$

4. Привести пример ограниченных последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ $(y_n\ne0)$ таких, что последовательность $\left({\displaystyle x_n\over\displaystyle y_n}\right)$ неограничена.

Практическая компонента

I. 1. Доказать, что последовательности ограничены:

$$\begin{tabular}{lll} а) $x_n={\displaystyle 2n^2-1\over\disp... ...=n\ln{\displaystyle n+1\over\displaystyle n}.$\\ \end{tabular}$$

2. Доказать, что последовательности не ограничены:

$$\begin{tabular}{lll} а) $x_n=n^2-n;$&б) $x_n={\displaystyle ... ...playstyle n+1\over\displaystyle \log_2(n+1)}.$\\ \end{tabular}$$

3. Доказать, что данная последовательность монотонна, начиная с некоторого номера:

$$\begin{tabular}{lll} а) $x_n={\displaystyle 3n+4\over\displa... ...isplaystyle n!};$&д) $x_n=\ln(n^2+9n)-2\ln n.$\\ \end{tabular}$$

4. Доказать, что существуют пределы последовательностей:

а)  $x_n=1+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2^2}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2^n};$

б)  $x_n=1+1+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2!}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 3!}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle n!};$

в)  $x_n={\displaystyle 1\over\displaystyle n+1}+{\displaystyle 1\over\displaystyle n+2}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2n};$

г)  $x_n={\displaystyle n!\over\displaystyle (2n+1)!!},$ где $(2n+1)!!=1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n+1)$;

д)  $x_n=1+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2^2}+{\displaystyle 1\over\displaystyle 3^2}+...+{\displaystyle 1\over\displaystyle n^2}.$

16. Подпоследовательность

Знания: понятие подпоследовательности как сужение функции натурального аргумента, как композиции функций, теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности, лемма Больцано-Вейерштрасса.

Умения: приводить примеры подпоследовательностей, доказывать теорему о подпоследовательностях сходящейся последовательности, лемму Больцано-Вейерштрасса.

Методы: метод Больцано.

Теоретическая компонента

II. 1. Привести пример последовательности, не имеющей ни одной сходящейся (к числу) подпоследовательности.

2. Привести пример неограниченной последовательности, имеющей сходящуюся (к числу) подпоследовательность.

3. Привести пример последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ таких, что $\forall k\exists n_k\vert y_k=x_{n_k},$ но $\{y_k\}$ не является подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}.$

Практическая компонента

I. 1. Является ли последовательность $\{y_k\}$ подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}$:
x_n=n;$&$1) y_k=k^2+1;$&$2) y_k=k^2-4k+5;$\\ б)~$x_n=2n;$&$1) y_k=2^k;$&$2) y_k=2(k+(-1)^k);$\\ в)~$x_n=1n;$&$1) y_k=1k-k;$&$ 2) y_k=13k-k. $\\ \end{tabular}$

2. Указать сходящуюся подпоследовательность последовательности $\{x_n\}$: а) $x_n=(-1)^n;$ б)  $x_n=\sin{\displaystyle \pi n\over\displaystyle 4};$ в)  $x_n=n^{(-1)^n}.$

17. Частичный предел последовательности

Знания: понятие частичного предела последовательности, теорема о частичных пределах сходящейся последовательности, понятие верхнего и нижнего предела последовательности, необходимое и достаточное условия существования предела.

Умения: доказывать теорему о частичных пределах сходящейся последовательности, приводить примеры верхнего и нижнего пределов последовательности.

Теоретическая компонента

II. 1. Доказать, что всякая монотонная последовательность имеет только один частичный предел.

2. Доказать, что для того, чтобы $a$ (число, $+\infty$, $+\infty$) было частичным пределом последовательности, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности $a$ содержалось бесконечно много членов этой последовательности.

Практическая компонента

1. Найти все частичные пределы последовательности $\{x_n\}:$ а)  $x_n={\displaystyle (-1)^n\over\displaystyle n+1};$ б) $x_n=(-1)^n;$ в)  $x_n={\displaystyle n^2\over\displaystyle n+5};$ г)  $x_n=\sin{\displaystyle \pi n\over\displaystyle 4};$ д)  $x_n={\displaystyle 1-n^3\over\displaystyle n^2+1};$ е)  $x_n=3^{(-1)^n n}.$

18. Определение предела функции в точке на языке окрестностей

Знания: предельная точка и сходящиеся последовательности, понятие проколотой окрестности, определение предела функции в точке на языке окрестностей.

Умения: записывать различные варианты $(\varepsilon ,\delta )$-определений ( $a\in{\bf R},\ L\in{\bf R}\land a\in{\bf R};$ $L=+\infty\land a=-\infty,\ L\in{\bf R})$

$${\lim\limits_{x\rightarrow a}\,}f(x)=L.$$

Мотивация. 1. Понятие предела - одно из основных фундаментальных понятий математики. На идейном уровне понятие предела отображения определяется так, что достаточная близость элементов в одном множестве при отображении обеспечивает заданную близость элементов в другом множестве. На основе понятия предела определяются понятия непрерывности, равномерной непрерывности, дифференцируемости.

2. История формирования понятия предела в математике.

3. При рассмотрении предела на бесконечности возможна опора на имеющийся опыт, связь с жизнью (процесс остывания нагретого чайника - его температура приближается к комнатной; учащиеся знакомы с горизонтальными асимптотами у некоторых графиков).

4. Серия подводящих задач (предложена А.Г.Мордковичем, А.Е.Мухиным):

1) Пусть $y=2x$.

а) Найдите множество значений $y$, на которое отображается множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству $\vert x-1\vert\le0,5.$

б) Переменная $x$ удовлетворяет неравенству $\vert x-0,5\vert<0,5.$ Следует ли из этого, что для соответствующих значений $y$ верно неравенство $\vert y-1\vert<0,8$?

2) Пусть $y=x^2.$

а) Известно, что $x\in V_{0,5}(1).$ Будут ли соответствующие значения $y$ удовлетворять соотношениям: $y\in V_{9\over4}(1),$ $y\in V_1(1),$ $y\in V_{1\over4}(1)$? Записать при помощи неравенств с модулем и изобразить графики.

б) Пусть $y\in V_{3\over4}(1).$ Найдите на оси $OX$ множество, образом которого будет данная окрестность. Следует ли из того, что $x$ удовлетворяет неравенству $\vert x-1\vert<\delta$, где $\delta =0,5;$ $\delta ={\displaystyle \sqrt 7\over\displaystyle 2}-1;$ $\delta ={\displaystyle {{\sqrt7}\over 2}-1\over\displaystyle 2};$ $\delta =1,$ что соответствующие значения $y\in V_{3\over4}(1)$?

3) Постройте график функции $y=3^x.$ Найдите значение $x$, для которого $3^x=3.$ Для любого $\varepsilon$ $(\varepsilon \in(0;1))$ на оси ординат выделите интервал $(3-\varepsilon ;3+\varepsilon )$ и найдите на оси $OX$ множество, образом которого будет выделенный интервал.

Пусть это будет интервал $(1-\delta _1;1+\delta _2)\subset OX$ и $\delta '=\max\{\delta _1,\delta _2\};$ $\delta =\min\{\delta _1,\delta _2\}.$ Следует ли при выбранных $\varepsilon ,$ $\delta$ и $\delta '$ из неравенства $\vert x-1\vert<\delta$ неравенство $\vert 3^x-3\vert<\varepsilon$ (из неравенства $\vert x-1\vert<\delta '$ неравенство $\vert 3^x-3\vert<\varepsilon$)?

4) Указать наибольшее $\delta$ $(\delta >0)$, при котором для всех точек $x\ne-2$ из $\delta$-окрестности точки $x=-2$ выполняется неравенство $\vert f(x)-(-4)\vert<\varepsilon$ для $\varepsilon =0,1;$ 0,01; 0,001, если а) $f(x)=3x+2$; б)  $f(x)={\displaystyle x^2-4\over\displaystyle x+2}.$

Теоретическая компонента

I. 1. Записать утверждение в предельной форме и изобразить эскиз графика функции, удовлетворяющей данному утверждению:

а) $(\forall\varepsilon >0)\ (\exists\delta >0)\ (\forall x\in D(f))\ \ 0<\vert x\vert<\delta \Longrightarrow \vert f(x)+1\vert<\varepsilon ;$

б) $(\forall\varepsilon >0)\ (\exists\delta >0)\ (\forall x\in D(f))\ \ 0<\vert x+1\vert<\delta \Longrightarrow \vert f(x)-1\vert<\varepsilon ;$

в) $(\forall\varepsilon >0)\ (\exists\delta >0)\ (\forall x\in D(f))\ \ 0<\vert x\vert<\delta \Longrightarrow \vert f(x)\vert<\varepsilon ;$

г) $(\forall\varepsilon >0)\ (\exists M>0)\ (\forall x\in D(f))\ \ \vert x\vert>M\Longrightarrow \vert f(x)\vert<\varepsilon ;$

д) $(\forall N>0)\ (\exists M>0)\ (\forall x\in D(f))\ \ \vert x\vert>M\Longrightarrow \vert f(x)\vert>N.$

II. 2. Определить, при каких $\delta >0$ из неравенства $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ следует неравенство $\vert f(x)-a\vert<\varepsilon ,$ если

а)  $f(x)=x^2,\ x_0=2,\ a=4,\ \varepsilon =0,001;$

б)  $f(x)={\displaystyle x^2-4x+3\over\displaystyle x^2-2x-3},\ x_0=3,\ a={\displaystyle 1\over\displaystyle 2},\ \varepsilon =0,01;$

в)  $f(x)=\sin x,\ x_0={\displaystyle \pi\over\displaystyle 2},\ a=1,\ \varepsilon =0,01;$

г)  $f(x)=\mathop{\rm sign\,\,}\nolimits x,\ x_0=0,\ a=1,\ \varepsilon =1,5.$

3. Определить, при каких $\delta >0$ из неравенства $\vert x-1\vert<\delta$ следует неравенство: а) $\vert\lg x\vert<2;$ б) $\vert\lg x\vert<1;$ в) $\vert\lg x\vert<0,1;$ г) $\vert\lg x\vert<0,01.$

4. При каких $\delta$ из неравенства $\vert x\vert>\delta$ следует неравенство ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1+x^2}<\varepsilon$, где $\varepsilon >0$?

5. Пользуясь определением предела функции в точке, докажите следующие утверждения:

1) ${\lim\limits_{x\rightarrow 1}\,}(2x+3)\ne 6;$	2) ${\lim\limits_{x\rightarrow -1}\,}{\displaystyle 2x+1\over\displaystyle x+3}=-{\displaystyle 1\over\displaystyle 2};$	3) ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}{\displaystyle x^2-9\over\displaystyle x-3}=6;$
4) ${\lim\limits_{x\rightarrow 1}\,}{\displaystyle x^2-4x+1\over\displaystyle x-2}=2;$	5) ${\lim\limits_{x\rightarrow 2}\,}(2x-5)=-1;$	6) ${\lim\limits_{x\rightarrow 9}\,}\sqrt x=3;$
7) ${\lim\limits_{x\rightarrow 8}\,}\root{3}\of x=2;$	8) ${\lim\limits_{x\rightarrow -3}\,}x^2=9;$	9) ${\lim\limits_{x\rightarrow 2}\,}x^3=8;$
10) ${\lim\limits_{x\rightarrow 1}\,}{\displaystyle 5x-1\over\displaystyle 3x+2}={\displaystyle 3\over\displaystyle 4};$	11) ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle 5x-1\over\displaystyle 3x+2}={\displaystyle 5\over\displaystyle 3};$	12) ${\lim\limits_{x\rightarrow -{2\over3}}\,}{\displaystyle 5x-1\over\displaystyle 3x+2}=\infty;$
13) ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle x^2-x+1\over\displaystyle x^2+4}=1.$

19. Односторонние пределы. Предел функции на языке последовательностей

Знания: понятие односторонних пределов функции в точке, предел функции на языке последовательностей, эквивалентность двух определений предела функции, достаточное условие несуществования предела функции, теоремы о пределе функции (о единственности предела, о промежуточной переменной, о пределе суммы, произведения и частного функций), замечательные пределы.

Умения: приводить примеры односторонних пределов функций в точке (10 примеров), доказывать эквивалентность определения предела функции на языке окрестностей и последовательностей, доказывать теоремы о пределе функции.

Методы: метод "от противного".

Мотивация. Серия задач. 1. На рисунке изображены графики функций. Для каждой из них установить, имеет ли она предел при $x\rightarrow 2$ и, если имеет, то чему он равен:

2. Привести примеры функций (задать аналитически и построить график), для которых в некоторой точке:

а) функция определена в точке, но не имеет предела в этой точке;

б) не существует предела и функция не определена в точке;

в) не существует предела и функция в точке не определена, хотя функция определена в проколотой окрестности точки;

г) существует и предел, и значение, но они между собой не равны.

Теоретическая компонента

II. 1. Пользуясь определением предела в форме Гейне, доказать, что функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке.

2. Верно ли, что предел функции, принимающей только положительные значения, может быть только положительным числом?

3. Существует ли функция $f(x)$, которая не имеет предела ни в одной точке оси $OX$ и имеет предел на бесконечности?

4. Даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, причем $f(x)\ge g(x)$ и ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}g(x)=+\infty.$ Доказать, что ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}f(x)=+\infty.$

5. Доказать, что функция, имеющая предел в точке $x_0$, ограничена в некоторой окрестности точки $x_0$ и сохраняет знак предела функции в точке $x_0$ во всех точках некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ $({\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}f(x)\ne0).$

6. Найти предел функции $f(x)={\displaystyle x^2-16\over\displaystyle x^2-4x}$ в точке $x=4$, воспользовавшись определением предела функции на языке последовательностей (на $(\varepsilon ,\delta )$-языке).

7. Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют предела в точке $x_0.$ Следует ли отсюда, что $f(x)+g(x)$ и $f(x)g(x)$ также не имеют предела в этой точке?

II. 8. Может ли существовать предел ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}{\displaystyle f(x)\over\displaystyle g(x)},$ если $g(x_0)=0,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}f(x)={\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}g(x)=0$?

9. Доказать, что если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к точке $x_0,$ последовательность $\{f(x_n)\}$ сходится, то ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}f(x)$ существует.

10. Доказать, что если из любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к точке $x_0$, можно выделить подпоследовательность $\{x_{n_k}\},$ для которой $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}f(x_{n_k})=a$, то ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,}f(x)=a.$

11. Сформулировать утверждения (на $\varepsilon -\delta$-языке) и привести примеры: а)  ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}\,}f(x)=a;$ б)  ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}\,}f(x)=\infty;$ в)  ${\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\,}f(x)=+\infty;$ г)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}f(x)=-\infty;$ д)  ${\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\,}f(x)\ne+\infty;$ е)  ${\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}\,}f(x)\ne a;$ ж)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}f(x)\ne a.$

12. Пусть $f(x)=x^2\cos{\displaystyle \pi\over\displaystyle x};$ $g(x)=\mathop{\rm sign\,\,}\nolimits ^2y.$ Показать, что ${\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,}f(x)=0,$ $\lim\limits_{y\rightarrow 0}=1,$ но ${\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,}g(f(x))$ не существует. Почему не применима теорема о пределе сложной функции?

Практическая компонента

I. 1. Вычислите предел, если известно, что ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}f(x)=-2,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}g(x)=5$: а)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}(4f(x)-2g(x));$ б)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}f^2(x);$ в)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}{\displaystyle 4f(x)\over\displaystyle g(x)-1};$ г)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}\left({\displaystyle f(x)\over\displaystyle g(x)}+2g^3(x)\right).$

2. Найдите пределы функций:

1)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle 4\over\displaystyle \pi}\arctg{\displaystyle x\over\displaystyle x+3};$	2)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle 2x^2+1\over\displaystyle 3x^3+6};$
3)  ${\lim\limits_{x\rightarrow a}\,}{\displaystyle x^3-3x+2\over\displaystyle x^4-4x+3}$ $(a=0;1;\infty)$;	4)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,}{\displaystyle \sin 5x-\sin 3x\over\displaystyle \sin x};$
5)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \pi}\,}{\displaystyle \tg x-\tg\pi\over\displaystyle x-\pi};$	6)  ${\lim\limits_{x\rightarrow {{\pi}\over{4}}}\,}{\displaystyle \sqrt2\cos x-1\over\displaystyle 1-\tg^2x};$

7)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,}{\displaystyle \sqrt{x^2+4}-2\over\displaystyle x};$	8)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 1}\,}{\displaystyle 2x^3-2\over\displaystyle x^2-1};$
9)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle \sqrt{1-2x}-\root3\of{1-3x}\over\displaystyle x};$	10)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+1}\over\displaystyle x-1};$
11)  ${\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,}\root{x}\of{1-2x};$	12)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}\left(1+{\displaystyle 3\over\displaystyle x^2-2}\right)^{x^2-2};$
13)  ${\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\,}{\displaystyle \root{3}\of{8x+1}+1\over\displaystyle \root{3}\of{x+5}}.$

Прикладная компонента

1. Дан правильный треугольник со стороной $a$. Из трех его высот строится новый правильный треугольник и так $n$ раз. Найдите предел суммы всех площадей треугольников при $n\rightarrow \infty.$

2. В круг радиуса $R$ вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг опять вписан квадрат и так $n$ раз. Найдите предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов при $n\rightarrow \infty.$

Деятельностная компонента

I. 1. Построить график функции и найти предел при $x\rightarrow x_0$, если он существует:
а) $y=x+1,$ $x_0=1;$ б)  $y={\displaystyle x^2-1\over\displaystyle x-1},$ $x_0=1;$ в)  $y=\cases{{\displaystyle x^2-1\over\displaystyle x-1},&$x\ne 1;$\cr 1,&$x=1;$\cr}$ $x_0=1;$ г)  $y={\displaystyle \vert x\vert\over\displaystyle x},$ $x_0=5$ $(x_0=-5;\ 0).$

2. Нарисовать график функции в окрестности точки $x_0,$ если:
а) $x_0=1,$ $f(1)=2,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow 1}\,}f(x)=3;$
б) $x_0=3,$ $f(3)=2,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow 3}\,}f(x)$ не существует;
в) $x_0=2,$ $f(2)$ не существует, ${\lim\limits_{x\rightarrow 2}\,}f(x)=3;$
г) $x_0=2,$ $f(2)=0,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow 2-0}\,}f(x)=+\infty,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow 2+0}\,}f(x)=0;$
д) $x_0=0,$ $f(0)$ не существует, ${\lim\limits_{x\rightarrow -0}\,}f(x)={\lim\limits_{x\rightarrow +0}\,}f(x)=1;$
е)  $x_0=\pm\infty,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,}f(x)=-1,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\,}f(x)=0;$
ж) $x_0=-2,$ $f(-2)=2,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow -2-0}\,}f(x)=0,$ ${\lim\limits_{x\rightarrow -2+0}\,}f(x)=-\infty.$

20. Непрерывность функции

Знания: определение непрерывности функции в точке и на множестве, непрерывность элементарных функций, теорема о непрерывности сложной функции, теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями (сумма, произведение, частное).

Умения: доказывать непрерывность элементарных функций, доказывать теорему о непрерывности сложной функции, теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями.

Мотивация. В задачах вопроса 19 разделов "Мотивация", "Деятельностная компонента" определить, являются ли функции непрерывными.

Теоретическая компонента

I. 1. Сформулируйте определение непрерывной функции на трех "языках": а) на языке пределов; б) на " $\varepsilon -\delta$"-языке; в) с использованием приращения функции. Докажите их эквивалентность.

II. 2. Что можно сказать о непрерывности в точке $x_0$ функций $f(x)+g(x),$ $f(x)-g(x),$ $f(x)\cdot g(x),$ если

а) функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, а $g(x)$ разрывна в точке $x_0$;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ разрывны в точке $x_0.$
Привести примеры.

3. Построить пример функций $f(x)$ и $g(x)$ таких, что $f(g(x))$ непрерывна в точке $x_0$, а $g(f(x))$ разрывна в точке $x_0.$

4. Пусть $F(x)=f(g(x))$. Будет ли непрерывна функция $F(x)$ в точке $x_0,$ если $g(x)$ непрерывна в точке $x_0$, а функция $f(x)$ разрывна в точке $g(x_0)$?

5. Доказать, что функция Римана $f(x)=\cases{ {\displaystyle 1\over\displaystyle n},&\ {\rm если}\ $x={\displaystyle m\over\displaystyle n},$\cr 0,&\ {\rm если}\ $x\in{\bf I};$\cr}$ где $m,n$ - взаимно простые числа, разрывна при каждом рациональном значении $x$ и непрерывна при каждом иррациональном значении $x$.

6. Доказать, что функция Дирихле $D(x)=\cases{ 1,& $x\in{\bf Q};$\cr 0,&$x\in{\bf I};$\cr}$ разрывна в каждой точке. Исследовать на непрерывность функцию $f(x)=x\cdot D(x).$

7. Привести пример функции, непрерывной только а) в одной точке; б) в двух (в $n$) точках.

8. Доказать непрерывность функций в точке на " $\varepsilon -\delta$" языке: а) $f(x)=3x+2,$ $x_0=5;$ б) $f(x)=x^3,$ $x_0=-4;$ в) $f(x)=\sqrt x,$ $x_0=2;$ г)  $f(x)=\sin(2x-3),$ $x=x_0.$

9. Доказать непрерывность функции в точке с использованием приращения функции: а)  $f(x)={\displaystyle x\over\displaystyle 1+x^2}$ на ${\bf R}$; б)  $f(x)=\root3\of x$ на ${\bf R}$; в) $f(x)=2^x$ на ${\bf R}$; г)  $f(x)=\arcsin x$ на $(-1;1)$.

10. Доказать непрерывность функции на языке пределов:
а)  $y={\displaystyle x^3+x-1\over\displaystyle 2x^2+3x-5}$ на $x\in(2;3);$ б)  $y={\displaystyle x^2\cos x\over\displaystyle 1+\sin^2x}$ на $x\in{\bf R};$ в) $y=\cos(ax+b)$ на $x\in{\bf R}.$

Практическая компонента

I. 1. Исследовать функции на непрерывность:
а)  $f(x)=\cases{ {\displaystyle \vert x\vert\over\displaystyle x},& $x\ne0,$\cr 0,&$x=0,$\cr }$ б)  $f(x)={\displaystyle x^2-1\over\displaystyle x-1};$ в)  $f(x)=\cases{ \lg x,& $x>0,$\cr \sqrt{-x},&$x\le0.$\cr }$

2. Установить, существует или нет значение $a$ $(a$ и $b)$, при котором функция $f$ непрерывна в точке $x_0$:

а)  $f(x)= \cases{ {\displaystyle 1+x\over\displaystyle 1+x^3},& $x\ne-1,$\cr a,&$x=-1;$\cr }$ $x_0=-1;$ б)  $f(x)= \cases{ ax^2+1,& $x>0,$\cr -x,&$x\le 0;$\cr }$ $x_0=0;$
в)  $f(x)=\cases{ \cos x,& $x\le 0,$\cr a(x-1),&$x>0;$\cr }$ $x_0=0;$ г)  $f(x)=\cases{{\displaystyle (x-1)^2\over\displaystyle x^2-1},&$\vert x\vert\ne1;$\cr a,&$x=-1;$\cr b,&$x=1;$\cr}$
д)  $f(x)=\cases{{\displaystyle x\cos{x\over 2}\over\displaystyle \sin x},& $x\in\le... ...over\displaystyle 2}\right],\ x\ne0,\ x\ne\pi;$\cr a,&$x=0;$\cr b,&$x=\pi.$\cr}$

Деятельностная компонента

1. Найти точки разрыва функции, установить их род, найти скачки функции в соответствующих точках разрыва I рода, построить график функции:

1)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x^2-4};$ 2)  $y={\displaystyle x\over\displaystyle x^2-3x-4};$ 3)  $y={\displaystyle x(x-1)^2\over\displaystyle (x+1)^2(x^2-2)};$
4)  $y={\displaystyle \vert x-1\vert\over\displaystyle x^2-x^3};$ 5)  $y=\cases{ {\displaystyle 1\over\displaystyle x-1},& $x<0,$\cr (x+1)^2,&$0\le x<1,$\cr 1-x,&$2<x$,\cr }$ 6)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle x-[x]};$
7)  $y={\displaystyle (x+1)^2-(x-1)^2\over\displaystyle x^2-x};$ 8)  $y={\displaystyle x\over\displaystyle \sin x};$ 9)  $y={\displaystyle 1\over\displaystyle \cos x};$
10)  $y=e^{{1}\over{x-2}}.$

2. Приведите пример функции, имеющей 3 вертикальные асимптоты и горизональную асимптоту $y=2.$

Прикладная компонента

1. Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку со сторонами $x=10$ см. В каких пределах допустимо изменять сторону пластинки $x$, чтобы ее площадь отличалась от проектной площади на $y_0=100$ см$^2$ не более чем на $\pm0,01$ см$^2$?

2. Пусть требуется произвести измерение площади и периметра квадратной пластинки, длина стороны которой равна $a$, с заданной степенью точности $\varepsilon$ $(\varepsilon >0)$. С какой точностью требуется при этом измерять длину стороны пластинки?

3. Имеется участок земли в форме прямоугольника со сторонами длин 15 и $x$. С какой степенью точности нужно измерить сторону $x$ прямоугольника, чтобы вычислить с точностью до 0,01 его а) периметр; б) площадь.

4. Демидович Б.П. Сборник задач. М.: Наука, 1990. № 733. С. 83.

21. Свойства непрерывных функций

Знания: теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса об ограниченности функций. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора.

Умения: доказывать данные теоремы (несколько способов), проводить логический анализ теоремы, геометрическая иллюстрация теорем, приводить частные примеры и контрпримеры.

Методы: метод Больцано, метод введения вспомогательной функции.

Теоретическая компонента

1. Доказать, что если функция определена и непрерывна на отрезке, то множество ее значений - отрезок.

2. Привести пример разрывной функции, определенной на отрезке и имеющей в качестве множества значений отрезок.

3. Привести пример функции, непрерывной на интервале $(a;b)$, множеством значений которой является а) интервал; б) полуотрезок; в) отрезок; г) полупрямая.

4. Доказать, что непрерывная на отрезке функция, не имеющая на этом отрезке ни одного внутреннего экстремума, монотонна. Привести пример, показывающий, что для разрывных функций это неверно.

5. Доказать, что если функция определена на отрезке $[a;b]$ и на этом отрезке принимает каждое промежуточное значение только 1 раз, то она непрерывна на $[a;b].$

6. Функция $f$ непрерывна на интервале $(a;b)$; $m=\inf\limits_{(a;b)}f,$ $M=\mathop{\rm sup}\limits_{(a;b)}f.$ Доказать, что для любого $y\in(m;M)$ существует $x\in(a;b)$ такое, что $f(x)=y.$

7. Доказать, что функция $f$, удовлетворяющая условию Гельдера-Липшица, равномерно непрерывна на множестве $X$:

$$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert\le k\vert x_1-x_2\vert^d\ \ (0<d\le1,\ x_1,x_2\in X).$$

Прикладная компонента

1. Доказать, что уравнения $y=x^5-3x=1$ а) имеет хотя бы один корень на интервале $(1;2)$; б) имеет не менее трех корней на ${\bf R}.$

2. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Доказать, что если многочлен четной степени принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту старшего члена, то он имеет не более двух действительных корней.

4. Будет ли ограниченной функция $y=5x^2\arctg{\displaystyle x\over\displaystyle x+1}+(x^2-x+2)\sin\sqrt{3+x^2},$ рассматриваемая на отрезке $[0;100]$? Существуют ли такие значения, при которых функция принимает наибольшее (наименьшее) значение?

5. Построить логическое отрицание определения равномерной непрерывности функции $f$ на множестве $X\subset{\bf R}.$ Доказать отсутствие равномерной непрерывности функции $f(x)={\displaystyle 1\over\displaystyle x}$ на промежутке $]0;a].$

Литература

1.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970.

2.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. 2000. 912 c.

3.

Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981.

4.

Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Математический анализ. Введение в анализ. М.: Просвещение, 1983.

5.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Высшая школа, 1988.

6.

Уваренков И.М., Маллер М.З. Введение в анализ. М.: Учпедгиз, 1951.

7.

Смирнов Е.И. и др. Учебно-методическое руководство для самостоятельной работы студентов по теме "Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одного действительного переменного". Ярославль: ЯГПИ, 1987.

8.

Смирнов Е.И., Ястребов А.В. Методические указания к изучению темы "Множества, операции. Действительные числа". Ярославль: ЯГПИ, 1983.

9.

Смирнов Е.И., Ястребов А.В. Методические указания к изучению темы "Функции". Ярославль: ЯГПИ, 1984.

10.

Смирнов Е.И., Ястребов А.В. Методические указания к изучению темы "Отношения порядка. Последовательность. Предел последовательности". Ярославль: ЯГПИ, 1987.

11.

Смирнов Е.И., Ястребов А.В. Методические указания к изучению темы "Подпоследовательность. Лемма Больцано". Ярославль: ЯГПИ, 1989.

12.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. М.: Просвещение, 1971.

13.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.

14.

Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учебное пособие. М.: Наука, 1984.

Далее: §4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §2. Фрейм исходной базы