Далее: Литература Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §3. Фрейм аннотированной учебной

§4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела учеб. предм.	Наименование лабораторной работы
1	1	1. Компьютерный контроль $({\rm Lim})$ по теме "Предел функции" (2 часа) 2. Нахождение корней трансцендентных уравнений (графический калькулятор) (2 часа)
2	2	1. Компьютерный контроль $({\rm Dif})$ по теме "Производная" (2 часа) 2. Нахождение ${\rm min N(\varepsilon )}$ для числовой последовательности $x_n$ (педагогический программный продукт) (2 часа) 3. Нахождение корней многочлена методом хорд (графический калькулятор) (2 часа)

Таблица 9

График учебного процесса

Рефераты (I семестр)

1. Построение графиков функций в полярной системе координат

1.

Н.А.Вирченко, И.И.Ляшко, К.И.Швецов. Графики функций: Справочник. Киев: Наук. думка, 1979.

2.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 2001.

2. Десять исторических задач, приводящих к понятию производной

1.

А.П.Юшкевич. Концепции вычисления бесконечно малых Ньютона и Лейбница // ИМИ. Вып. 23. 1978.

2.

Д.Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. М.: Мир, 1978.

3. Функциональные уравнения основных элементарных функций

1.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 2001.

2.

В.П.Одинец, А.И.Поволоцкий. Построение элементарных функций. СПб.: Образование, 1995.

4. Основные элементарные функции в природе и технике

1.

Н.Я.Виленкин. Функции в природе и технике. Книга для внеклассного чтения IX-X классов. М.: Просвещение, 1978.

2.

С.Г.Крейн, В.Н.Ушаков. Математический анализ элементарных функций. М.: Наука, 1966.

3.

Ф.Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.-Л., 1987.

5. Системы координат на плоскости и в пространстве

1.

Л.С.Понтрягин. Метод координат. М.: Наука, 1977.

2.

М.Я.Выготский. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1973.

3.

И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат. М., 1973.

6. Трансцендентные числа в анализе

1.

В.А.Зорич. Математический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1983.

2.

Ф.Рудно. Квадратура круга. М.-Л., 1934.

3.

А.О.Гельфонд. Решение уравнение в целых числах. М.-Л., 1952.

4.

А.Я.Хинчин. Три жемчужины теории чисел. М., 1979.

7. Цепные дроби и их приложения

1.

А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М.: Наука, 1978.

2.

И.К.Андронов, А.К.Окунев. Арифметика рациональных чисел. М.: Просвещение, 1971.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Доказать, что последовательность, задаваемая рекуррентным соотношением: $x_0=1,$ $x_n={\displaystyle 1\over\displaystyle 3}x_{n-1}$, сходится.

2. Найти пределы последовательностей:

а) $x_n={\displaystyle n^k\over\displaystyle a^n},$ $k\in{\bf N}, a>1;$

б) $x_n={\displaystyle a^n\over\displaystyle n!}.$

3. Будут ли следующие множества ограничены:

$$а) \{\sin n\}_{n\in{\bf N}}, \ б) \left\{{\displaystyle... ...\ в) \left\{{\displaystyle n!\over\displaystyle 2^n}\right\}.$$

4. Будут ли семейства функций равномерно ограниченными:

$$а) \left\{f_\alpha (x)=\sin\alpha x, \alpha \in{\bf R}, x\in{\bf R}\right\};$$

$$б) \left\{f_\alpha (x)=e^{\alpha x}, \alpha \in{\bf R}, x\in[0,1]\right\};$$

$$в) \left\{f_\alpha (x)=e^{\alpha x}, \alpha \in[-1,1], x\in[0,1]\right\}.$$

5. Пусть $\{x_n\}$ ограниченная последовательность. Следует ли отсюда ее сходимость?

6. Пусть дано бесконечное число последовательностей:

$x_1^{(1)},x_2^{(1)},...,x_n^{(1)},...$	- I последовательность,
$x_1^{(2)},x_2^{(2)},...,x_n^{(2)},...$	- II последовательность,
................
$x_1^{(k)},x_2^{(k)},...,x_n^{(k)},...$	- $k$ последовательность.

Известно, что для любого $k\in{\bf N}$ последовательность $\left\{x_i^{(k)}\right\}^\infty_{i=1}$ сходится к нулю и для любого $n\in{\bf N}$ последовательность $(x_n^{(j)})^\infty_{j=1}$ сходится к нулю. Что можно сказать о сходимости "диагональной" последовательности $(x_i^{(i)})^\infty_{i=1}$?

7. Описать все замкнутые, выпуклые множества на прямой.

8. Пусть $F_\alpha$ - произвольное семейство замкнутых, выпуклых множеств на прямой. Доказать: если любые два множества семейства $F_\alpha$ пересекаются по непустому множеству, то все множества имеют общую точку.

9. Найти точные нижние и верхние грани следующих множеств:

$$а) \left\{{\displaystyle n^4\over\displaystyle n^4+1}\right... ...aystyle (-1)^n-1\over\displaystyle n^2}\right\}_{n\in{\bf N}}.$$

Пусть $A$ - некоторое подмножество метрического пространства $X$. Через $\rho(x,y)$ будем обозначать расстояние между элементами $x\in X$ и $y\in X.$ Наилучшим приближением элемента $x\in X$ элементами множества $A$ называется число

$$e(x;A)=\inf\limits_{a\in A}\rho(x,a).$$

Элемент $a_0$, на котором достигается точная нижняя грань, называется элементом наилучшего приближения.

Геометрически наилучшее приближение элемента $x$ есть расстояние от $x$ до множества $A$, а элемент наилучшего приближения - точка $a_0\in A$, ближайшая к $X$.

10. Пусть $A$ - множество рациональных чисел из $[0,1]$, $x$ - иррациональное число, принадлежащее этому отрезку. Найти наилучшее приближение $e(x,A).$

11. Докажите, что

а) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1\cdot 2}+{\displaystyle 1\over\displaystyle... ...r\displaystyle 3\cdot 4}+...+ {\displaystyle 1\over\displaystyle n(n+1)}+...=1;$

б) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3}+{\displaystyle 1\over\displ... ...yle 1\over\displaystyle n(n+1)(n+2)}+...={\displaystyle 1\over\displaystyle 4}.$

12. Найдите сумму ряда:

${\displaystyle 1\over\displaystyle 2!}+{\displaystyle 2\over\displaystyle 3!}+{... ...tyle 3\over\displaystyle 4!}+...+{\displaystyle n\over\displaystyle (n+1)!}+...$

Примерный перечень вопросов к экзамену (интегративные учебные элементы)

1. Мощность множества. Шкала мощностей (упорядочение, неограниченность сверху, линейность). Счетные множества. Несчетность континуума.

Построение шкалы мощностей с помощью факторизации по отношению эквивалентности. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность интервала и всей прямой. Теорема Кантора о высших мощностях. Счетность множества рациональных чисел. Мощности множеств ${\bf N},$ ${\bf Z},$ ${\bf R},$ ${\bf A},$ ${\bf I},$ ${\bf T}.$

2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел. Три теории действительных чисел.

Основные группы аксиом: сложение, умножение, порядок, связи, аксиома непрерывности. Лемма Кантора о вложенных отрезках. Натуральные числа, метод математической индукции. Подклассы ${\bf R}$ (натуральные ${\bf N},$ целые ${\bf Z},$ рациональные ${\bf Q}$, иррациональные ${\bf I},$ алгебраические ${\bf A}$, трансцендентные числа), их мощности. Теории действительных чисел Г.Кантора, Р.Дедекинда, К.Вейерштрасса (исторический анализ, различие и взаимосвязи).

3. Принцип Архимеда. Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления и ЭВМ.

Формулировка и геометрическая трактовка принципа Архимеда. Приложение принципа Архимеда. Плотность множества ${\bf Q}$ в ${\bf R}$. Рациональное приближение действительных чисел. Позиционная система счисления, взаимный переход из одной системы счисления в другую. Запись информации в память ЭВМ, понятие бита и байта информации.

4. Отображения множеств, типы и классификация. Операции над отображениями $(\pm,\cdot,/,\circ,()^{-1},\vert).$

Отображение множеств (эволюция понятий, современная трактовка понятия функции). Типы отображений: инъекция, сюръекция, биекция. Классификация отображений: $f:{\bf N}\rightarrow {\bf R},$ $f:{\bf R}\rightarrow {\bf R},$ $f:{\bf C}\rightarrow {\bf C},$ $f:{\bf R}^n\rightarrow {\bf R}^m,$ $f:{\bf R}\rightarrow {\bf R}^n.$ Операции над отображениями: арифметические, композиции, обращение, сужение, продолжение. Построить непрерывное продолжение показательной функции $exp(x)$ с ${\bf Q}$ на ${\bf R}$ (провести доказательство непрерывности и теоремы сложения).

5. Основные элементарные функции, множество элементарных функций. Классификация элементарных функций. Неэлементарные функции.

Основные элементарные функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические; графики и основные свойства. Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова, полярная, параметрическая, задание элементарных функций, взаимопереход различных систем координат. Мера угла, построение тригонометрических функций (вычисление площади сектора или длины дуги). Многочлены, рациональные, иррациональные, алгебраические, трансцендентные функции; примеры. Неэлементарные функции; примеры.

6. Элементарные функции в комплексной плоскости.

Основные элементарные функции в комплексной области: $f(z)={\displaystyle az+b\over\displaystyle cz+d},$ $f(z)=z^n,$ $f(z)=e^z,$ $f(z)={\rm Ln} z,$ $f(z)=\sin z,$ различные подходы к определению, идея аналитического продолжения, свойства. Доказательство формулы $e^{iz}=\cos z+i\sin z.$

7. Аксиоматическое представление основных элементарных функций. Формула и ряд Тейлора.

Линейное, квадратичное, полиномиальное приближение основных элементарных функций. Формулы Лагранжа и Тейлора, ряд Тейлора. Остаточные члены в форме Пеано и Лагранжа. Разложение основных элементарных функций: $e^x,$ $\sin x,$ $\cos x,$ $(1+x)^m,$ $\ln(1+x).$ Единственность разложения в ряд Тейлора.

8. Предел функции в точке $a$. Пространство ${\rm Lim}_a.$ Односторонние и бесконечные пределы. Признаки существования предела. Замечательные пределы.

Предел функции в точке (окрестностное определение), $(\varepsilon -\delta )$-язык, язык последовательностей (по Гейне). Эквивалентность $(\varepsilon -de)$-языка и языка Гейне. Предел последовательности. Алгебраическая структура $(\pm,\cdot,/)$ и структура отношения порядка $\le$ на множестве ${\rm Lim}_a.$ Замечательные пределы, число $e$. Признаки существования предела.

9. Топология числовой прямой. Окрестность точки в ${\bf R}.$ Строение открытых и замкнутых множеств в ${\bf R}.$

Окрестность точки в $\bar{\bf R}.$ Отделимость окрестностей. Классификация точек: предельная, внутренняя и граничные точки множества. Строение открытых и замкнутых множеств в ${\bf R}.$ Методы решения неравенств, содержащих модуль.

10. Метрические пространства $({\bf R}^n,$ $C_{[a;b]},$ $C^1_{]a;b[},$ $c^\infty_{]a;b[}$). Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Метод последовательных приближений.

Метрические пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Покоординатная сходимость, равномерная сходимость. интегральная сходимость; примеры. Теорема Банаха. Сжимающие операторы в ${\bf R},$ приложение к приближенному решению уравнения $F(x)=0.$ Вычисление $\sqrt a$ методом последовательных приближений.

11. Непрерывность функции в точке метрического пространства. Алгебраическая структура и полнота пространства $C_{[a;b]}.$

Непрерывность функции в метрическом пространстве $f:{\bf R}\rightarrow {\bf R},$ $f:{\bf R}^n\rightarrow {\bf R},$ $f:{\bf R}\rightarrow {\bf R}^n,$ $f:{\bf C}\rightarrow {\bf C}.$ Непрерывность основных элементарных функций. Алгебраическая структура $(\pm,\cdot,/)$ и полнота пространства $C+{[a;b]}$ в равномерной метрике. Использование непрерывности при нахождении предела функции.

12. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод Больцано.

Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса, непрерывность композиции и обращение (доказательство теоремы Больцано-Коши методом Больцано). Доказательство включения $C^1_{]a;b[}\subset C_{]a;b[}.$ Примеры непрерывных, но не дифференцируемых функций с доказательством.

Далее: Литература Вверх: Дидактический модуль "Введение в Назад: §3. Фрейм аннотированной учебной