Далее: Об этом документе ... Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 3. Производная и ее

4. Интегрирование

Вопросы теории. Понятие неопределенного интеграла. Свойства первообразных функции. Замена переменной и интегрирование по частям. Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие и свойства определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.

Образцы решения задач
Задача 1. Выполните интегрирование:

$$1) \int \frac{x^2+1}{x}dx,\;\; 2) \int e^{\sin x}\cos x dx,\;\; 3) \int x \ln x dx.$$

Решение. Первый интеграл вычисляется непосредственно:

$$\int \frac{x^2+1}{x}dx=\int \left( x+\frac{1}{x}\right) dx = \int x dx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}+\ln \vert x\vert + C.$$

Для вычисления второго интеграла сделаем замену переменной интегрирования: $t=\sin x,$ $dt=\cos x dx$.

$$\int e^{\sin x}\cos x dx=\int e^tdt=e^t+C=e^{\sin t}+C.$$

В третьем интеграле применим формулу интегрирования по частям, выбрав $u(x)=\ln x,$ $dv(x)=xdx,$ откуда $du(x)=dx/x,$ $v(x)=x^2/2.$

$$\int x \ln x dx=\frac{x^2}{2}\ln x -\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}... ...frac{x^2}{2}\ln x -\frac{1}{2}\int x dx= \frac{x^2}{2}\ln x -\frac{x^2}{4}+C.$$

Задача 2. Выполните интегрирование:

$$1) \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2},\;\; 2) \int \limits_{\pi/3}^{\pi/2} \sin^2x \cos x dx,\;\; 3) \int \limits_{0}^{\pi} x\sin x dx.$$

Решение. Первый интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона - Лейбница:

$$\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x\vert _{0}^{1}= \frac{\pi}{4}.$$

Во втором интеграле сделаем замену переменной интегрирования $y=\sin x,$ $dy =\cos x dx,$ $y(\pi/3)=\sqrt{3}/2,$ $y(\pi/2)=1.$

$$\int \limits_{\pi/3}^{\pi/2} \sin^2x \cos x dx = \int \limits_{\... ...t\vert _{\sqrt{3}/2}^1= \frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{8-3\sqrt{3}}{24}.$$

Третий интеграл вычислим "по частям", выбрав $u(x)=x,$ $dv(x)=\sin x dx,$ откуда $du(x)=dx,$ $v(x)=-\cos x.$

$$\int \limits_{0}^{\pi}x\sin x dx= -x\cos x\vert _{0}^{\pi}+\int \limits_{0}^{\pi} \cos x dx= \pi+\sin x\vert _{0}^{\pi}=\pi.$$

Задачи для самостоятельного решения
1. Укажите две различные первообразные функции $y=f(x)$:

$$1)\; y=x^2,\;\;2)\; y=\sin x,\;\;3)\;y=\sqrt {x} +1.$$

2. Выполните неопределенное интегрирование (непосредственно):

$$1) \int (x^2-x) dx,\; 6) \int \frac{dx}{\sin ^2 x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 11) \int \frac{xdx}{x^2+1},\;\;\;\;16) \int \frac{x^4-5}{x}dx,$$

$$2) \int (x+2) dx,\;\; 7) \int (e^x-e^{-x}) dx,\; 12) \int \frac{dx}{x^2+1},\;\;\;\; 17) \int \frac{dx}{x^2-1},\;\;\;\;$$

$$3) \int \frac{dx}{\sqrt{x}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 8) \int 2^x\... ...\;\;\; 13) \int \frac{dx}{\cos ^2 3x},\;\;\;18) \int \frac{xdx}{1-x^2},\;\;\;\;$$

$$4) \int x^{-2/3}dx,\;\;\;\;\; 9) \int \sin 2x dx,\;\;\;\;\;\;\; 14) \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\;19) \int \frac{dx}{\sin ^2 x},\;\;\;\;\;$$

$$5) \int \frac{dx}{x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 10) \int \cos 3x d... ...; 15) \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}},\;20) \int \frac{3^x}{2^{2x}}dx.\;\;\;\;\;$$

3. Выполните неопределенное интегрирование (заменой переменной):

$$1) \int (x-1)^2dx,\;\;\;\;\;\;\; 4) \int \frac{xdx}{x^4+1}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 7) \int \tg x dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$2) \int \sin (1-2x) dx,\;\; 5) \int \frac{e^x}{e^x-1}dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 8) \int \sin^2 x \cos x dx,$$

$$3) \int x\cos x^2 dx,\;\;\;\;\;\;\;\; 6) \int x^2(1-x^3)^{1/3}dx,\;\; 9) \int \frac{\sin x dx}{1+\cos^2 x}. \;\;\;\;\;\;$$

4. Выполните неопределенное интегрирование (по частям):

$$1) \int xe^xdx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3) \int x^2\sin x dx,\;\;\; 5) \int x(\sin x -\cos 2x) dx,$$

$$2) \int (x+1)e^{-x}dx,\;\; 4) \int e^x \sin x dx,\;\;\; 6) \int x^2(e^x-e^{-x}) dx.\;\;\;\;\;\;\;$$

5. Выполните неопределенное интегрирование, выбрав метод самостоятельно:

$$1) \int xe^{-2x}dx,\;\;\;\; 4) \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx,\; 7) \int \frac{dx}{x(1+\ln ^2 x)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$2) \int xe^{-x^2}dx,\;\;\;\; 5) \int \frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^x}},\;\; 8) \int \sin x \cos^{2/3}x dx,\;\;\;\;\;\;$$

$$3) \int x^2\cos x dx,\; 6) \int \frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},\; 9) \int e^{-x}(x^2-3x+1) dx.$$

6. Выполните определенное интегрирование (непосредственно):

$$1) \int \limits_{-1}^{1}dx,\; 2) \int \limits_{0}^{1} x dx,\; 3)... ...; 4) \int \limits_{-1}^{1} x^3dx,\; 5) \int \limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\sin x dx.$$

7. Выполните определенное интегрирование (заменой переменной):

$$1) \int \limits_{0}^{\ln^2 2}e^{\sqrt{x}}\frac{dx}{\sqrt{x}},\; 2... ...\; 3) \int \limits_{0}^{-1}xe^{-x^2}dx,\; 4) \int \limits_{0}^{\pi/4}\tg x dx.$$

8. Выполните определенное интегрирование (по частям):

$$1) \int \limits_{0}^{\ln 2}xe^{2x}dx,\; 2) \int \limits_{1}^{e^2}... ...\int \limits_{0}^{\pi/6}x\cos 3x dx,\; 4) \int \limits_{0}^{1} e^x \sin x dx.$$

9. Выполните определенное интегрирование, выбрав метод самостоятельно:

$$1) \int \limits_{-\pi}^{\pi}\cos x dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4) \int... ...x}dx}{e^{-2x}+1},\;\;\;\;\;\;\; 7) \int \limits_{1}^{2}x^2\sqrt{x^3-1} dx,\;$$

$$2) \int \limits_{-1}^{1}\frac{1-x^2}{1+x^2}dx,\;\;\;\;\;\; 5) \... ..._{0}^{\pi/6}\sin x \cos^5 x dx,\;\; 8) \int \limits_{-1}^{1}x(e^x-e^{-x}) dx,$$

$$3) \int \limits_{-1}^{2}(x^2-x)e^xdx,\;\; 6) \int \limits_{-\pi}^... ...rt{1-\cos ^2x}},\;\;\;\; 9) \int \limits_{0}^{\pi/3}x^2\cos 2x dx.\;\;\;\;$$

Далее: Об этом документе ... Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 3. Производная и ее