Далее: 4. Интегрирование Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 2. Предел. Непрерывность

3. Производная и ее приложения. Асимптотика функции

Вопросы теории. Задача о касательной к графику функции в точке. Понятие производной функции в точке. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции и ее связь с непрерывностью. Правила вычисления производных. Таблица производных основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него. Правила Лопиталя. Дифференциал и его геометрический смысл. Таблица дифференциалов. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции и правила их вычисления. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Асимптоты графика функции и их вычисление.


Образцы решения задач
Задача 1. Вычислите уравнения касательной и нормали к графику функции $y=-x^2$ в точке $x_0=1.$
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке, поэтому $k=y'(x_0)=-2x_0=-2.$ Обозначая $y_0=y(x_0),$ имеем $y-y_0=k(x-x_0),$ или, подставив числовые значения, $y+1=-2(x-1),$ $y=-2x+1.$ Для нахождения уравнения нормали воспользуемся тем фактом, что ее угловой коэффициент $k_{\perp}$ удовлетворяет соотношению $kk_{\perp}=-1,$ где $k$ - угловой коэффициент касательной в той же точке. Поэтому уравнение нормали имеет вид $y-y_0=k_{\perp}(x-x_0),$ $y+1=-1/2 (x-1),$ $y=-1/2 x-1/2.$
Задача 2. Вычислите производную функции $f(x)=2e^{x^2}-4e^{-x^2}.$
Решение. Пользуясь линейностью операции нахождения производной и правилом дифференцирования сложной функции, получим

$$f'(x) = (2e^{x^2}-4e^{-x^2})'=2(e^{x^2})'-4(e^{-x^2})'=$$

$$= 2e^{x^2}(x^2)'-4e^{-x^2}(-x^2)'=4xe^{x^2}+8xe^{-x^2}.$$

Задача 3. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислите предел

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}.$$

Решение. Заменяя отношение бесконечно малых функций отношением их производных, имеем

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{(e^x-1)'}{(x)'}= \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{1}=1.$$

Задача 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислите приближенно значение функции $y=x^3$ в точке $x_1=1,002.$
Решение. Найдем дифференциал данной функции: $dy(x)=y'(x)dx,$ $dy(x)=3x^2dx.$ Тогда линейная часть приращения этой функции, отвечающего конечному приращению независимой переменной $x$, имеет вид $\Delta y(x)=y'(x)\Delta x.$ Значение функции в данной точке $x_1=x_0+\Delta x,$ $x_0=1,$ $\Delta x=0,002,$ приближенно равно

$$y(x_1) \approx y(x_0)+\Delta y(x_1)= y(x_0)+y'(x_0)\Delta x=$$

$$= x_0^3+3x_0^2\Delta x=1+0,006=1,006.$$

Задача 5. Исследуйте функцию $f(x)=-x^3+3x-1$ на монотонность и экстремумы.
Решение. Функция задана многочленом, и поэтому она определена на всей числовой прямой: $D(f)=(-\infty,\infty).$ Вычислим производную: $f'(x)=(-x^3+3x-1)'=-3x^2+3$. Очевидно, $D(f')=(-\infty,\infty).$ Найдем нули производной: $f'(x)=-3x^2+3=0,\Rightarrow x_1=-1, x_2=1.$ Эти точки разбивают область определения функции $f(x)$ на интервалы, в которых производная сохраняет знак. Определяя знаки производной и применяя достаточное условие экстремума, получаем следующие результаты:

	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,1)$	$1$	$(1,\infty)$
$f'(x)$	$-$	0	$+$	0	$-$
		$-3,$		$1,$
$f(x)$	убывает	локальный	возрастает	локальный	убывает
		минимум		максимум

Задача 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=-x^3+3x-1$ на отрезке $[0,2]$.
Решение. В решении задачи 5 были найдены производная этой функции и точки $x_1=-1,$ $x_2=1,$ в которых производная обращается в нуль. Из этих точек только $x_2$ лежит в указанном интервале. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке равны

$$\max \limits_{[0,2]}(-x^3+3x-1)=\max \{f(0),f(1),f(2)\}= \max \{-1,1,-3\}=1,$$

$$\min \limits_{[0,2]}(-x^3+3x-1)=\min \{f(0),f(1),f(2)\}= \min \{-1,1,-3\}=-3.$$

Задача 7. Исследуйте функцию $f(x)=-x^3+3x-1$ на выпуклость, вогнутость и перегиб.
Решение. В решении задачи 5 указана область определения и найдена первая производная этой функции. Вторая ее производная равна

$$f''(x)=(f'(x))'=(-3x^2+3)'=-6x$$

и определена всюду на числовой прямой. Она обращается в нуль в точке $x=0,$ которая разбивает область определения на два интервала $(-\infty,0),$ $(0,\infty)$. В соответствии в достаточным условием выпуклости, вогнутости и перегиба имеем

	$(-\infty,0)$	0	$(0,\infty)$
$f''(x)$	$+$	0	$-$
$f(x)$	вогнута	$-1$	выпукла
		перегиб

Задача 8. Вычислите уравнения асимптот графика функции

$$f(x)=\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}.$$

Решение. Область определения данной функции $D(f)=$ $(-\infty,-1)\cup$ $(-1,1)\cup(1,\infty).$ Вычислим односторонние пределы функции в точках $x=-1$ и $x=1.$

$$\lim_{x\to -1-0} \frac{x^3}{(x+1)(x-1)}=-\infty, \;\; \lim_{x\to -1+0} \frac{x^3}{(x+1)(x-1)}=\infty,$$

$$\lim_{x\to 1-0} \frac{x^3}{(x+1)(x-1)}=-\infty,\;\; \lim_{x\to 1+0} \frac{x^3}{(x+1)(x-1)}=\infty.$$

Таким образом, график функции $f(x)$ имеет две вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1.$ Уравнение наклонной (или горизонтальной) асимптоты будем вычислять в виде $y=ax+b$.

$$a=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{x(x+1)(x-1)}=1,$$

$$b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to \infty}\left( \frac{x^3}{(x+1)(x-1)}-x\right)=$$

$$=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3-x(x^2-1)}{x^2-1}=0.$$

Итак, наклонная асимптота графика данной функции задана уравнением $y=x.$

Задачи для самостоятельного решения
1. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в точке $x=x_0.$

$$1)\; y=x^2,\; x_0=1;\;\;\;\;\;\; 3)\; y=x^3-2x,\; x_0=2;$$

$$2)\; y=\frac{1}{x},\; x_0=-1; \;\;\;4)\; y=\frac{x}{1-x},\; x_0=0. \;\;\;$$

2. Вычислите производные функций:

$$1) f(x)=x+\sin x, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;13) f(x)=\arcsin x^2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$2) f(x)=\sin x \cos 2x, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;14) f(x)=\arccos (x^2+x), \;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$3) f(x)=x \tg x, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;15) f(x)=\arctg (x^2-1), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$4) f(x)=x^3+x\ln x, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;16) f(x)=2 \arccos x -\arcsin 2x,$$

$$5) f(x)=e^{x^2}+x^2, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;17) f(x)=x^2 \arcsin (2x+1),\;\;\;\;\;\;$$

$$6) f(x)=\frac{x+1}{x-1},\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;18) f(x)=\ln \frac{x}{x+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$7) f(x)=\frac{x \ln x}{x^2+1}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;19) f(x)=\frac{\sin x}{\cos 2x}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$8) f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;20) f(x)=\tg \frac{x}{x-1}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$9) f(x)=\ln (e^x+e^{-x}), \;\;\;\;\;\;\;\;\;21) f(x)=\ln \frac{x^2-a^2}{x^2+a^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$10) f(x)=\ln (x+1)(x-1),\;\;22) f(x)=\frac{\sin x +\cos x}{\sin x-\cos x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$11) f(x)=\sin^2 x - \cos x^2,\;\;\;\;\;23) f(x)=\arccos ^2 x^3, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$12) f(x)=\sin x^2 + \cos x^2,\;\;\;\;\; 24) f(x)=\ln \tg x^2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

3. Пользуясь правилами Лопиталя, вычислите пределы:

$$1) \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x},\;\;\;\;\;3) \lim_{x\to 0} \frac{... ...to \infty}\frac{e^x}{x},\;\;\;\;\;\;\; 7) \lim_{x\to \infty}\frac{x}{\ln x},$$

$$2) \lim_{x\to 0} x \ctg x,\;\;4) \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}... ...;6) \lim_{x\to \infty}x^2 e^{-x},\;\;8) \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{\ln^3 x}.$$

4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислите приближенно значение функции $y=f(x)$ в точке $x=x_1.$

$$1)\; y=x^2,\; x_1=-1,002;\;\;2)\; y=\frac{1}{x}, \; x_1=0,5001.$$

5. Исследуйте функции на монотонность и экстремумы:

$$1)\; f(x)=x^3+x^2-1,\;\; 3)\; f(x)=\frac{1}{x^2+1},\;\; 5)\; f(x)=\frac{1}{x^2-1},$$

$$2)\; f(x)=e^{-x^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4)\; f(x)=\frac{x}{x^2+1},\;\; 6)\; f(x)=\frac{x}{x^2-1}.$$

6. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

$$1)\; y=-x^2,\;[-1,2];\;\; 2)\; y=\cos x,\;\left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right]; \;\; 3)\; y=x \sin x,\;[0,\pi].$$

7. Вычислите вторую производную функции. Исследуйте функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб:

$$1)\; f(x)=x^2,\;\;\;\;\;\; 3)\; f(x)=\cos 2x,\;\;\;\; 5)\; f(x)=x^4-2x^2+x,$$

$$2)\; f(x)=\sin x,\;\; 4)\; f(x)=x^3-3x,\;\; 6)\; f(x)=\frac{x}{1-x}. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

8. Вычислите уравнения асимптот графика функции:

$$1)\; f(x)=\frac{1}{x-2},\;\;\;\; 4)\; f(x)=\frac{x(x+1)(x-1)}{(2-x)(2+x)},$$

$$2)\; f(x)=\frac{x}{1-2x},\;\;\;5)\; f(x)=\frac{2x^4-3x^3+x}{x^3+x},\;\;$$

$$3)\; f(x)=\frac{x^2}{2x-4},\;\;\;6)\; f(x)=\frac{x^4+x^2+x-4}{x^2-5x+6}.$$

Далее: 4. Интегрирование Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 2. Предел. Непрерывность