Далее: 3. Производная и ее Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 1. Элементарные функции и

2. Предел. Непрерывность

Вопросы теории. Понятия предела числовой последовательности и предела функции в точке. Предел функции на бесконечности. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой (в точке) функции. Правила вычисления пределов суммы, разности, произведения и частного двух функций. Понятие функции, непрерывной в точке области определения. Функция, непрерывная на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Связь непрерывности с операциями над функциями. Непрерывность элементарных функций в их областях определения. Непосредственное вычисление предела непрерывной функции в точке ее области определения. Простейшие виды неопределенностей и методы их раскрытия. Первый и второй замечательные пределы. Разрывы функции и их классификация.

Образцы решения задач
Задача 1. Вычислите, пользуясь непрерывностью элементарных функций в их областях определения:

$$\lim_{x\to \ln 3}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$$

Решение. Знаменатель выражения под знаком предела не обращается в нуль при $x=3$; числитель тоже определен в этой точке. Все элементарные функции непрерывны в областях определения. Согласно определению функции, непрерывной в точке, ее предел в точке равен значению в этой точке. Поэтому

$$\lim_{x\to \ln 3}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}= \frac{e^{\ln 3}-e^{-\ln 3}}{e^{\ln 3}+e^{-\ln 3}}=\frac{4}{5}.$$

Задача 2. Вычислите пределы

$$1)\; \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-4x^3}{x-3x^3},\;\; 2)\; \lim_{x\... ...ac{\tg x^2}{x^2},\;\; 3)\; \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{2}{x}\right) ^x.$$

Решение. 1) Выражение под знаком предела представляет собой отношение бесконечно больших функций.

$$\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-4x^3}{x-3x^3}=\lim_{x\to \infty} \fra... ...3}{x^3}}= \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}-4}{\frac{1}{x^2}-3}=\frac{4}{3}.$$

2) Введем новую переменную $y:=x^2,$ замечая, что $\lim_{x\to 0}y=0$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x^2}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x... ... y}{y \cos y}= \lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y} \lim_{y\to 0}\frac{1}{\cos y}=1.$$

3) Введем новую переменную $y:=x/2,$ $x=2y$ и воспользуемся вторым замечательным пределом:

$$\lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{2}{x}\right) ^x= \lim_{y\to \in... ... ^{2y}= \left( \lim_{y\to \infty} \left( 1+\frac{1}{y}\right) ^y\right)^2=e^2.$$

Задача 3. Найдите точки разрыва функции

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2,\; \mbox{\rm если}\; x<0,\\ x,... ...ox{\rm если}\;0<x\le 1,\\ 1/(x-1),\mbox{\rm если}\;x\ge 1 \end{array} \right.$$

и укажите их тип.
Решение. Найдем область определения данной функции: $D(f)=(-\infty,0)\cup (0,\infty).$ Элементарные функции, которыми задается данная функция на разных подмножествах области определения, не имеют точек разрыва в соответствующих им интервалах. Поэтому достаточно исследовать данную функцию на непрерывность в точках $x=0$ и $x=1$. Для этого вычислим односторонние пределы функции $f(x)$ в этих точках.

$$\lim_{x\to 0-0} f(x)=\lim_{x\to 0-0} x^2=0,\; \lim_{x\to 0+0} f(x)=\lim_{x\to 0+0} x=0.$$

Односторонние пределы в точке $x=0$ конечны, в то время как в этой точке функция не определена, поэтому $x=0$ - точка разрыва первого рода. Они равны, поэтому это - точка устранимого разрыва, и, доопределив данную функцию в нуле выражением $f(0)=0,$ получим функцию, непрерывную в точке $x=0.$

$$\lim_{x\to 1-0} f(x)=\lim_{x\to 1-0} x=1,\; \lim_{x\to 1+0} f(x)=\lim_{x\to 1+0} \frac{1}{x-1}=\infty.$$

Один из односторонних пределов в точке $x=1$ бесконечен, поэтому это - точка разрыва второго рода.

Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите пределы, пользуясь непрерывностью входящих в них функций.

$$1) \lim_{x\to 0} (x^2+x-1),\;\;\;\; 4) \lim_{x\to \pi/2} (\sin ^2 x+\cos x),\;\;\;\;\; 7) \lim_{x\to 1/2} x \arcsin x,\;$$

$$2) \lim_{x\to -2} \frac{x-1}{x+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5) \... ...\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 8) \lim_{x\to 0} \frac{e^x+x^{-x}}{x+1},\;\;\;\;$$

$$3) \lim_{x\to \ln 2} (e^{2x}-2e^x),\;\;\;\;\; 6) \lim_{x\to 1} (\arctg x -\arccos x),\; 9) \lim_{x\to 3} \sqrt{x^2+3x}.\;\;\;$$

2. Укажите промежутки непрерывности функций

$$1)\; f(x)=\frac{x+1}{x^2+6x-7};\;\;\; 2)\; f(x)=\left\{ \begin{ar... ...mbox {\rm если}}& x<0,\\ x^2,&{\mbox {\rm если}}& x\ge 0; \end{array} \right.$$

$$3)\; f(x)=\frac{1}{\sin x};\;\; 4)\; f(x)=\ln \sin x;\;\; 5)\; f(... ...,&{\mbox {\rm если}}& x<0,\\ x^3,&{\mbox {\rm если}}& x>0. \end{array}\right.$$

3. Вычислите, используя, где это необходимо, первый и второй замечательные пределы:

$$1) \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{3x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ... ...^{10}},\;\;\;\;\;\;\; 17) \lim_{x\to \infty}\left( 1+ \frac{1}{x}\right) ^{2x},$$

$$2) \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\... ...;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 18) \lim_{x\to \infty}\left( 1+ \frac{3}{x}\right) ^{9x},$$

$$3) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 3x}{\sin 2x}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;... ...10}}{x^{10}+x},\;\;\; 19) \lim_{x\to \infty}\left( 1- \frac{1}{2x}\right) ^{x},$$

$$4) \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x-\cos x}{\sin 3x-\sin x},\; 12)\lim... ...;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 20) \lim_{x\to \infty}\left( 3- \frac{1}{x}\right) ^{2x},$$

$$5) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 5x}{\tg x}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;... ...x+3}, \;\;\;\;\;\;\; 21) \lim_{x\to \infty} \left( \frac{1+x}{x}\right) ^x,$$

$$6) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 3x-\tg 2x}{\tg x},\;\; 14) \lim_{x\to ... ..., \;\;\;\;\;\;\;\;\; 22) \lim_{x\to \infty}\left( \frac{2+x}{x}\right) ^{2x},$$

$$7) \lim_{x\to 0} \frac{\sin x\tg 4x}{\sin 2x \sin 5x},\;\;\; 15... ...{x-6}, \;\;\;\;\;\; 23) \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x-1}{x}\right) ^x,$$

$$8) \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x \sin^2 x}{x^3},\;\;\;\; 16) \lim_{... ...{x-1},\;\;\;\;\; 24) \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x+1}{2x}\right) ^x.$$

4. Определите тип точек разрыва функций, данных в задаче 2. В точках устранимого разрыва доопределите функции так, чтобы они стали непрерывными.

Далее: 3. Производная и ее Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 1. Элементарные функции и