Далее: 2. Предел. Непрерывность Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: II. Элементы математического анализа

1. Элементарные функции и их свойства. Модуль действительного числа

Вопросы теории. Элементы теории множеств: понятие множества, подмножества, объединения и пересечения подмножеств. Диаграммы Эйлера - Венна. Подмножества числовой прямой ${{\mathbb{R} }}$. Понятие числовой функции. Область определения и область значений функции. Монотонность функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Операции над функциями. Класс элементарных функций. Модуль действительного числа. Свойства модуля.
Образцы решения задач
Задача 1. Постройте объединение $A\cup B$, пересечение $A\cap B$ и дополнения $\overline {A\cup B},\;\overline {A\cap B}$ для подмножеств $A=\{ -1,0,2,4,5,6,7\}$ и $B=\{1,2,3,4,6,8\}$ данного множества $M=\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7,$ $8,9\}.$
Решение. Согласно определению, объединение $A\cup B$ подмножеств $A$ и $B$ множества $M$ состоит из тех его элементов, которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств $A,B$. Пересечение $A\cap B$ подмножеств $A$ и $B$ множества $M$ состоит из тех его элементов, которые принадлежат обоим подмножествам $A$ и $B$. Наконец, дополнение $\bar C$ к подмножеству $C$ множества $M$ состоит из тех элементов множества $M$, которые не принадлежат $C$. Поэтому можно выписать такую таблицу

$$\begin{array}{\vert l\vert\vert r\vert r\vert r\vert r\vert ... ...rline{A\cap B}$}} &-1&0&1& &3& &5& &7&8&9\\ \hline \end{array}$$

Задача 2. Вычислите область определения функции

$$f(x)=\frac{x}{(x-1)(x+2)}+\ln x.$$

Решение. Данная функция определена при тех значениях независимой переменной $x$, при которых имеют смысл все входящие в нее выражения. Значение рациональной дроби не определено в тех точках числовой прямой, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при $x=-2$ и при $x=1.$ Таким образом, рациональная дробь определена на множестве $(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,\infty).$ Логарифм определен при строго положительных значениях аргумента, т.е. при $x\in (0,\infty).$ Пересечение указанных множеств дает искомую область определения $D(f)=(0,1)\cup(1,\infty).$

Задача 3. Решите неравенство

$$2^{\frac{x+1}{x-1}}\ge 4^x.$$

Решение. Приведем все выражения, входящие в неравенство, к общему основанию 2:

$$2^{\frac{x+1}{x-1}}\ge 2^{2x}.$$

Показательная функция определена на всей числовой прямой. Показательная функция по основанию 2 - монотонно возрастающая, поэтому полученное неравенство равносильно неравенству $\frac{x+1}{x-1}\ge 2x.$ Перенос выражения $2x$ в левую часть и приведение к общему знаменателю приводят к выражению

$$\frac{-2x^2+3x+1}{x-1}\ge 0\Leftrightarrow \frac{2\left( x-\frac{3+2\sqrt{17}}{8}\right) \left( x-\frac{3-2\sqrt{17}}{8}\right) }{x-1}\le 0.$$

Полученное неравенство нетрудно решить методом интервалов:

$$x\in \left( -\infty,\frac{3-2\sqrt{17}}{8}\right] \cup \left( 1,\frac{3+2\sqrt{17}}{8}\right].$$

Задачи для самостоятельного решения
1. Постройте объединение $A\cup B$, пересечение $A\cap B$ и дополнения $\bar A,\;\bar B$ подмножеств $A$ и $B$ данного множества $M.$
1) $M=\{1,2,3,4,5,6\},$ $A=\{1,2,6\},$ $B=\{2,4,5,6\}.$
2) $M=\{1,2,-3,4,7,8,9\},$ $A=\{-3,4,8\},$ $B=\{1,2,7\}.$
3) $M={{\mathbb{Z} }},$ $A=\{$все натуральные числа$\},$ $B=\{$все четные числа$\}.$
4) $M={{\mathbb{R} }},$ $A=[-1,2],$ $B=[-2,0].$
5) $M={{\mathbb{R} }},$ $A=[-1,3),$ $B=(-2,-1).$
6) $M={{\mathbb{R} }},$ $A=(0,4),$ $B=(-\infty,0).$
2. Пользуясь диаграммами Эйлера - Венна, проверьте истинность равенств 1) $\overline{A\cap B}=\bar A \cup \bar B,$ 2) $\overline{A\cup B}=\bar A \cap \bar B.$
3. Найдите область определения функции

$$1) f(x)=\sqrt{x^2-1}+e^x,\;\; 4) f(x)=\ln \vert\cos x\vert,\;\;\; 7) f(x)=\arcsin x^2,\;\;\;\;\;\;$$

$$2) f(x)=\frac{x^2}{x^2-5x+6},\;\;\;\;5) f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^4-8}},\;\;\; 8) f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}},\;\;\;\;\;\;$$

$$3) f(x)=\ln \sin x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6) f(x)=\sqrt{\arccos x},\;\; 9) f(x)=\ctg (2x^2-1).$$

4. Решите уравнения и неравенства с модулем

$$1) \vert x-1\vert=3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4)\vert 3x+1\vert> 2,\;\;\;\;\; 7)\vert 3-2x\vert\le 1,\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$2) \vert\cos 3x\vert=1/\sqrt{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5)\vert\tg x\vert< 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\; 8) \vert x^2-2x-3\vert\ge x,$$

$$3)\left\vert \frac{x-2}{(x-1)(x+3)} \right\vert =-1,\;\;\;\; 6) \... ...} \right\vert> x,\;\;\;\; 9) \vert\sin 2x\vert\ge\frac{1}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;$$

5. Решите иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

$$1) \sqrt{x^2-4}+x=0,\;\;\; 4) 2^{x^2-5x+6}=8^{-x},\; 7) \log_2 (x^2-1)=\ln e^2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$2) \frac{x}{\sqrt{x^2-3x+2}}>x,\; 5) \left( \frac{1}{3}\right)^{4-x^2}\ge 27,\;8) 2\ln (x-1)(x+3)>1,\;\;\;\;\;\;\;$$

$$3) \frac{\sqrt{1-x^2}}{x+2}\le 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6) e^{x^2}<2^{2x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;9) \ln (9-x^2) -\ln(x-1)\le 0.$$

Далее: 2. Предел. Непрерывность Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: II. Элементы математического анализа