Далее: 2. Прямая на плоскости Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: I. Элементы аналитической геометрии

1. Векторная алгебра

Вопросы теории. Геометрические векторы на плоскости. Коллинеарность векторов. Модуль вектора. Равенство векторов. Свободные векторы. Линейные операции над свободными векторами и их свойства. Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и ее простейшие свойства. Базис. Координаты вектора в базисе и теорема об их единственности. Скалярная проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения и модулей векторов по их координатам в ортонормированном базисе. Расстояние между точками плоскости. Угол между векторами.

Образцы решения задач
Задача 1. Среди векторов $\vec a=\{-3,4\},$ $\vec b=\{1,2\},$ $\vec c=\{-2,4\},$ $\vec d=\{-1,-1\},$ $\vec f=\{1,-2\}$ укажите коллинеарные векторы, равные векторы, вычислите комбинации $2\vec a - \vec b,$ $\vec c+\vec d+ \vec f$ и проверьте результат графически в прямоугольном декартовом базисе.
Решение. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в каком-либо базисе пропорциональны. Проверяя попарно данные векторы, находим, что имеется только два коллинеарных вектора: $\vec c=\{-2,4\}$ и $\vec f=\{1,-2\}$. Коэффициент пропорциональности их координат равен $-2:1=4:(-2)=-2<0,$ значит, эти векторы противоположно направлены. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты в каком-либо базисе равны. Проверяя данные векторы, убеждаемся в том, что среди них равных векторов нет. Вычислим линейные комбинации:

$$2\vec a - \vec b=2\vec a +(-1) \vec b=2\left[ \begin{array}{... ...\right] = \left[ \begin{array}{r} -7\\ 6 \end{array} \right];$$

$$\vec c+\vec d+ \vec f= (\vec c + \vec d )+\vec f=$$

$$\left( \left[ \begin{array}{r} -2\\ 4 \end{array} \right] +\left... ... -2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} -2\\ 1 \end{array} \right].$$

Теперь выполним операции $2\vec a - \vec b$ (рис. 1) и $\vec c+\vec d+ \vec f$ (рис. 2) графически и убедимся в истинности вычислений:

Рис.1	Рис.2

Задача 2. Проверьте вычислением и графически, образует ли данная система векторов базис на плоскости:

$$\vec a=\{2,-3\},\;\vec b=\{1,1\}.$$

Решение. Поскольку данная система состоит из двух векторов, то для того, чтобы она образовывала базис на плоскости, достаточно проверить ее линейную независимость. Согласно определению, надо убедиться в том, что равная нулю линейная комбинация $\alpha \vec a+\beta \vec b$ тривиальна, т.е. $\alpha = \beta = 0.$ Итак,

$$\alpha \vec a+\beta \vec b =\alpha \left[ \begin{array}{r} 2\\ -... ...1\\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 0\\ 0 \end{array} \right]$$

или, в виде системы уравнений,

$$\left\{ \begin{array}{l} 2\alpha +\beta =0,\\ -3\alpha +\beta =0. \end{array} \right.$$

Вычитая из первого уравнения второе, имеем $5\alpha =0,$ откуда $\alpha =0.$ Подстановка этого значения в любое из уравнений системы дает $\beta =0.$ Итак, данная система из двух векторов плоскости линейно независима; следовательно, она образует базис.

Убедимся в этом графически (рис. 3); данные два вектора неколлинеарны, значит, они линейно независимы.

Рис.3

Задача 3. Вычислите $\vert\vec a\vert \vec b - \vert\vec b\vert \vec a$ для векторов $\vec a = \{-5,12\}$, $\vec b =\{0,1\},$ если векторы представлены координатами в ортонормированном базисе.
Решение. Модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата: $\vert\vec v\vert=\sqrt{(\vec v, \vec v)}.$ Так как базис ортонормированный, скалярное произведение векторов $\vec u =\{u_1, u_2\}$ и $\vec v =\{v_1, v_2\}$ может быть вычислено как сумма произведений их соответствующих координат:

$$(\vec u, \vec v) = [u_1\; u_2]\left[ \begin{array}{r} v_1\\ v_2 \end{array}\right] =u_1 v_1 +u_2 v_2.$$

Тогда, полагая $\vec u =\vec v,$ имеем

$$(\vec v, \vec v) =v^2_1 + v^2_2, \;\; \vert\vec v\vert=\sqrt{v^2_1 + v^2_2}.$$

Таким образом,

$$\vert\vec a\vert =\sqrt{(-5)^2+12^2}=13,\;\; \vert\vec b\vert=\sqrt{0^2+1^2}=1,$$

и можно вычислить требуемую линейную комбинацию

$$\vert\vec a\vert \vec b - \vert\vec b\vert \vec a =13 \left[ \beg... ...\\ 12 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r} 5\\ 1 \end{array} \right].$$

Задача 4. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ и величину угла $\angle BAC$, если $A(1,1),$ $B(1,3),$ $C(3,3)$.
Решение. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$$\vec{AB}=\vec B -\vec A =\left[ \begin{array}{r}1 3\end{array} ... ...rray}{r}1 1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{r}0 2\end{array}\right],$$

$$\vec{AC}=\vec C -\vec A =\left[\begin{array}{r}3 3\end{array}\r... ...rray}{r}1 1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{r}2 2\end{array}\right].$$

Искомое скалярное произведение равно

$$(\vec{AB}, \vec{AC})=0 \cdot 2 + 2\cdot 2=4.$$

С другой стороны,

$$(\vec{AB}, \vec{AC})=\vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\vert \cos \angle BAC,$$

откуда

$$\cos \angle BAC =\frac{(\vec{AB}, \vec{AC})}{\vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\vert}.$$

Для вычисления угла надо знать модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$$\vert\vec{AB}\vert=\sqrt{0+4}=2,\;\; \vert\vec{AC}\vert=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}.$$

Подставляя эти данные в формулу косинуса угла $\angle BAC$, получаем

$$\cos \angle BAC =\frac{4}{2\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\;\; \angle BAC =\pi /4.$$

Задачи для самостоятельного решения
1. Векторы заданы координатами в некотором фиксированном базисе.
а) Укажите, какие из них коллинеарны.
б) Укажите пары равных между собой векторов.
в) Начертите какие-нибудь представители данных векторов в прямоугольной декартовой системе координат.
г) Выполните следующие операции над векторами в координатах: $\vec a +\vec b,$ $\vec a -\vec d$, $\vec a +\vec b +\vec c + \vec d + \vec f.$
д) Те же операции выполните графически. Сравните результат с результатом пункта г).
1) $\vec a =\{1,2\},\; \vec b =\{0,-1\},\; \vec c =\{-2,4\},\; \vec d =\{2,4\},\; \vec e =\{0,-5\},\; \vec f =\{2,-1\};\;$
2) $\vec a =\{1,0\},\; \vec b =\{4,-3\},\; \vec c =\{-4,3\},\; \vec d =\{4,6\},\; \vec e =\{1,0\},\; \vec f =\{-1,-1\};$
3) $\vec a =\{3,1\},\; \vec b =\{-4,3\},\; \vec c =\{3,1\},\; \vec d =\{-2,5\},\; \vec e =\{1,5\},\; \vec f =\{-3,-1\};$
4) $\vec a =\{4,2\},\; \vec b =\{-2,-1\},\; \vec c =\{6,3\},\; \vec d =\{-3,2\},\; \vec e =\{5,2\},\; \vec f =\{0,0\};\;$
5) $\vec a =\{0,1\},\; \vec b =\{5,0\},\; \vec c =\{1,5\},\; \vec d =\{-2,-10\},\; \vec e =\{4,3\},\; \vec f =\{2,1\frac{1}{2}\}.$
2. Для векторов задачи 1 вычислите следующие комбинации

$$3\vec a + 2\vec b -\vec d+ \vec e,\;\; \alpha \vec a +\beta \vec b +\gamma \vec c + \delta \vec d$$

а) в координатах, б) графически и сравните результаты, полученные двумя способами.

$$1) \alpha =-2,\; \beta =5,\; \gamma =\frac{1}{2},\; \delta =-\frac{3}{2};$$

$$2) \alpha =1,\; \beta =-2,\; \gamma = 0,5,\; \delta =-1;$$

$$3) \alpha =-3,\; \beta =3,\; \gamma =0,\; \delta =1;$$

$$4) \alpha =0,\; \beta =-2,\; \gamma =3,\; \delta =0;$$

$$5) \alpha=5,\; \beta =0,\; \gamma=-4,\; \delta =-1.$$

3. Проверьте а) вычислением,б) графически, образует ли данная система векторов базис на плоскости.

1) $\vec e_1 =\{0,1\},$	$\vec e_2 =\{1,0\};$	4) $\vec e_1=\{-1,1\},$	$\vec e_2=\{2,-2\};$
2) $\vec e_1 =\{1,0\},$	$\vec e_2=\{2,-1\};$	5) $\vec e_1 =\{1,0\},$	$\vec e_2=\{0,0\};$
3) $\vec e_1=\{-1,1\},$	$\vec e_2=\{2,3\};$	6) $\vec e_1=\{1,1\},$	$\vec e_2=\{3,2\};$
7) $\vec e_1 =\{1,0\},$	$\vec e_2=\{1,1\},$	$\vec e_3=\{-1,1\};$
8) $\vec e_1 =\{0,1\},$	$\vec e_2=\{0,0\},$	$\vec e_3=\{2,-3\}.$

4. Для следующих векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, вычислите комбинации $(\vec a, \vec b),\; (\vec a, \vec b) \vec c + (\vec a, \vec c) \vec b + (\vec ... ...ert, \vert\vec a +\vec b\vert, \vert\vec b\vert\vec a + \vert\vec a\vert\vec b.$
1) $\vec a =\{4,3\},\; \vec b =\{-1,1\},\; \vec c =\{2,-3 \};$
2) $\vec a =\{5,12\},\; \vec b =\{1,0\},\; \vec c =\{4,-3 \};$
3) $\vec a =\{1,3\},\; \vec b =\{0,0\},\; \vec c =\{5,3 \}.$
5. Вычислите скалярные произведения:
1) $\vert\vec a\vert=10,\; \vert\vec b\vert=2, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/6,$
2) $\vert\vec a\vert=5,\; \vert\vec b\vert=3, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/3,$
3) $\vert\vec a\vert=2,\; \vert\vec b\vert= 5,\; \angle (\vec a, \vec b)= 45^o ,$
4) $\vert\vec a\vert=8,\; \vert\vec b\vert= 4, \; \angle (\vec a, \vec b)= 90^o ,$
5) $\vert\vec a\vert=5,\; \vert\vec b\vert= 10, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/2 .$
6. Вычислите углы, образуемые парами векторов. Укажите пары ортогональных векторов, пары, образующие острые углы, пары, образующие тупые углы. Выводы проверьте графически. Векторы заданы координатами в ортонормированном базисе.

1) $\vec a=\{1,0\},$	$\vec b=\{0,20\};$	5) $\vec m=\{5,-6\},$	$\vec n=\{12,10\};$
2) $\vec c=\{3,4\},$	$\vec d=\{-4,3\};$	6) $\vec p=\{-1,-1\},$	$\vec q=\{10,10\};$
3) $\vec f=\{2,3\},$	$\vec h=\{-6,3\};$	7) $\vec r=\{-2,5\},$	$\vec s=\{-3,-2\};$
4) $\vec k=\{-2,9\},$	$\vec l=\{-3,-1\};$	8) $\vec u=\{10,-4\},$	$\vec v=\{0,-2\}.$

7. Среди данного набора точек плоскости укажите пары точек, расстояние между которыми а) наибольшее, б) наименьшее.
1) $A(-5,0),\; B(1,1),\; C(0,-1),\; D(3,-2);$
2) $P(0,0),\; Q(-1,6),\; R(-4,0),\; S(5,1);$
3) $T(0,9),\; U(5,-6),\; V(0,-3),\; W(0,0).$
8. Вычислите длины сторон и углы треугольника по координатам его вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или
тупоугольный?
1) $A(0,0),\; B(-3,4),\; C(4,3);$
2) $D(1,1),\; E(-6,2),\; F(2,3);$
3) $K(0,1),\; L(-5,0),\; M(-3,6).$

Далее: 2. Прямая на плоскости Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: I. Элементы аналитической геометрии