Далее: 3. Системы линейных уравнений Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: 1. Векторная алгебра

2. Прямая на плоскости

Вопросы теории. Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, каноническое и параметрические уравнения. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнение каждого типа. Направляющий вектор и вектор нормали. Взаимное расположение точки и прямой на плоскости. Угол между прямыми. Взаимное расположение пары прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Образцы решения задач
Задача 1. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A(-4,3)$ и $B(0,-2)$. Выясните, проходит ли эта прямая через начало координат.
Решение. В качестве направляющего вектора $\vec p$ прямой можно взять вектор $\vec{AB}$ или любой коллинеарный ему вектор. Положим $\vec p=\vec {AB}=\{0-(-4), -2-3\}=\{4,-5\}$. В качестве точки, отвечающей нулевому значению параметра $t$, можно выбрать любую из данных точек, например, точку $A$: $x_0=-4,$ $y_0=3.$ Подстановка этих данных в параметрические уравнения

$$x=x_0+p_x t,\;\; y=y_0+p_y t$$

приводит к искомым уравнениям

$$x=-4+4t,\;\; y=3-5t.$$

Осталось проверить, удовлетворяют ли полученным уравнениям координаты (0,0) данной точки. Для этого положим в этих уравнениях $x, y$ равными этим координатам и вычислим значения параметра $t$ из каждого уравнения. Если значения параметра, полученные из первого и второго уравнений, равны, то данная точка принадлежит прямой, иначе - нет:

$$0=-4+4t \Rightarrow t_1=1; \;\; 0=3-5t \Rightarrow t_2=3/5.$$

Итак, $t_1 \ne t_2$, прямая не проходит через начало координат.

Задача 2. Для данных точки $A(2,-3)$ и прямой $l: 3x+y-5=0$
а) напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой,
б) напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Решение. а) Всякая прямая, параллельная прямой, задаваемой общим уравнением $Ax+By+C=0,$ описывается уравнением $Ax+By+C'=0.$ Поэтому искомая прямая может быть задана уравнением $3x+y+C'=0$. Свободный член $C'$ определим из условия, что точка $A(2,-3)$ принадлежит данной прямой, т.е. $3\cdot 2-3+C'=0.$ Отсюда $C'=-3.$ Итак, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку $A,$ задается уравнением $3x+y-3=0$.
б) Вектор нормали к прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$, коллинеарен вектору с координатами $\{A,B\}$, поэтому вектор нормали к прямой $l$ может быть выбран в виде $\vec n=\{3,1\}$. Тогда вектор нормали $\vec n'$ к искомой прямой ортогонален вектору $\vec n$. В качестве вектора $\vec n'$ можно выбрать вектор с координатами $\{1,-3\}$ (проверьте!). Тогда искомое уравнение имеет вид $x-3y+D=0,$ причем прямая проходит через точку $A(2,-3)$. Подставляя координаты точки $A$ в уравнение, находим $D$:

$$2-3\cdot (-3)+D=0\Rightarrow D=-11.$$

Таким образом, прямая задается уравнением $x-3y-11=0.$

Задача 3. Выясните взаимное расположение прямых, заданных уравнениями

$$\frac{x}{2}=\frac{y-2}{0},\;\; \frac{x+1}{3}=\frac{y}{-1}.$$

Если прямые пересекаются, найдите координаты точки пересечения и угол, образуемый прямыми в том порядке, в котором они указаны.
Решение. Прямые заданы каноническими уравнениями, поэтому вывод об их взаимном расположении может быть сделан из анализа направляющих векторов; если векторы коллинеарны, то прямые параллельны либо совпадают, в противном случае прямые пересекаются. Направляющий вектор первой прямой равен $\vec p_1=\{2,0\},$ направляющий вектор второй прямой - $\vec p_2=\{3,-1\}.$ Векторы неколлинеарны, значит, прямые пересекаются. Вычислим координаты их точки пересечения $M(x_0,y_0)$. Для этого перепишем уравнения прямых в форме с угловым коэффициентом:

$$y=2,\;\; y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}.$$

Решая образованную ими систему, находим: $x_0=-7,$ $y_0=2.$ Теперь вычислим угол $\angle (l_1,l_2)$, образованный прямыми:

$$\tg \angle (l_1,l_2)=\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}= \frac{(-1/3)}{1+0\cdot (-1/3)}=-\frac{1}{3},\;\angle (l_1,l_2)=-\arctg \frac{1}{3}.$$

Задачи для самостоятельного решения
1. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки, в следующих формах:
а) с угловым коэффициентом (если возможно),
б) общее,
в) каноническое,
г) параметрические.
Укажите направляющий вектор этой прямой. Однозначно ли он определен? Укажите вектор нормали к этой прямой. Единственен ли он?

1) $A(0,0)$, $B(-3,2)$;	3) $A(-1,4)$, $B(-1,3)$;
2) $A(1,0)$, $B(0,-1)$;	4) $A(2,-3)$, $B(0,-3)$.

2. Для данных точки и вектора задайте уравнениями пару прямых, проходящих через данную точку, из которых одна параллельна данному вектору, а другая перпендикулярна ему.

1) $M(0,0)$, $\vec v=\{-1,1\}$;	3) $M(2,-4)$, $\vec v=\{3,-1\}$;
2) $M(-1,1)$, $\vec v=\{0,-2\}$;	4) $M(-3,5)$, $\vec v=\{1,0\}$.

3. Для данных точки и прямой
а) выясните, лежит ли точка на прямой,
б) напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой,
в) напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Уравнения прямых напишите в том же виде, в котором написано уравнение данной прямой.

$$1)\; A(0,0),\;\;l: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{2};\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3) A(3,0),\;\;l: -x+2y-3=0;$$

$$2)\; A(1,1),\;l: x=4+t,\;y=-5t; 4) A(2,-1),\;l: y=-2x+3.$$

4. Вычислите угол между прямыми.

$$1)\;\; y=x+2,\;\;y=-2x;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4) y=2x-1,\;\; 2y+x=0;$$

$$2)\;\; y=4x-10,\;\;y=4x;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 5) \frac{x-1}{2} =\frac{y}{3},\; y=\frac{\sqrt{3}}{2}x;$$

$$3)\;\; x+y=3,\;\;-x+y=0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 6) \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{3},\;\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}.$$

5. Выясните взаимное расположение пары прямых. Если прямые пересекаются, найдите координаты точки пересечения.

$$1)\;\; y=x+5,\;\; x-4=0;\;\;\;\;\; 4) \frac{x-1}{-2}=\frac{y}{1},\;\frac{x}{2}=\frac{y+3}{\sqrt{2}};$$

$$2)\;\; x+2y=4,\;\; 3x+6y=1; 5) 4x-y=2;\;\; x=t,\; y=-2t+4;$$

$$3)\;\; y=3x-2,\;\; x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}; 6) x=t+1,\;y=-t;$$

$$x=5t-1,\;y=2t.$$

Далее: 3. Системы линейных уравнений Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: 1. Векторная алгебра