Образцы решения задач
Задача 1. Известно, что
и
- решения системы
Вопросы теории. Система линейных уравнений и ее решение.
Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Равносильные системы.
Однородная система. Совместность однородных систем линейных уравнений.
Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Основная и
расширенная матрицы системы линейных уравнений. Элементарные преобразования
системы линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Образцы решения задач
Задача 1. Известно, что
и
- решения системы
ее решений
и
будет снова
решением. Выбирая, например, 
имеем
. Непосредственной проверкой убеждаемся
в том, что полученная комбинация действительно является решением системы.
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr\vert r}
x&y&z&t\\
\hline
1&2&-3&1&0\\
-1&1&-1&-1&-6\\
2&-1&1&-1&-1\\
2&2&-3&-1&-7
\end{array} \right].
$](img197.png)
из всех уравнений, кроме первого. Для этого
надо воспользоваться первой строкой: для вычисления преобразованной второй
строки прибавим первую строку ко второй, для вычисления преобразованной
третьей строки - к третьей прибавим первую, для вычисления
четвертой строки - к четвертой прибавим первую. Матрица примет вид
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr\vert r}
1&2&-3&1&0\\
0&3&-4&0&-6\\
3&1&-2&0&-1\\
3&4&-6&0&-7
\end{array} \right].
$](img198.png)
из всех уравнений, кроме третьего, имеем:
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr\vert r}
-5&0&1&1&2\\
-9&0&2&0&-3\\
3&1&-2&0&-1\\
-9&0&2&0&-3
\end{array} \right].
$](img200.png)
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr\vert r}
-5&0&1&1&2\\
-9&0&2&0&-3\\
3&1&-2&0&-1
\end{array} \right].
$](img201.png)
из всех уравнений, кроме второго, получаем
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr\vert r}
-0,5&0&0&1&3,5\\
-9&0&2&0&-3\\...
...\vert r}
-0,5&0&0&1&3,5\\
-4,5&0&1&0&-1,5\\
-6&1&0&0&-4
\end{array} \right].
$](img203.png)
через свободную переменную 
, получим
общее решение
имеем частное решение:
