Далее: II. Элементы математического анализа Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: 3. Системы линейных уравнений

4. Матрицы и определители

Вопросы теории. Матрицы, действия над матрицами и их основные свойства. Транспонирование матрицы. Согласование размеров матриц при их перемножении. Некоммутативность умножения матриц. Определители и их основные свойства. Правило Лапласа. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера. Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
Образцы решения задач
Задача 1. Выполните операции над матрицами: $2A-3B+I$, где

$$A=\left[ \begin{array}{rrr} 0&-1&1\\ -5&0&2\\ 0&0&1 \end{array}... ...;\; B=\left[ \begin{array}{rrr} 3&-1&0\\ 0&2&-3\\ 1&1&0 \end{array} \right],$$

$I$ - единичная матрица.
Решение. Сложение матриц и умножение матрицы на число выполняются покомпонентно, поэтому

$$2A-3B+I=2\left[ \begin{array}{rrr} 0&-1&1\\ -5&0&2\\ 0&0&1 \end... ...\right]+\left[ \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]=$$

$$=\left[ \begin{array}{rrr} 0&-2&2\\ -10&0&4\\ 0&0&2 \end{array}... ...=\left[ \begin{array}{rrr} -8&1&2\\ -10&-5&13\\ -3&-3&3 \end{array} \right].$$

Задача 2. Для данных матриц $A$ и $B$ выясните, определены ли произведения $AB$, $BA$, $A^2$ и $B^2$ и вычислите те из них, которые определены:

$$A=\left[ \begin{array}{rrr} 1&-2&0\\ 0&3&-2 \end{array}\right],\;\; B=\left[ \begin{array}{rr} 1&2\\ -2&0 \end{array} \right].$$

Решение. Матрица $A$ имеет размеры $2\times 3$, а матрица $B$ - размеры $2\times 2$. Поэтому произведение $AB$ не определено, так как число столбцов матрицы $A$ не равно числу строк матрицы $B$. Число столбцов матрицы $B$ равно числу строк матрицы $A$, поэтому произведение $BA$ определено и равно

$$BA= \left[ \begin{array}{rr} 1&2\\ -2&0 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{rrr} 1&-2&0\\ 0&3&-2 \end{array}\right]=$$

$$=\left[ \begin{array}{r\vert r\vert r} \left[ \begin{array}{rr} 1... ...t]\cdot \left[ \begin{array}{r} 0\\ -2 \end{array}\right] \end{array}\right]=$$

$$=\left[ \begin{array}{rrr} 1&4&-4\\ -2&4&0 \end{array} \right].$$

Число столбцов матрицы $A$ не равно числу ее строк, поэтому ее квадрат $A^2$ не определен. Матрица $B$ квадратная, поэтому ее квадрат определен и равен

$$B^2= \left[\begin{array}{rr} 1&2\\ -2&0 \end{array} \right] \cdo... ...}\right] \left[\begin{array}{r} 2 0 \end{array}\right] \end{array}\right] =$$

$$=\left[ \begin{array}{rr} 1\cdot 1+2\cdot(-2)&1\cdot2+2\cdot 0 ... ...nd{array} \right]= \left[ \begin{array}{rr} -3&2\\ -2&-4 \end{array} \right].$$

Задача 3. Вычислите определитель

$$\Delta= \left\vert \begin{array}{rrrr} 0&1&2&3\\ 0&1&-1&0\\ 1&-2&-3&0\\ 0&2&4&-2 \end{array} \right\vert.$$

Решение. Все элементы четвертой строки определителя имеют общий множитель $2$, который можно вынести за знак определителя:

$$\Delta= \left\vert \begin{array}{rrrr} 0&1&2&3\\ 0&1&-1&0\\ 1&-... ...y}{rrrr} 0&1&2&3\\ 0&1&-1&0\\ 1&-2&-3&0\\ 0&1&2&-1 \end{array} \right\vert.$$

Получившийся определитель нетрудно вычислить, пользуясь правилом Лапласа и разлагая по первому столбцу. Единственный ненулевой элемент этого столбца находится в третьей строке, поэтому соответствующий ему минор войдет в выражение для определителя со знаком "+": $(-1)^{1+3}=(-1)^4=1$:

$$\Delta= 2\left\vert \begin{array}{rrrr} 0&1&2&3\\ 0&1&-1&0\\ 1&... ...eft\vert \begin{array}{rrr} 1&2&3\\ 1&-1&0\\ 1&2&-1 \end{array} \right\vert=$$

$$=2\cdot(1\cdot(-1)\cdot(-1)+2\cdot 0\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3 - 1\cdot (-1)\cdot 3 -1\cdot 2\cdot (-1)-2\cdot 0 \cdot 1)=24.$$

Задача 4. Решите систему, пользуясь правилом Крамера:

$$\left\{ \begin{array}{rrrrrr} x&-&y&=&2,\\ -x&+&2y&=&5. \end{array}\right.$$

Решение. Согласно правилу Крамера, для решения системы необходимо вычислить определители

$$\Delta =\left\vert \begin{array}{rr} 1&-1\\ -1&2 \end{array}\rig... ...\; \Delta_y=\left\vert \begin{array}{rr} 1&2\\ -1&5 \end{array}\right\vert=7.$$

Искомые $x, y$ равны

$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=9,\; y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=7.$$

Задача 5. Вычислите матрицу, обратную данной: $A=\left[ \begin{array}{rr} 3&1\\ 2&1 \end{array} \right].$
Решение. Вычисляя определитель данной матрицы

$${\rm det} A=\left\vert \begin{array}{rr} 3&1\\ 2&1 \end{array} \right\vert=3\cdot 1-2\cdot 1=1\ne 0,$$

видим, что матрица имеет обратную. Вычисляем алгебраические дополнения $A_{ij}$ элементов матрицы (здесь $M_{ij}$ - минор, получаемый вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент):

$$\begin{array}{ll} A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1,&A_{12}=(-1)^{1+... ...21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1,&A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=3. \end{array}$$

Осталось подставить значения алгебраических дополнений в формулу для вычисления обратной матрицы (обратите внимание на порядок следования алгебраических дополнений!):

$$A^{-1}=\frac{1}{{\rm det} A}\left[ \begin{array}{rr} A_{11}&A_{2... ...} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{rr} 1&-1\\ -2&3 \end{array}\right].$$

Задачи для самостоятельного решения
1. Выполните действия: $A+B,$ $A+B-C,$ $2C^T-B^T,$ $(2C-B)^T.$ Символ $T$ означает транспонирование матрицы.

$$1)\;\; A=\left[\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\ -1&1&-1 \end{array} \... ...ay} \right],\;\; C=\left[\begin{array}{rrr} 1&0&2\\ 0&2&5 \end{array}\right];$$

$$2)\; A=\left[\begin{array}{rrr} 2&0&9\\ 1&-1&0\\ 0&5&-8 \end{ar... ...ht],\; C=\left[\begin{array}{rrr} 8&0&1\\ 0&-1&0\\ 1&0&9 \end{array}\right].$$

2. Для данных матриц $A$ и $B$ выясните, определены ли произведения $AB$, $BA$, $A^2$ и $B^2$. Вычислите те произведения, которые определены.

$$1)\; A=\left[ \begin{array}{rr} 0&2\\ -1&3 \end{array}\right], B... ... \end{array}\right],B=\left[ \begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right];$$

$$3)\;A=\left[ \begin{array}{rrr} 2&-1&6\\ 7&0&0\\ 0&2&-1 \end{array}\right],\; B=\left[ \begin{array}{rrr} 1&0&-2\\ 0&2&-8 \end{array}\right].$$

3. Вычислите и сравните произведения $AB$ и $BA$. Найдите
$AB-BA$.

$$1)\;A=\left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 0&3 \end{array} \right], B... ...nd{array}\right], B=\left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-10 \end{array}\right].$$

4. Вычислите $(AB)^T$, $A^TB^T$, $B^TA^T$ и сравните результаты.

$$1)\;A=\left[ \begin{array}{rr} 5&0\\ -2&1 \end{array} \right], ... ...\end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{rr} 9&0\\ 0&1 \end{array}\right].$$

5. Вычислите определители:

$$1) \left\vert \begin{array}{rr} 5&-2\\ -3&7 \end{array} \right\... ...n{array}{rrrr} 2&1&1&0\\ 0&2&1&0\\ 0&1&2&1\\ 1&0&2&1 \end{array}\right\vert.$$

6. Решите системы, пользуясь правилом Крамера.

$$\begin{array}{ll} 1)\;\left\{ \begin{array}{rrrrr} x&+&y&=&1... ...x&+&y&-&z&=&1,\\ x&+&y&-&z&=&4. \end{array}\right. \end{array}$$

7. Среди данных матриц найдите обратимые и вычислите для них обратные матрицы. Результат проверьте умножением.

$$1)\;\left[ \begin{array}{rr} 2&-1\\ 3&5 \end{array} \right],\; 2... ...\; 4)\;\left[ \begin{array}{rrr} 5&0&1\\ -3&8&-1\\ 0&2&1 \end{array}\right].$$

Далее: II. Элементы математического анализа Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: 3. Системы линейных уравнений