Далее: Лабораторная работа № 3 Вверх: Лабораторная работа № 2 Назад: Описание этапов проведения лабораторной

Описание программы с примером

Перейдем непосредственно к рассмотрению программы "APROXEQU".

Описание программы "APROXEQU" приведем на примере нахождения приближенного значения действительного изолированного корня $x$ уравнения $2x^3 - 5x^2 + 3 = 0$ с заданным значением $\varepsilon = 0,02$ в сопровождении логически расположенных на рис. 3 копий с экрана графического калькулятора.

Для начала работы необходимо из окна главного меню войти в режим программирования "ProGraM" при помощи активации соответствующей пиктограммы нажатием клавиши "EXE". Затем из представленного списка выбрать программу с наименованием "APROXEQU" и активизировать ее аналогичным способом. Началом работы программы является окно приветствия (рис. 3A).

Последовательные нажатия клавиши "EXE" служат для отображения следующих окон:

Окно диалога для ввода в символьном виде уравнения функции, отражающей левую часть уравнения $f\left( x \right) = 0$, то есть $y_1 \left( x \right) = f\left( x \right) \quad [''Y1'']$ (рис. 3B).

Окно построения графика функции, отражающей левую часть уравнения $f\left( x \right) = 0$, то есть $y_1 \left( x \right) = f\left( x \right) \quad [''Y1'']$ (рис. 3C).

Окно диалога для ввода значений $\varepsilon$ ["EPS"] и значения точного решения исходного уравнения $x_R$ ["XR"] с выводом значения функции $y_1 \left( {x_R } \right) = f\left( x \right)$ ["Y1(XR)"] (рис. 3D).

При работе с нижеизложенными меню программы активация определенного пункта осуществляется с помощью последовательного ввода необходимого числа и нажатия клавиши "EXE", при этом в случае ввода ошибочного числа, символа или сочетания чисел и символов с последующей активацией выводится сообщение об ошибке ввода с предложением возврата в данное меню после нажатия клавиши "EXE" для корректного ввода и активации необходимой позиции.

После ввода значений вышеуказанных параметров последующее нажатие клавиши "EXE" приводит к появлению меню со следующими позициями (рис. 3E):

CONTINUE CALCUL (1) - подтверждение продолжения выполнения расчетов.

RELOAD EQ FUNC Y1 (2) - перезагрузка в символьном виде уравнения функции, отражающей левую часть уравнения $f\left( x \right) = 0$, то есть $y_1 \left( x \right) = f\left( x \right) \quad [''Y1'']$, с поочередным отображением соответствующих окон.

RELOAD EPS XR (3) - перезагрузка значений $\varepsilon$ ["EPS"] и точного значения $x_R$ ["XR"] с отображением соответствующего окна.

RELOAD ALL (4) - перезагрузка в символьном виде функции, отражающей левую часть уравнения $f\left( x \right) = 0$, то есть $y_1 \left( x \right) = f\left( x \right) \quad [''Y1'']$, значений $\varepsilon$ ["EPS"] и значения точного решения уравнения $x_R$ ["XR"] с поочередным отображением соответствующих окон.

OR QUIT (5) - выход из программы c предварительно отображающимся прощальным информационным окном.

После выбора подтверждения продолжения выполнения расчетов в результате последовательного ввода цифры "1" и нажатия клавиши "EXE" открывается меню со следующими позициями (рис. 3F):

MET DICHOTOMY (1) - вычисление приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$ с помощью метода дихотомии (бисекции) с поочередным отображением следующих окон (рис. 3G):

Окно диалога метода дихотомии для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$, то есть $a_0^D$ ["A0D"].

Окно поочередного вывода для метода дихотомии значений функции $f\left( {a_0^D } \right)$ ["Y1(A0D)"], первой ${f}'\left( {a_0^D } \right)$ ["d/dx(Y1(A0D))"] и второй ${f}''\left( {a_0^D } \right) \quad [''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(A0D))"] производной для точки с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$.

Окно диалога метода дихотомии для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {b_0^D ,f\left( {b_0^D } \right)} \right)$, то есть $b_0^D$ ["B0D"].

Окно поочередного вывода для метода дихотомии значений функции $f\left( {b_0^D } \right)$ ["Y1(B0D)"], первой ${f}'\left( {b_0^D } \right)$ ["d/dx(Y1(B0D))"] и второй ${f}''\left( {b_0^D } \right) \quad [''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(B0D))"] производной для точки с координатами $\left( {b_0^D ,f\left( {b_0^D } \right)} \right)$.

Окно меню следующего содержания:

CONTINUE CALCUL (1) - подтверждение выполнения продолжения расчетов.

RELOAD A0D B0D (2) - перезагрузка для метода дихотомии (бисекции) значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^D ,f\left( {b_0^D } \right)} \right)$, то есть $a_0^D$ ["A0D"] и $b_0^D$ ["B0D"], с поочередным отображением соответствующих окон и возвратом в данное меню.

OR PREVIOUS (3) - возврат в меню выбора численных методов расчетов.

Окно вывода для метода дихотомии значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^D ,f\left( {b_0^D } \right)} \right)$, то есть $a_0^D$ ["A0D"] и $b_0^D$ ["B0D"].

Окно вывода для метода дихотомии значений для метода дихотомии количества шагов итераций $s_\varepsilon ^D$ ["SEPSD"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$ ["XEPSD"].

Окно вывода для метода дихотомии значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^D - x_R$ ["XEPSD-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^D } \right)$ ["Y1(XEPSD)"].

MET CHORD TANGEN (2) - вычисление приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$ с помощью комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) с поочередным отображением следующих окон (рис. 3H):

Окно диалога комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {a_0^{CT} ,f\left( {a_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $a_0^{CT}$ ["A0CT"].

Окно поочередного вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений функции $f\left( {a_0^{CT} } \right)$ ["Y1(A0CT)"], первой ${f}'\left( {a_0^{CT} } \right)$ ["d/dx(Y1(A0CT))"] и второй ${f}''\left( {a_0^{CT} } \right)$ $[''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(A0CT))"] производной для точки с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$.

Окно диалога комбинированного метода хорд и касательных (метода Ньютона) для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {b_0^{CT} ,f\left( {b_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $b_0^{CT}$ ["B0CT"].

Окно поочередного вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений функции $f\left( {b_0^{CT} } \right)$ ["Y1(B0CT)"], первой ${f}'\left( {b_0^{CT} } \right)$ ["d/dx(Y1(B0CT))"] и второй ${f}''\left( {b_0^{CT} } \right)$ $[''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(B0CT))"] производной для точки с координатами $\left( {b_0^{CT} ,f\left( {b_0^{CT} } \right)} \right)$.

Окно меню следующего содержания:

CONTINUE CALCUL (1) - подтверждение выполнения продолжения расчетов.

RELOAD A0CT B0CT (2) - перезагрузка для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^{CT} ,f\left( {a_0^{CT} } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^{CT} ,f\left( {b_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $a_0^{CT}$ ["A0CT"] и $b_0^{CT}$ ["B0CT"] с поочередным отображением соответствующих окон и возвратом в данное меню.

OR PREVIOUS (3) - возврат в меню выбора методов расчетов.

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) установленного значения абсциссы начальной точки с координатами $\left( {x_0^{CT} ,f\left( {x_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $x_0^{CT}$ ["X0CT"], из которой проводится первая касательная, исходя из значения выражения $f\left( {a_0^{CT} } \right) \cdot {f}''\left( {a_0^{CT} } \right)$ ["Y1(A0CT)$\times$d$^{2}$/dx$^{2}$(Y1(A0CT))"].

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) установленного значения абсциссы начальной точки с координатами $\left( {x_0^{CT} ,f\left( {x_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $x_0^{CT}$ ["X0CT"], из которой проводится первая касательная, исходя из значения выражения $f\left( {b_0^{CT} } \right) \cdot {f}''\left( {b_0^{CT} } \right)$ ["Y1(B0CT)$\times$d$^{2}$/dx$^{2}$(Y1(B0CT))"].

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^{CT} ,f\left( {a_0^{CT} } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^{CT} ,f\left( {b_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $a_0^{CT}$ ["A0CT"] и $b_0^{CT}$ ["B0CT"].

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значения количества шагов итераций $s_\varepsilon ^{CT}$ ["SEPSCT"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$ ["XEPSCT"].

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^{CT} - x_R$ ["XEPSCT-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, равной приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^{CT} } \right)$ ["Y1(XEPSCT)"].

MET ITERATION (3) - вычисление приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$ с помощью метода итераций с поочередным отображением следующих окон (рис. 3H):

Окно диалога метода итераций для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {a_0^I ,f\left( {a_0^I } \right)} \right)$, то есть $a_0^I$ ["A0I"].

Окно поочередного вывода для метода итераций значений функции $f\left( {a_0^I } \right)$ ["Y1(A0I)"], первой ${f}'\left( {a_0^I } \right)$ ["d/dx(Y1(A0I))"] и второй ${f}''\left( {a_0^I } \right) \quad [''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(A0I))"] производной для точки с координатами производной для точки с координатами $\left( {a_0^I ,f\left( {a_0^I } \right)} \right)$.

Окно диалога метода итераций для ввода значения абсциссы точки с координатами $\left( {b_0^I ,f\left( {b_0^I } \right)} \right)$, то есть $b_0^I$ ["B0I"].

Окно поочередного вывода для метода итераций значений функции $f\left( {b0I} \right)$ ["Y1(B0I)"], первой ${f}'\left( {b_0^I } \right)$ ["d/dx(Y1(B0I))"] и второй ${f}''\left( {b_0^I } \right) \quad [''d^{2}$/dx$^{2}$(Y1(B0I))"] производной для точки с координатами $\left( {b_0^I ,f\left( {b_0^I } \right)} \right)$.

Окно меню следующего содержания:

CONTINUE CALCUL (1) - подтверждение продолжения выполнения расчетов.

RELOAD A0I B0I (2) - перезагрузка для метода итераций значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^I ,f\left( {a_0^I } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^I ,f\left( {b_0^I } \right)} \right)$, то есть $a_0^I$ ["A0I"] и $b_0^I$ ["B0I"] с поочередным отображением соответствующих окон и возвратом в данное меню.

OR PREVIOUS (3) - возврат в меню выбора методов расчетов.

Окно диалога для метода итераций вывода в символьном виде уравнения функции $y_2 \left( x \right) = x$ ["Y2"] и ввода в символьном виде уравнения функции $y_3 \left( x \right) = g(x) \quad [''Y3'']$, исходя из неравенств $a_0^I \le y_3 \left( {x^I} \right) \le b_0^I$ ["A0I$\le$Y3$\le$B0I"] и $a_0^I \le x^I \le b_0^I$ ["A0I$\le$XI$\le$B0I"].

Окно совместного построения графиков функций $y_2 \left( x \right) = x$ ["Y2"] и $y_3 \left( x \right) = g(x) \quad [''Y3'']$.

Окно диалога для вывода в символьном виде уравнения функций $y_4 \left( x \right) = {y}'_3 \left( x \right) \quad [''Y4'']$ и $y_5 \left( x \right) = 1 \quad [''Y5'']$.

Окно совместного построения графиков функций $y_4 \left( x \right) = {y}'_3 \left( x \right) \quad [''Y4'']$ и $y_5 \left( x \right) = 1 \quad [''Y5'']$.

Окно диалога метода итераций для ввода значения знаменателя геометрической прогрессии $q \quad [''Q'']$ согласно условию $\left\vert {{g}'(x)} \right\vert < q < 1$, и абсциссы точки начального приближения с координатами $\left( {x_0^I ,f\left( {x_0^I } \right)} \right)$, то есть $x_0^I$ ["X0I"], исходя из неравенства $a_0^I < x_0^I < b_0^I$.

Окно вывода для метода итераций значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^I ,f\left( {a_0^I } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^I ,f\left( {b_0^I } \right)} \right)$, то есть $a_0^I$ ["A0I"] и $b_0^I$ ["B0I"].

Окно вывода для метода итераций значения количества шагов итераций $s_\varepsilon ^I$ ["SEPSI"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$ ["XEPSI"].

Окно вывода для метода итераций значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^I - x_R$ ["XEPSI-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, равной приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^I } \right)$ ["Y1(EPSI)"].

ITOGY (4) - последовательный сравнительный анализ полученных результатов с поочередным отображением следующих окон:

Окно вывода значений $\varepsilon$ ["EPS"] и точного значения действительного корня уравнения $x_R$ ["XR"] (рис. 3J).

Окно вывода для метода дихотомии значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^D ,f\left( {a_0^D } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^D ,f\left( {b_0^D } \right)} \right)$, то есть $a_0^D$ ["A0D"] и $b_0^D$ ["B0D"] (рис. 3G, 3J).

Окно вывода для метода дихотомии значений для метода дихотомии количества шагов итераций $s_\varepsilon ^D$ ["SEPSD"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$ ["XEPSD"] (рис. 3G,3J).

Окно вывода для метода дихотомии значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^D - x_R$ ["XEPSD-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^D$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^D } \right)$ ["Y1(XEPSD)"] (рис. 3G, 3J).

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^{CT} ,f\left( {a_0^{CT} } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^{CT} ,f\left( {b_0^{CT} } \right)} \right)$, то есть $a_0^{CT}$ ["A0CT"] и $b_0^{CT}$ ["B0CT"] (рис. 3H).

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значения количества шагов итераций $s_\varepsilon ^{CT}$ ["SEPSCT"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$ ["XEPSCT"] (рис. 3H).

Окно вывода для комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона) значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^{CT} - x_R$ ["XEPSCT-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, равной приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^{CT}$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^{CT} } \right)$ ["Y1(XEPSCT)"] (рис. 3H).

Окно вывода для метода итераций значений абсцисс точек с координатами $\left( {a_0^I ,f\left( {a_0^I } \right)} \right)$ и $\left( {b_0^I ,f\left( {b_0^I } \right)} \right)$, то есть $a_0^I$ ["A0I"] и $b_0^I$ ["B0I"] (рис. 3I).

Окно вывода для метода итераций значения количества шагов итераций $s_\varepsilon ^I$ ["SEPSI"] и приближенного значения действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$ ["XEPSI"] (рис. 3I).

Окно вывода для метода итераций значений разности между приближенным значением действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$ и его точным значением $x_R$, то есть $x_\varepsilon ^I - x_R$ ["XEPSI-XR"], а также значения функции в точке с абсциссой, равной приближенному значению действительного корня уравнения $x_\varepsilon ^I$, то есть $f\left( {x_\varepsilon ^I } \right)$ ["Y1(EPSI)"] (рис. 3I).

Вывод совокупной таблицы исходных данных и результатов (матрица "Z") (рис. 3J).

OR PREVIOUS (5) - возврат в предыдущее меню.

В ходе выполнения программы результаты всех промежуточных расчетов оседают в списках согласно таблице 6 (доступ возможен только после окончательного выполнения программы и осуществляется через главное меню в режиме выполнения статистических расчетов "STATistics"), тогда как итоговые результаты проецируются в матрицe "Z" согласно таблице 7 (доступ возможен только после окончательного выполнения программы и осуществляется через главное меню в режиме выполнения арифметических и матричных расчетов "RUN.MATrix").

Таблица 6

Содержимое списков List 1...List 20

Список	Содержимое	Список	Содержимое	Список	Содержимое
List 1	$a_N^D$	List 9	$a_N^{CT}$	List 16	$x_{N - 1}^I$
List 2	$f\left( {a_N^D } \right)$	List 10	$f\left( {a_N^{CT} } \right)$	List 17	$x_N^I$
List 3	$b_N^D$	List 11	${f}'\left( {a_N^{CT} } \right)$	List 18	$f\left( {x_N^I } \right)$
List 4	$f\left( {b_N^D } \right)$	List 12	$b_N^{CT}$	List 19	$g\left( {x_N^I } \right)$
List 5	$x_N^D$	List 13	$f\left( {b_N^{CT} } \right)$	List 20	$\left\vert {x_N^I - g\left( {x_N^I } \right)} \right\vert$
List 6	$f\left( {x_N^D } \right)$	List 14	${f}'\left( {b_N^{CT} } \right)$
List 7	${f}'\left( {x_N^D } \right)$	List 15	$\left\vert {b_N^D - a_N^D } \right\vert$
List 8	$\left\vert {b_N^D - a_N^D } \right\vert$

Таблица 7

Содержимое матрицы Z

№	1	2	3	4	5	6	7
1	$\varepsilon$	$a_0^D$	$f\left( {a_0^D } \right)$	${f}'\left( {a_0^D } \right)$	${f}''\left( {a_0^D } \right)$	$a_0^{CT}$	$f\left( {a_0^{CT} } \right)$
2	q	$b_0^D$	$f\left( {b_0^D } \right)$	${f}'\left( {b_0^D } \right)$	${f}''\left( {b_0^D } \right)$	$b_0^{CT}$	$f\left( {b_0^{CT} } \right)$
3	$x_R$	$x_0^D$	$f\left( {x_0^D } \right)$	${f}'\left( {x_0^D } \right)$	${f}''\left( {x_0^D } \right)$	$x_0^{CT}$	$f\left( {x_0^{CT} } \right)$
4	$f\left( {x_R } \right)$	$s_\varepsilon ^D$	$x_\varepsilon ^D$	$x_\varepsilon ^D - x_R$	$f\left( {x_\varepsilon ^D } \right)$	$s_\varepsilon ^{CT}$	$x_\varepsilon ^{CT}$
№	8	9	10	11	12	13
1	${f}'\left( {a_0^{CT} } \right)$	${f}''\left( {a_0^{CT} } \right)$	$a_0^I$	$f\left( {a_0^I } \right)$	${f}'\left( {a_0^I } \right)$	${f}''\left( {a_0^I } \right)$
2	${f}'\left( {b_0^{CT} } \right)$	${f}''\left( {b_0^{CT} } \right)$	$b_0^I$	$f\left( {b_0^I } \right)$	${f}'\left( {b_0^I } \right)$	${f}''\left( {b_0^I } \right)$
3	${f}'\left( {x_0^{CT} } \right)$	${f}''\left( {x_0^{CT} } \right)$	$x_0^I$	$f\left( {x_0^I } \right)$	${f}'\left( {x_0^I } \right)$	${f}''\left( {x_0^I } \right)$
4	$x_\varepsilon ^{CT} - x_R$	$f\left( {x_\varepsilon ^{CT} } \right)$	$s_\varepsilon ^I$	$x_\varepsilon ^I$	$x_\varepsilon ^I - x_R$	$f\left( {x_\varepsilon ^I } \right)$

A		B		C
D		E		F
G			H
I					J

Рис. 3. Скриншоты из программы "APROXEQU"

Далее: Лабораторная работа № 3 Вверх: Лабораторная работа № 2 Назад: Описание этапов проведения лабораторной