Настоящее пособие подготовлено в поддержку лекционно-практического курса дифференциальной геометрии и элементов топологии. Оно содержит первую часть читаемого автором и планируемого к изданию курса лекций и связано с пособием "Дифференциальная геометрия и элементы топологии в задачах, рисунках и комментариях", изданным в 2006 году.
Раздел "Элементы топологии" является в учебной программе педагогического вуза относительно новым. Топология как раздел математики - детище XX века, хотя наблюдения и первые результаты топологического характера встречаются еще в работах Л. Эйлера. Топологические идеи проникли практически во все области математики, а также в современные физику и технику. Без топологических знаний невозможно построение математического анализа, решение сложных систем дифференциальных уравнений (например, описывающих физические поля либо атмосферные явления), а также проектирование микросхем. Без владения началами топологии крайне затруднено понимание дифференциальной геометрии даже в таких ее классических аспектах, как теория кривых и поверхностей. Действительно, каким образом и почему возможно применение аппарата математического анализа, развитого на числовой прямой и на плоскости, к искривленным объектам, которые глобально могут очень отличаться от прямых и плоскостей? Изучение элементов топологии помогает глубже понять ранее изученные разделы аналитической и проективной геометрии и математического анализа, увидеть перспективы дальнейшего изучения геометрии и, наконец, узнать, сколь велико разнообразие идей, методов и объектов математики. Топологические знания являются важной частью математической культуры.
Автор выражает искреннюю благодарность В.А. Краснову, профессору Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, за прекрасные лекции по основам топологии, прочитанные им в ноябре - декабре 2005 года.