Далее: Лекция 2. Непрерывные отображения Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Введение

Лекция 1. Структура топологического пространства

План. Топологическое пространство. Возможность введения различных топологических структур на одном и том же множестве. База топологии. Аксиомы отделимости. Хаусдорфово топологическое пространство. Метрическое пространство как топологическое пространство. Классическая и концентрическая топологии на прямой и плоскости. Топология - структура, задающая близость точек: роль топологии в математическом анализе.

Цель лекции - мотивировать и ввести базовые понятия общей топологии.

Напомним, что базовым понятием всей современной математики является понятие множества. Множество - это набор объектов (произвольной природы), обладающих некоторым признаком. Объекты, принадлежащие множеству $X$, называются элементами множества $X$. Множество $X$ называется счетным, если оно обладает взаимно однозначным отображением (биекцией) на конечное или бесконечное подмножество множества натуральных чисел. В курсах математического анализа доказывается, что существуют несчетные множества; таково, например, множество действительных чисел.

Заметим, что множество само по себе лишено структуры.

Структура топологического пространства, вводимая на произвольном множестве $X$, снабжает элементы множества $X$ свойством "притяжения", или "близости".

Топологическим пространством $(X, \tau)$ называется множество $X$, в котором зафиксирован класс $\tau$ подмножеств, называемых открытыми, удовлетворяющий следующей системе аксиом (аксиомы топологии для открытых подмножеств):
$1^0.$ $X\in \tau$;
$2^0.$ $\emptyset \in \tau$;
$3^0.$ Для любого набора $\{U_{\imath}\}_{\imath \in I},$ $U_{\imath}\in \tau$, выполнено условие $\bigcup_{\imath \in I}U_{\imath}\in \tau.$
$4^0.$ Для любого конечного набора $\{U_i \}_{i=1}^n,$ $U_i \in \tau$, выполнено условие $\bigcap_{i=1}^n U_i\in \tau.$
Элементы множества $X$ называются точками, класс $\tau$ - топологией на множестве $X$.

Требование конечности в $4^0$ является существенным. В самом деле, рассмотрим множество вещественных чисел ${{\mathbb{R}}}$, класс открытых множеств которого определен привычным из курса математического анализа способом. Открытыми считаются подмножества следующих типов: пустое подмножество $\emptyset,$ открытые интервалы вида $(a,b)=\{x\in {{\mathbb{R}}}\vert a<x<b\}$ и их объединения. Очевидно, подмножество $(-\infty, \infty)$ может быть представлено в виде объединения открытых интервалов. Такая топология на числовой прямой называется классической.

Теперь рассмотрим систему вложенных интервалов $(-1/i, 1/i)_{i=1}^{\infty}$, которая обладает единственной общей точкой $\{0\}$. Одноточечное множество на числовой прямой не является открытым в классической топологии.

На одном и том же множестве могут быть введены различные топологии. Например, считая открытыми на множестве вещественных чисел только множества видов $\emptyset$, $(-a,a)$ и $(-\infty, \infty)$, получим концентрическую топологию. Объявляя открытыми любые объединения одноточечных подмножеств любого множества $X$, а также пустое подмножество и само $X$, получим дискретную топологию, превращающую множество $X$ в пространство изолированных точек.

Подпространством $(Y,\tau\vert _Y)\subset (X,\tau)$ топологического пространства $(X, \tau)$ называется подмножество $Y\in X$ со следующей (индуцированной) топологией $\tau\vert _Y$: открытыми в $Y$ являются подмножества вида $U\vert _Y:=U\cap Y$.

Индуцированная топология подпространства

Упражнение. Проверьте, что множества $U\vert _Y$ действительно образуют топологию на множестве $Y$, то есть удовлетворяют аксиомам топологии.

В качестве примера построим топологию подпространства на отрезке $[a,b]$, если на содержащей его прямой введена классическая топология. Открытыми на отрезке $[a,b]$ будут подмножества следующего вида (и только они): $\emptyset,$ $(c,d)\subset [a,b],$ а также $[a,d)$ и $(c,b]$.

Базой топологии пространства $(X, \tau)$ называется подкласс $\tau_B \subset \tau,$ такой, что для всякого открытого подмножества $U\in \tau$ и для всякой точки $p\in U$ найдется такое подмножество $V\in \tau_B$, что $p\in V\subset U$.

Иными словами, подкласс $\tau_B \subset \tau$ является базой топологии $\tau$, если любое открытое множество $U\in \tau$ представимо в виде объединения некоторого набора множеств, принадлежащих подклассу $\tau_B$.

Очевидно, одна и та же топология на множестве $X$ может быть задана различными базами. При этом база полностью определяет топологию: открытыми являются в точности те множества, которые представимы в виде объединения подмножеств базы.

Если пространство $(X, \tau)$ таково, что подкласс $\tau_B$ может состоять из счетного набора подмножеств, то говорят, что $(X, \tau)$ - пространство со счетной базой.

Пример топологического пространства со счетной базой легко построить. Таковым является числовая прямая с классической топологией. База топологии представлена интервалами с концами в рациональных точках. Множество таких интервалов, как нетрудно видеть, счетно. Читателю предлагается построить счетную базу классической топологии на плоскости.

Назовем замкнутым любое множество, дополнение к которому открыто. Замыкание $\bar Y$ подмножества $Y$ в топологическом пространстве $X$ - это пересечение всех открытых в $X$ подмножеств, содержащих подмножество $Y$. Можно доказать, что замыкание $\bar Y$ - это наименьшее (по включению) замкнутое подмножество пространства $X$, содержащее подмножество $Y$. Очевидно, замкнутое подмножество совпадает со своим замыканием, то есть $\bar Y=Y$.

Упражнение. Используя систему вложенных интервалов, докажите, что в классической топологии точка на числовой прямой является замкнутым подмножеством.

Пусть $p\in (X, \tau)$ - точка топологического пространства $(X, \tau)$. Окрестностью точки $p$ называется любое открытое в $X$ подмножество, содержащее точку $p$.

Аксиомы отделимости - это дополнительные ограничения, накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства топологического пространства к привычным свойствам пространства ${{\mathbb{R}}}^n$. Наиболее часто используются следующие аксиомы.

Т1. Для любых двух различных точек $p$ и $q$ существует окрестность точки $p$, не содержащая точку $q$. Это означает, что точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты.

Действительно, если выполнена аксиома Т1, то дополнение к точке $p$ равно объединению всех не содержащих $p$ окрестностей всех отличных от $p$ точек $q$. Объединение любого набора открытых множеств открыто; дополнение к открытому множеству замкнуто. Обратно, если точка - замкнутое множество, то она совпадает со своим замыканием. Это значит, что точка $p$ обладает хотя бы одной окрестностью, не содержащей точку $q$ (иначе бы точка $q\ne p$ принадлежала замыканию точки $p$, что противоречило бы замкнутости точки $p$).

Т2. Для любых двух различных точек $p$ и $q$ существуют непересекающиеся окрестности, то есть множества $U_p\in \tau$ и $U_q \in \tau$, такие, что $U_p \cap U_q=\emptyset$.

Т3. Любая точка и любое не содержащее ее замкнутое множество обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

Упражнение. Докажите, что приведенные формулировки аксиомы Т3 равносильны.

Т4. Любые два непересекающиеся замкнутые множества обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества.

Упражнение. Докажите, что приведенные формулировки аксиомы Т4 равносильны.

Топологическое пространство $(X, \tau)$ называется хаусдорфовым, если оно удовлетворяет аксиоме Т2.

Упражнение. Покажите, что хаусдорфово пространство удовлетворяет аксиоме Т1.

Хаусдорфовыми пространствами являются, например, числовая прямая с классической топологией, а также любое пространство изолированных точек. Числовая прямая с концентрической топологией нехаусдорфова.

Упражнение. Докажите, что подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово.

Именно выполнение аксиомы Т2 на числовой прямой обеспечивает единственность предела числовой последовательности. Более того, нетрудно доказать, что во всяком хаусдорфовом пространстве предел сходящейся последовательности точек единствен. В нехаусдорфовом пространстве предел может быть не один!

Пример нехаусдорфова топологического пространства

Простейший пример нехаусдорфова пространства может быть построен следующим образом. Возьмем два экземпляра ${{\mathbb{R}}}_1$ и ${{\mathbb{R}}}_2$ числовой прямой с классической топологией. Рассмотрим отображение $f: {{\mathbb{R}}}_1\setminus \{0\}\to {{\mathbb{R}}}_2\setminus \{0\}$, такое, что $f(x)=x$. Топологическое пространство ${{\mathbb{R}}}^{\ast}$ получается отождествлением открытых интервалов $(-\infty,0)$ и $(0, \infty )$ на прямых ${{\mathbb{R}}}_1$ и ${{\mathbb{R}}}_2$ посредством отображения $f$. Имеют место отображения числовых прямых ${{\mathbb{R}}}_1$ и ${{\mathbb{R}}}_2$ в пространство ${{\mathbb{R}}}^{\ast}$: $f_i: {{\mathbb{R}}}_i \to {{\mathbb{R}}}^{\ast}$, такие, что каждой точке с ненулевой координатой $x$ ставится в соответствие точка, отвечающая паре $(x, f(x))$ при построении пространства ${{\mathbb{R}}}^{\ast}$. При этом пространство ${{\mathbb{R}}}^{\ast}$ содержит две "точки с нулевой координатой"; это $0_1:=f_1(0)$ и $0_2:=f_2(0)$. Открытыми в пространстве ${{\mathbb{R}}}^{\ast}$ будем считать образы открытых подмножеств числовых прямых ${{\mathbb{R}}}_1$ и ${{\mathbb{R}}}_2$. Тогда точки $0_1$ и $0_2$ не обладают непересекающимися окрестностями. Рассмотрим теперь числовую последовательность $a_1, \dots , a_k,\dots$ с ненулевыми членами, сходящуюся к нулю в ${{\mathbb{R}}}_1$, и такую же последовательность в ${{\mathbb{R}}}_2$. Тогда отображениями $f_1$ и $f_2$ поставляется последовательность, имеющая два предела $0_1 \ne 0_2$.

Метрическим пространством называется множество $X$, снабженное функцией $d: X\times X \to {\mathbb{R}}$, удовлетворяющей следующим аксиомам (аксиомы расстояния):
$1^0.$ Знакоопределенность: $d(p,q)\ge 0$ для любых точек $p\in X$ и $q\in X$.
$2^0.$ Невырожденность: $d(p,q)=0$ тогда и только тогда, когда $p=q.$
$3^0.$ Симметричность: $d(p,q)=d(q,p)$ для любых точек $p\in X$ и $q\in X$.
$4^0.$ Неравенство треугольника: $d(p,q)+d(q,r)\ge d(r,p)$ для любых точек $p\in X$, $q\in X$ и $r\in X$.
Функция $d$ называется функцией расстояния, или метрикой.

Метрическое пространство является топологическим. Индуцированная метрикой $d$ топология на множестве $X$ определяется следующим образом: объявим открытыми подмножества $\emptyset,$ $X$ и всевозможные объединения подмножеств (открытых шаров) вида

$$B_a(p):=\{q\in X\vert d(p,q)<a\}$$

для всех положительных чисел $a$ и точек $p\in X$. Выполнение аксиом $1^0$ - $4^0$ топологического пространства легко проверить самостоятельно.

Любое метрическое пространство с топологией, индуцированной метрикой, хаусдорфово. Действительно, пусть $p$ и $q$ - две различные точки метрического пространства $(X,d)$, и пусть расстояние $d(p,q)$ между ними равно $R$. Тогда в качестве искомых непересекающихся окрестностей можно взять открытые шары $B_{R/3}(p)$ и $B_{R/3}(q)$ радиуса $R/3$ с центрами в точках $p$ и $q$.

Далеко не всякое топологическое пространство допускает метрику, такую, чтобы топология была индуцирована этой метрикой. Например, любое нехаусдорфово пространство не является метризуемым. Это и понятно: образно говоря, оно содержит "слипшиеся" точки. Расстояние между такой парой точек, если бы оно было определено, должно быть отлично от нуля, но эти точки не обладают непересекающимися окрестностями.

Далее: Лекция 2. Непрерывные отображения Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Введение