Далее: Лекция 3. Топологические и Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Лекция 1. Структура топологического

Лекция 2. Непрерывные отображения и их свойства. Гомеоморфизм

План. Непрерывное отображение топологических пространств. Свойства непрерывных отображений. Категория ${{\mathcal T}op}$. Гомеоморфизм. Гомеоморфность топологических пространств как отношение эквивалентности. Локальный гомеоморфизм.

Цель лекции - ввести понятие непрерывного отображения, установить его связь с понятием непрерывной числовой функции, дать строгие доказательства привычных свойств непрерывных отображений, привести пример категории, исследовать понятие гомеоморфизма и дать наглядные примеры гомеоморфных и локально гомеоморфных пространств.

Непрерывным называется отображение $f: (X, \tau) \to (Y, \sigma)$ топологических пространств, при котором выполнено следующее свойство: прообраз $f^{-1}(U)$ каждого открытого в пространстве $Y$ подмножества $U\in \sigma$ является открытым подмножеством в пространстве $X$.

Равносильное определение: непрерывным называется отображение, при котором прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Упражнение. Проверьте эквивалентность двух определений непрерывного отображения.

Также нам потребуется определение отображения, непрерывного в точке.

Отображение $f: (X, \tau) \to (Y, \sigma)$ топологических пространств называется непрерывным в точке $x_0\in X,$ если для всякой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что $f(U)\subset V.$

Сравним это общее определение с привычным определением непрерывной в точке числовой функции из курса математического анализа. Функция $f:D\to E$ непрерывна в точке $x_0\in D$, если выполнено условие:

$$\forall \epsilon>0 \;\exists \delta>0\vert\; \vert x-x_0\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<\epsilon.$$

Числовая прямая является метрическим пространством с метрикой вида $d(x,x_0)=\vert x-x_0\vert,$ поэтому, выбрав окрестности точек в виде открытых шаров (которые в данном случае являются открытыми интервалами), получим определение функции, непрерывной в точке.

Можно доказать, что отображение топологических пространств $f: (X, \tau) \to (Y, \sigma)$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке.

В самом деле, если отображение $f:X\to Y$ непрерывно, а $V$ - окрестность точки $f(x)$, то ее прообраз $f^{-1}(V)$ является окрестностью точки $x$, причем $f(f^{-1}(V))\subset V$. Обратно, если отображение $f$ непрерывно в каждой точке и $V$ - открытое множество в пространстве $Y$, то каждая точка множества $f^{-1}(V)$ обладает окрестностью, образ которой принадлежит множеству $V$. Таким образом, прообраз $f^{-1}(V)$ является объединением открытых подмножеств, следовательно, он открыт в пространстве $X$.

Теперь обратимся к простейшим свойствам непрерывных отображений топологических пространств.

Теорема 1. Тождественное отображение топологического пространства в себя непрерывно.

Для доказательства рассмотрим тождественное отображение $id_X: X\to X$, переводящее каждую точку пространства $X$ в себя. Пусть $U\in \tau$ - открытое подмножество, тогда, очевидно, $id_X^{-1}(V)=V$ и, следовательно, $id_X^{-1}(V)\in \tau$, что и требовалось.

Теорема 2. Для любого пространства $(X, \tau)$ постоянное отображение $c: X \to \{\bullet \}$, где $\{\bullet \}$ - одноточечное пространство, непрерывно.

Доказать это свойство читателю предлагается в качестве упражнения.

Теорема 3. Отображение вложения подпространства в топологическое пространство непрерывно.

Действительно, рассмотрим вложение подпространства $i:Y\hookrightarrow X$, и пусть $V\!\in \!\tau$ - произвольное открытое в $X$ подмножество. Тогда $i^{-1}(V)=V\cap i(Y)$ - открытое в $Y$ подмножество, согласно определению топологии подпространства.

К доказательству теоремы о композиции

Теорема 4. Композиция непрерывных отображений топологических пространств непрерывна.

Для доказательства рассмотрим непрерывные отображения топологических пространств $f: X\to Y\;$ и $\;g: Y\to Z\;$ и их композицию

$$X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y\stackrel{g}{\longrightarrow}Z.$$

Пусть $V$ - произвольное открытое подмножество пространства $Z$. Его прообраз относительно композиции $\;g{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f$ равен

$$(g{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f)^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V)).$$

По определению непрерывного отображения, подмножество $g^{-1}(V)$ открыто в пространстве $Y$, а подмножество $f^{-1}(g^{-1}(V))$ открыто в пространстве $X$.

Совокупность подмножеств $\{V_{\alpha}\vert\alpha\in \rm A\}$ называется покрытием множества $X$, если $\bigcup_{\alpha\in \rm A}V_{\alpha}=X$. Здесь символом $\rm A$ обозначено множество индексов, нумерующих элементы покрытия $V_{\alpha}$, при этом мощность покрытия может быть счетной (конечной или бесконечной) или несчетной. Покрытие топологического пространства $X$ называют открытым, если все составляющие его подмножества $V_{\alpha}$ открыты в $X$. Топологическое пространство $X$ называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное покрытие.

Ясно, что конечное множество, наделенное дискретной топологией, компактно, а бесконечное множество с дискретной топологией некомпактно. Менее тривиальный пример некомпактного топологического пространства - хорошо знакомое читателю евклидово вещественное пространство ${{\mathbb{R}}}^n$, топология которого задана с помощью метрики $d(\vec x, \vec y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots +(x_n-y_n)^2}.$ Для доказательства некомпактности пространства ${{\mathbb{R}}}^n$ достаточно указать одно его открытое покрытие, которое не содержит конечного подпокрытия. Такое покрытие образуют открытые шары радиуса $\sqrt{n}$, центры которых расположены во всех точках с целочисленными координатами. Действительно, такие шары образуют покрытие, причем любой конечный набор таких шаров покрытия не образует.

Теорема 5. Пусть $f:X\to Y$ - сюръективное непрерывное отображение топологических пространств. Если $X$ - компактное топологическое пространство, то и $Y$ компактно.

Действительно, пусть $\Delta$ - открытое покрытие пространства $Y$. Множества $f^{-1}(V)$ для $V\in \Delta$ составляют открытое покрытие пространства $X$, и если $U_1, \dots , U_s$ - его конечное подпокрытие, то $f(U_1), \dots , f(U_s)$ - конечное подпокрытие покрытия $\Delta$ пространства $Y$.

Теперь обратимся к понятию категории.

Категория состоит из двух классов - класса объектов и класса морфизмов, - удовлетворяющих требованиям :
1. Для каждой пары объектов $X,Y$ определено множество $Mor (X,Y)$ морфизмов из $X$ в $Y$;
2. Для каждой тройки объектов $X,Y,Z$ определено отображение

$$\mu: Mor(X,Y)\times Mor(Y,Z)\to Mor(X,Z),$$

ставящее в соответствие двум морфизмам $f:X\to Y$ и $g: Y\to Z$ их композицию $\mu(f,g)=g{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f: X\to Z$.
3. Множества $Mor (X,Y)$ и композиция морфизмов удовлетворяют аксиомам:
а) композиция ассоциативна: для каждой тройки морфизмов

$$T\stackrel{f}{\to} X\stackrel{g}{\to} Y \stackrel{h}{\to} Z$$

имеет место равенство $h{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}(g{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f)=(h{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}g){{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f$;
б) для каждого объекта $X$ существует тождественный морфизм $id_X:X \to X,$ такой, что любых объектов $T$ и $R$ и для любых морфизмов $f: T\to X$ и $g: X\to R$ имеют место равенства $id_X {{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f=f$, $g{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}id_X=g$;
в) если пары $(X,Y)$ и $(X',Y')$ различны, то пересечение множеств $Mor (X,Y)$ и $Mor(X',Y')$ пусто.

Рассматривая в качестве объектов все топологические пространства (то есть все множества со всевозможными топологиями на них) и в качестве морфизмов все возможные непрерывные отображения между топологическими пространствами, получим категорию ${{\mathcal T}op}$ топологических пространств (и непрерывных отображений). Читателю также знакомы категории множеств (и их отображений), векторных пространств (и их линейных отображений), групп (и их гомоморфизмов) и колец (и их гомоморфизмов).

Отображение $f: (X, \tau) \to (Y, \sigma)$ топологических пространств называется гомеоморфизмом, если оно
1) непрерывно,
2) взаимно однозначно,
3) обладает непрерывным двусторонним обратным отображением $f^{-1}$, то есть таким непрерывным отображением $f^{-1}: Y\to X$, что $f{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f^{-1}=id_Y$, $f^{-1}{{\mbox{\scriptsize $\circ $}}}f=id_X$.

Для любого неодноточечного пространства $(X, \tau)$ постоянное отображение $c: X \to \{\bullet \}$ не является гомеоморфизмом (оно не взаимно однозначно и тем более не обратимо).

Из непрерывности обратимого отображения $f:X\to Y$ не следует непрерывность обратного отображения $f^{-1}$. Пусть $f:X\to X$ - тождественное отображение непустого множества $X,$ наделенного дискретной топологией, в то же множество $X$, наделенное любой другой топологией. Такое отображение непрерывно (проверьте!). Обратное отображение $f^{-1}$ не является непрерывным.

Приведем примеры гомеоморфных топологических пространств, известных из других курсов геометрии.

Пример гомеоморфизма

1. Параболоид вращения, заданный в трехмерном евклидовом пространстве уравнением $2pz=x^2+y^2$, гомеоморфен евклидовой плоскости.

Для построения отображения, осуществляющего гомеоморфизм, будем считать, что плоскость задана уравнением $z=0$ (рис. 4). Отображение $f$ - проектирование параболоида на плоскость $xOy$ параллельно координатной оси $Oz$ - задается в координатах следующим образом:

$$f:(x,y,z) \mapsto (x,y,0).$$

Обратное отображение плоскости на параболоид имеет вид:

$$f^{-1}:(x,y,0)\mapsto (x,y,(x^2+y^2)/2p).$$

Оба отображения заданы непрерывными функциями и, следовательно, непрерывны, что и доказывает гомеоморфизм.

2. Трехосный эллипсоид гомеоморфен сфере.

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Уравнение сферы с центром в начале координат: $x^2+y^2+z^2=R^2.$ Отображение эллипсоида на сферу, осуществляющее гомеоморфизм, задается в координатах следующим образом:

$$(x,y,z)\mapsto$$   ($$\frac{R}{a}x,\;\frac{R}{b}y,\;\frac{R}{c}z$$)$$.$$

Гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми подмножествами гомеоморфных топологических пространств. В самом деле, в силу непрерывности отображения $f:(X,\tau_X)\to (Y,\tau_Y)$, осуществляющего гомеоморфизм, прообраз любого открытого в $Y$ множества открыт, то есть

$$f$$      непрерывно  $$\Rightarrow \;\forall U\in \tau_Y\; f^{-1}(U)\in \tau_X.$$

Аналогично, в силу непрерывности обратного отображения прообраз при отображении $f^{-1}$ любого открытого в $X$ множества также открыт:

$$f^{-1}$$      непрерывно  $$\Rightarrow \;\forall V\in \tau_X\; (f^{-1})^{-1}(V)=f(V)\in \tau_Y.$$

Доказанное означает, что если некоторое топологическое утверждение верно для одного из двух гомеоморфных топологических пространств, то такое же утверждение верно для другого. Гомеоморфные пространства топологически неразличимы, поэтому о них говорят, что они имеют один топологический тип.

Отношение гомеоморфности в классе топологических пространств рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности (докажите!)

Отображение $f:X\to Y$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $p$ пространства $X$ имеется такая окрестность $U_p$, что ограничение $f\vert U_p : U_p \to Y$ отображения $f$ осуществляет гомеоморфизм окрестности $U_p$ на ее образ $f(U_p)\subset Y$. При этом пространства $X$ и $Y$ называются локально гомеоморфными.

Топологические пространства могут быть негомеоморфными, но локально гомеоморфными. Таковы, например, тор (компактное пространство) и евклидова плоскость (некомпактное пространство.)

Пример локального гомеоморфизма

Действительно, представим тор как поверхность, образованную вращением окружности около оси, лежащей в плоскости окружности и не пересекающей ее. Тогда точки тора снабжаются угловыми координатами, например, так, как показано на рисунке 5. Положительные углы $\varphi$ отсчитываются от положительного направления оси $Ox$ в сторону положительного направления оси $Oy$, положительные углы $\psi$ отсчитываются от плоскости $xOy$ в сторону положительного направления оси $Oz$. Тогда область, соответствующая значениям угловых координат $\varphi_1<\varphi<\varphi_2$ и $\psi_1<\psi<\psi_2$, гомеоморфна прямоугольнику (рис. 6).

Пример локального гомеоморфизма

Локальные гомеоморфизмы чрезвычайно важны в дифференциальной геометрии, а точнее - при построении дифференциального и интегрального исчислений на геометрических объектах, отличных от евклидова пространства ${{\mathbb{R}}}^n$ (например, прямой ${{\mathbb{R}}}$ или плоскости ${{\mathbb{R}}}^2$).

Далее: Лекция 3. Топологические и Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Лекция 1. Структура топологического