Далее: Библиографический список Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Лекция 3. Топологические и

Лекция 4. Симплексы и триангуляции. Топологическая классификация поверхностей

План. Определения евклидова и топологического симплексов. Триангуляция топологического многообразия. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Характеристика Эйлера топологического многообразия и ее топологическая инвариантность. Топологическая классификация поверхностей. Векторные поля на многообразии. Топологические эффекты в физике.

Цель лекции - обосновать способ "упрощения" многообразия - триангуляцию - и построить один из простейших численных топологических инвариантов - эйлерову характеристику. Дать представление о задачах классификации в геометрии и перечислить классы гомеоморфизма поверхностей. Ввести понятие векторного поля и интерпретацию эйлеровой характеристики с помощью векторных полей.

Евклидовым $n$-мерным симплексом (рис. 15 а)) называется множество $\Delta^n=\{(x_0,x_1,\dots,x_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}\vert x_0+x_1+\dots +x_n=1,\; x_i\ge 0,\; i=0,\dots ,n\}.$

$l$-Мерной гранью евклидова симплекса $\Delta^n$ называется евклидов симплекс $\Delta ^l_{i_1,\dots, i_{n-l}}=\{(x_0,x_1,\dots,x_n)\in \Delta^n\vert x_{i_1}=\dots = x_{i_{n-l}}=0,$ $\{i_1,\dots, i_{n-l}\}\subset \{0, \dots, n\}\}$

а) Евклидов симплекс б) Топологический симплекс

Топологическим $n$-мерным симплексом в многообразии $X$ (рис. 15 б)) называется образ евклидова $n$-мерного симплекса при таком его отображении $f: \Delta^n \to X$ в многообразие $X$, что индуцированное им отображение $f: \Delta^n \to f(\Delta ^n)$ - гомеоморфизм.

В дальнейшем мы не будем делать различия в обозначениях между топологическим симплексом и соответствующим ему евклидовым симплексом.

Различные топологические симплексы $\Delta^{n_1}$ и $\Delta^{n_2}$ назовем примыкающими правильно (рис. 16), если выполнено одно из условий:
1) симплексы не пересекаются;
2) симплексы имеют общую грань, являющуюся их пересечением;
3) один из симплексов является гранью другого.

Правильное примыкание симплексов

Триангуляцией топологического многообразия $X$ называется представление его в виде объединения некоторого набора симплексов, причем различные симплексы примыкают правильно, и грань любого симплекса не может быть инцидентна грани того же симплекса.

Занумеруем вершины $n$-мерного симплекса $\Delta$ по правилу: вершина с номером $k$ имеет координаты $(0, \dots, 0,1,0,\dots,0)$ (координата с номером $k$ равна 1) и зафиксируем направление обхода, то есть порядок перечисления его вершин, задаваемый подстановкой $$\left( \begin{array}{cccc} 0&1&\dots &n\\ i_0&i_1&\dots &i_n \end{array}\right)$$ (рис. 17). Два направления обхода $$\left( \begin{array}{cccc} 0&1&\dots &n\\ i_0&i_1&\dots &i_n \end{array}\right)$$ и $$\left( \begin{array}{cccc} 0&1&\dots &n\\ j_0&j_1&\dots &j_n \end{array}\right)$$ одного симплекса $\Delta$ называются равными, если задающие их подстановки имеют одинаковую четность, и противоположными, если задающие их подстановки имеют различную четность.

Ориентированные симплексы

Ориентацией симплекса $\Delta$ называется класс равных направлений его обхода. Симплексы одинаковых размерностей $\Delta _1$ и $\Delta _2$ с общей гранью $\Delta _1 \cap \Delta _2$ согласованно ориентированы, если их ориентации на общей грани противоположны (рис. 17).

Топологическое многообразие называется ориентируемым, если оно допускает триангуляцию, симплексы которой можно ориентировать согласованно, и неориентируемым в противном случае.

Можно показать, что ориентируемость (неориентируемость) многообразия не зависит от выбора его триангуляции.

Ориентируемыми многообразиями являются, например, евклидова плоскость, сфера и тор, неориентируемыми - лист Мебиуса, вещественная проективная плоскость и бутылка Клейна.

Покажем, что лента Мебиуса является неориентируемым многообразием. Для этого выберем ее триангуляцию и ориентируем последовательно каждый ее симплекс так, чтобы он был ориентирован соответственно предыдущему (рис. 18). Тогда найдется ребро $AA'$, на котором индуцированы одинаковые ориентации.

Лист Мебиуса как неориентируемое многообразие

Ориентации двумерного симплекса на поверхности может быть поставлено в соответствие одно из двух возможных направлений нормали во внутренней точке симплекса. Это может быть сделано по известному из курсов аналитической геометрии и физики правилу буравчика. Направление нормали в точке поверхности указывает одну из двух сторон поверхности в окрестности этой точки. Если поверхность ориентируема, то задание ориентации фиксирует семейство направлений нормалей поверхности, причем направление нормали в точке не меняется при обходе любого замкнутого контура на поверхности, содержащего эту точку. Таким образом, гипотетический наблюдатель, совершающий путешествие по ориентируемой поверхности, всегда остается с одной ее стороны и не может попасть на другую. В этом смысле ориентируемые поверхности называют двусторонними. В случае неориентируемой поверхности ситуация обратная (рис. 19).

Лист Мебиуса как односторонняя поверхность

Существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется на противоположное. При путешествии по такому контуру гипотетический наблюдатель, обойдя маршрут один раз, вернется в исходную точку, но окажется с другой стороны поверхности. Поэтому неориентируемые поверхности называют односторонними.

В курсе аналитической геометрии вводились ориентации на плоскости и в пространстве. Это делалось с помощью фиксации одного из двух классов базисов: матрица перехода между базисами одного класса имеет положительный определитель. Зафиксировав любой базис выбранного класса ориентации, получим направление обхода вершин евклидова симплекса. Таким образом, выбор ориентации как класса базисов евклидова пространства определяет ориентацию евклидова симплекса и, следовательно, его образа при гомеоморфизме в топологическое многообразие.

Ограничимся рассмотрением многообразий, допускающих триангуляцию из конечного числа симплексов.

Топологической эйлеровой характеристикой, или характеристикой Эйлера - Пуанкаре, данной триангуляции многообразия $X$ называется число

$$\chi (X)=\sum \limits_{i=0}^n (-1)^n q_i,$$

где $q_i$ - число симплексов размерности $i$ в данной триангуляции.

В подробных курсах топологии доказывается, что значение эйлеровой характеристики зависит от многообразия $X$, но не от выбора его триангуляции. Также можно показать, что эйлеровы характеристики гомеоморфных многообразий равны.

Для этого достаточно заметить, что, если задан гомеоморфизм $f:X\to Y$, то триангуляция топологического многообразия $X$ индуцирует триангуляцию на топологическом многообразии $Y$. Тогда числа симплексов каждой размерности в согласованных таким образом триангуляциях многообразий $X$ и $Y$ соответственно равны, что и доказывает равенство их эйлеровых характеристик.

Последнее свойство означает неизменность эйлеровой характеристики при гомеоморфизмах и называется топологической инвариантностью эйлеровой характеристики.

Вещественная проективная плоскость и ее триангуляция

Вычислим эйлерову характеристику вещественной проективной плоскости ${{\mathbb{R}}}P^2$. Проективная плоскость может быть получена склейкой двух пар противоположных сторон прямоугольника с обращением направления обхода, как показано на рисунке 20 а). Одна из возможных триангуляций проективной плоскости показана на рис. 20 б). Заметим, что на схеме склейки одна и та же точка может иметь несколько изображений. Например, точки сторон прямоугольника имеют по два изображения. Кроме того, некоторые грани триангуляции имеют по два изображения, отождествляемые склейкой. Таковы грани $a_1$, $a_2,$ $a_3,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3$. Остальные грани имеют по одному изображению. Подсчитаем число (двумерных) граней, ребер (одномерных граней) и вершин (нульмерных граней) триангуляции: $q_2=18,$ $q_1=27,$ $q_0=10.$ Таким образом, эйлерова характеристика проективной плоскости равна $\chi ({{\mathbb{R}}} P^2)=1.$

В различных областях математики ставятся и решаются так называемые задачи классификации: разбить все объекты данной категории на классы эквивалентности, перечислить все классы эквивалентных объектов данной категории и доказать, что каждый объект данной категории принадлежит одному из классов. Простейший пример задачи классификации - классификация конечномерных векторных пространств над фиксированным полем. Отношение эквивалентности в этом случае задается изоморфизмом векторных пространств. Тогда известная теорема алгебры об изоморфизме векторных пространств одной размерности над одним и тем же полем приобретает смысл теоремы классификации. Все конечномерные векторные пространства над данным полем подразделяются на классы изоморфных пространств, различающиеся размерностью и только ею.

Тор рода $g$

Теперь обратимся к замкнутым (то есть компактным и без края) ориентируемым поверхностям. Пусть $M_g$ - связная сумма $g$ двумерных торов, то есть $M_g:=T^2\sharp T^2\sharp \dots \sharp T^2$ (рис. 21). Такое многообразие назовем тором рода $g$. Положим по определению, что при $g=0$ тор рода 0 - сфера $S^2$.

В подробных курсах топологии доказывается, что любая компактная ориентируемая поверхность без края гомеоморфна тору рода $g$ при подходящем значении параметра $g\ge 0$.

Неориентируемая поверхность рода $g$

Пусть $_gM$ - связная сумма $g$ вещественных проективных плоскостей $_gM={{\mathbb{R}}}\!P^2\sharp {{\mathbb{R}}}\!P^2 \sharp \dots \sharp {{\mathbb{R}}} P^2$ (рис. 22). Очевидно, эта поверхность неориентируема при любых натуральных значениях числа $g$. Любая компактная неориентируемая поверхность без края гомеоморфна многообразию $_gM$ при подходящем значении параметра $g>0$. Число $g$ называется родом неориентируемой поверхности.

Конструирование ориентируемых и неориентируемых замкнутых поверхностей может быть интерпретировано иначе. В ориентируемом случае присоединение тора, увеличивающее род поверхности на 1, можно представить как приклеивание ручки, которое состоит из следующих операций:
1) вырезание из поверхности двух непересекающихся дисков,
2) приклеивание боковой поверхности цилиндра $S^1 \times I$ к краю образовавшегося многообразия.
Читателю предлагается нарисовать операцию приклеивания ручки к сфере и тору рода 1.

В неориентируемом случае присоединение проективной плоскости, увеличивающее род поверхности на 1, можно представить как вклеивание листа Мебиуса, которое состоит из следующих операций:
1) вырезание из поверхности одного диска,
2) приклеивание листа Мебиуса к краю образовавшегося многообразия.
Заметим, что лист Мебиуса имеет край, гомеоморфный окружности, поэтому вторая операция возможна.

То, что присоединение проективной плоскости равносильно вклеиванию листа Мебиуса, нетрудно понять, если доказать, что приклеивание диска к листу Мебиуса по его границе приводит к проективной плоскости.

Построение проективной плоскости

Для этого рассмотрим развертку листа Мебиуса (рис. 23 а)), в которой отождествляемые стороны обозначены буквой $a$. Приклеиваемый диск изобразим в виде квадрата со сторонами $b,b',c,c'$. Разрежем его вдоль диагонали $d$; способ склейки двух половин квадрата показан стрелками (рис. 23 б)). Приклеим половины квадрата к свободным сторонам развертки листа Мебиуса, соблюдая порядок обхода сторон квадрата так, как показано на рис. 23 в). Получим развертку проективной плоскости.

Докажем, что связная сумма двух проективных плоскостей гомеоморфна бутылке Клейна. Представим каждую из проективных плоскостей как результат склеивания противолежащих точек границы диска (рис. 24). Удалим из каждой проективной плоскости диск, ограниченный на рисунке дугой $c$. Формирование связной суммы задается отождествлением дуг $c$, принадлежащих оставшимся частям проективных плоскостей. При этом получается развертка $aabb$ с направлениями склейки, указанными на рисунке. Чтобы определить вид поверхности, представленной полученной разверткой, разрежем ее вдоль диагонали $d$ и выполним отождествление сторон $b$ с учетом направлений. При этом получим развертку неориентируемой поверхности, называемой бутылкой Клейна.

Замечание. "Смешанная" связная сумма $T^2 \sharp \dots \sharp T^2 \sharp {{\mathbb{R}}}\!P^2 \sharp \dots \sharp {{\mathbb{R}}}\! P^2$ неориентируема и гомеоморфна многообразию $_gM$ подходящего рода.

Конструирование бутылки Клейна из двух проективных плоскостей

Топологические классы ориентируемых и неориентируемых поверхностей с краем получаются из классов поверхностей без края удалением некоторого числа непересекающихся дисков. Таким образом, класс ориентируемой (неориентируемой) поверхности с краем определяется двумя числами: родом, то есть числом приклеенных ручек (соответственно, листов Мебиуса), и числом удаленных дисков, то есть числом компонент края.

Векторным полем $V$ на многообразии $X\subset {{\mathbb{R}}}^N$ называется функция, ставящая в соответствие каждой точке $x\in X$ многообразия $X$ касательный вектор к многообразию в этой точке.

Пусть $V$ - векторное поле с изолированными нулями на компактном ориентируемом многообразии $X$. Каждому такому векторному полю может быть поставлено в соответствие число (подсчитанных по определенному правилу) точек, в которых векторное поле обращается в нуль. Теорема Хопфа об индексе утверждает, что это число равно эйлеровой характеристике многообразия $X$.

Теорема Хопфа объясняет наличие в каждый момент времени в атмосфере таких явлений, как циклоны и антициклоны. Земная поверхность имеет топологию сферы, эйлерова характеристика которой равна двум. В качестве векторного поля рассмотрим поле скоростей воздушных масс. Тогда в каждый момент времени такое векторное поле, по теореме Хопфа, имеет не менее двух нулей.

Одной из проблем космологии (области физики, изучающей возникновение и эволюцию Вселенной как физической системы) является вопрос о топологии пространства-времени Вселенной как четырехмерного многообразия.

Далее: Библиографический список Вверх: Дифференциальная геометрия и элементы Назад: Лекция 3. Топологические и