Далее: ІІІ. Сравнение результатов исследования Вверх: ІІ. Средние величины результатов Назад: 2.2. Методика определения медианы

2.3. Методика определения средней арифметической величины

Средняя арифметическая величина выборки

характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений:

где $x_{i}$ - значение конкретного показателя,

$\Sigma$- $\eta$нак суммирования,

$n$ - число показателей (случаев).

Практическое задание: рассчитать среднее арифметическое значение измерений силы кисти спортсмена по следующим результатам: 46, 50, 59, 60, 55, 49 кг.

Среднее арифметическое дает возможность:

1) охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом;

2) сравнить отдельные величины со средним арифметическим;

3) определить тенденцию развития какого-либо явления;

4) сравнить разные совокупности;

5) вычислить другие статистические показатели, так как многие статистические вычисления опираются на среднее арифметическое.

Однако одно только среднее арифметическое не дает возможности глубоко анализировать сущность того или иного явления и их взаимные различия!

Вычисление среднего квадратического (стандартного) отклонения

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения.

Стандартное отклонение обозначается знаком $\sigma$ (сигма) и вычисляется по формуле:

где $\Sigma (x$ - )$^{2}$ - сумма разности квадратов между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

$n$ - объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. $n \le$30, используется формула:

Порядок вычислений (1 вариант):

1. Заполнить первые две колонки таблицы расчетов (вычисление стандартного отклонения на примере показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии).

Таблица 2

Вычисление среднего квадратического отклонения

2. Рассчитать среднюю арифметическую величину:

$_{ = (46 + 50 + 59 + 60 + 55 + 49) : 6 = 53,16 {к}{г}}$

3. Вычислить разность между каждым показателем и данной средней (третья колонка таблицы).

4. Полученные разности возвести в квадрат и суммировать (четвертая колонка таблицы).

5. Вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле:

Порядок вычислений (2 вариант):

Более простой способ вычисления стандартного отклонения осуществляется по следующей формуле:

где $Х_{imax}$ -$_{ }$наибольшее значение показателя; Х$_{imin}$ - наименьшее значение показателя; $К -$ табличный коэффициент (табл. 3).

Таблица 3

Значение коэффициента К

Чем меньше величина $\sigma$, тем плотнее результаты около средней, что может говорить как о стабильности показателей одного испытуемого, так и ровности результатов группы или одинаковой подготовленности спортсменов.

Вычисление стандартной ошибки средней арифметической

Выборка результатов (какой бы она не была большой) не совпадает по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Например, результаты физической подготовленности мастеров спорта одной спортивной школы не могут точно характеризовать результаты всех мастеров спорта страны. Величина отклонения выборочной средней от ее генерального параметра называется статистической стандартной ошибкой выборочного среднего арифметического. Иногда этот показатель называется просто ошибкой средней.

Этот показатель обозначается символом $m$ и рассчитывается по формулам:

где $\sigma$ - среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности;

$n$ - объем выборки (число измерений или испытуемых).

Значение стандартной ошибки средней арифметической ($m)$ указывает, насколько изменится среднее значение, если его перенести на всю генеральную совокупность.

Например, при измерениях у 20 спортсменов угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней стартовой колодке, был получен следующий результат:

$_{\pm }m_{ = 111^{o} \pm 2^{o}.}$

Это обозначает, что полученная средняя арифметическая величина $\overline x =111^{o}$ в других аналогичных исследованиях может иметь значения от $109^{o}(111-2=109)$ до ${113^{o} (111 + 2 = 113)}$.

Практическое задание: студенты рассчитывают m среднего арифметического силы кисти руки спортсмена и делают вывод по следующим исходным данным:

$_{ = 53,16 {к}{г}; n = 6; \sigma = 5,7 {к}{г}}$

Далее: ІІІ. Сравнение результатов исследования Вверх: ІІ. Средние величины результатов Назад: 2.2. Методика определения медианы