Далее: §10. Вероятность и числовые Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §8. Схема Бернулли


§9. Приближенные формулы для схемы Бернулли

Нахождение вероятностей $P_{n}(m)$ по формуле Бернулли при достаточно больших значениях $n$ сопряжено с большим числом вычислений. Это обстоятельство было отмечено в ряде работ математиков начала XVIII века, посвященных демографическим проблемам. Возникла необходимость в асимптотических формулах как для $P_{n}(m)$, так и для $\sum\limits_{m = m_1 }^{m_2 } {P_n (m)} .$

Из локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа следует приближенная формула


\begin{displaymath} P_n (m) \approx {\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt {np... ...\displaystyle m - np\over\displaystyle \sqrt {npq} }} \right), \end{displaymath}

где $\varphi (x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt {2\pi } }e^{ - {\displaystyle x^2\over\displaystyle 2}}$ и таблица значений функции $\phi $ приведена в приложении 1.

Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует приближенная формула для вычисления числа "успехов" от $m_{1}$ до $m_{2}$


\begin{displaymath} P_n (m_1 \le m \le m_2 ) \approx \Phi \left( {{\displaystyle... ...isplaystyle m_1 - np\over\displaystyle \sqrt {npq} }} \right), \end{displaymath}

где $\Phi (x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sqrt {2\pi } }\int\limits_0^x {{\rm e}^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} $ - функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Из предельной теоремы Пуассона следует приближенная формула


\begin{displaymath} P_n (m) \approx {\displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle m!} \cdot {\rm e}^{ - \lambda }, \end{displaymath}

причем $\lambda =np$, а таблица значений функции ${\displaystyle \displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle \displaystyle m!} \cdot{\rm e}^{ - \lambda }$имеется в приложении 3.

Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона применяются в тех случаях, когда рассматриваются испытания, удовлетворяющие схеме Бернулли. При этом важно правильно выбрать соответствующую формулу.

Пример 41. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.

Решение. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с двумя исходами и постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, схема Бернулли применима. Поскольку $n$ достаточно велико, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа при $n$ = 400, $m$ = 315, $p$ = 0,8.


\begin{displaymath} P_{400} (315) \approx {\displaystyle 1\over\displaystyle \sq... ...ht) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 8}\varphi ( - 0,625). \end{displaymath}

По таблице значений $\phi $ находим $\phi $(0,625) $ \approx $ 0,33, т.к. функция $\phi $ четная.


\begin{displaymath} P_{400} (315) \approx {\displaystyle 1\over\displaystyle 8} \cdot 0,33 \approx 0,04. \end{displaymath}

Пример 42. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий первого сорта будут от 300 до 340 изделий.

Решение. По условию задачи $n$ = 400, $m_{1}$ = 300, $m_{2}$ = 340, и для вычисления $P_{400}(300\le m \le 340)$ используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:


\begin{displaymath} \begin{array}{l} P(300 \le m \le 340) \approx \Phi \left( {... ...) = 2\Phi (2,5) \approx 2 \cdot 0,494 = 0,988. \\ \end{array}\end{displaymath}

Пример 43. Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 ручек.

Решение. Применим формулу Пуассона для $n$ = 5000, $p$ = 0,0002 и $\lambda = 5000 \cdot 0,0002 = 1,$ находя приближенные значения соответствующих вероятностей в приложении 3. Тогда


\begin{displaymath} P_{5000} (0) + P_{5000} (1) + P_{5000} (2) + P_{5000} (3) \approx 0,34 + 0,37 + 0,18 + 0,06 = 0,98. \end{displaymath}

Пример 44. Два процента электроламп, изготовленных на заводе, в среднем имеют брак. На контроль отобрано 1000 ламп. Оцените вероятность того, что относительная частота бракованных ламп отличается от средней вероятности не более чем на один процент.

Решение. Надо оценить вероятность неравенства


\begin{displaymath} \left\vert {{\displaystyle m\over\displaystyle 1000} - 0,02} \right\vert \le 0,01 {\text {или}}\ 10 \le m \le 30. \end{displaymath}

Применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа для $n$ = 1000, $p$ = 0,02 и 10 $ \le m \le $ 30, получаем


\begin{displaymath} \begin{array}{l} P(10 \le m \le 30) \approx \Phi \left( {\d... ...ox 2\Phi (2,26) \approx 2 \cdot 0,488 = 0,976. \\ \end{array}\end{displaymath}

Пример 45. Опыт Бюффона состоял в бросании монеты 4040 раз, из которых в 2048 случаях выпал "герб". Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления "герба" отклонится от ее вероятности не более чем в опыте Бюффона.

Решение. Поскольку вероятность выпадения "герба" при одном испытании равна 0,5, то в опыте Бюффона найдем отклонение $\varepsilon = \left\vert {{\displaystyle \displaystyle 2048\over\displaystyle \displaystyle 4040} - 0,5} \right\vert = 0,0069.$ Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, получаем


\begin{displaymath} \begin{array}{l} P\left\{ {\left\vert {{\displaystyle \disp... ...\left( {2\varepsilon \cdot \sqrt{n} } \right). \\ \end{array}\end{displaymath}

При $n$ = 4040 и $\varepsilon $ = 0,0069 по таблице приложения 2 находим Ф(0,877) $ \approx $ 0,31 и искомую вероятность 0,62.


Вопросы для самоконтроля

  1. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.
  2. Нарисуйте графики функций Лапласа.
  3. В чем смысл теоремы Пуассона?
  4. В каком случае применяют формулу Пуассона?
  5. В каком случае применяются приближенные формулы?
  6. Преимущества и недостатки приближенных формул.
  7. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
  8. В каком случае $P(m) = {\displaystyle \displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle \displaystyle m!}{\rm e}^{ - \lambda }$ имеет два максимальных значения?

Задачи

I 81. Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет на два билета; хотя бы на один билет?

  82. Найдите вероятность того, что событие $A$ наступит ровно 40 раз в 200 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

  83. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

  84. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 500 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 80 до 100 деталей.

  85. В университете обучаются 5840 студентов. Найдите наиболее вероятное число студентов университета, родившихся 1 января, и вероятность этого события.

  86. Игральную кость бросают 120 раз. Найдите наивероятнейшее число выпаданий шестерки и ее вероятность.

II 87. Телефонная станция получает в среднем 15 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что за 4 сек. она получит ровно 2 вызова?

  88. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна $p$ = 0,1. Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных 100 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклоняется от вероятности 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,02.

III 89. В школе 18 классов по 30 человек. Сколько отличников должно быть в школе, чтобы с вероятностью, большей 0,9, можно было бы быть уверенным в том, что в наудачу выбранном классе окажется не меньше двух отличников?

  90. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью, равной 0,7, можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления "герба" от его вероятности окажется по абсолютной величине не более 0,02?
Далее: §10. Вероятность и числовые Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §8. Схема Бернулли

ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
2006-03-04