Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.
Неразложимые исходы ,
,...,
некоторого
эксперимента будем называть элементарными событиями,
а их совокупность
Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство
элементарных событий состоит из шести точек:
б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда
в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда
Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в
результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному
подмножеству всех исходов. Все те подмножества , для
которых по
условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход
" или "исход
", будем называть
событиями.
В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является
событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один
"герб". Событие
состоит из трех элементарных
исходов
пространства
, поэтому
Суммой двух событий и
называется событие
,
состоящее в выполнении события
или события
.
Произведением событий и
называется событие
, состоящее в совместном исполнении события
и
события
.
Противоположным по отношению к событию
называется событие
,
состоящее в непоявлении
и, значит, дополняющее его до
.
Множество называется достоверным
событием,
пустое множество
- невозможным.
Если каждое появление события сопровождается
появлением
,
то пишут
и говорят, что
предшествует
или
влечет за собой
.
События и
называются равносильными,
если
и
.
Определение. Вероятностью
события
называется число, равное отношению числа элементарных
исходов, составляющих событие
, к числу всех
элементарных
исходов
Случай равновозможных событий
, (
называется
"классическим", поэтому и вероятность
Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие ,
называются "благоприятными".
Свойства классической вероятности:
0 1.
.
, если
(
и
-
несовместные события).
.
Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?
Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание
=
{вынимание 3 шаров}, а событие
-
благоприятствующее
одному из спорящих:
= {достать ровно один белый шар}.
Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то
Один белый шар можно достать в случаев, а
два
черных -
, и тогда по основному правилу комбинаторики
.
Отсюда
а
по пятому свойству
вероятности
Следовательно,
Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:
Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.
Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:
Какова вероятность каждого из этих исходов?
В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.
Следовательно,
К тем же результатам ведет и следующее дерево:
б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:
В таблице покажем все возможные исходы:
Следовательно,
К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:
Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?
Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым
игроком}.
Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:
Отсюда
, и три части ставки следует
отдать первому игроку, а
второму - одну часть.
Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).
Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?
Решение. Составим вероятностное дерево исходов:
и, следовательно, при игре в
"считалки"
выгодней стоять вторым.
В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:
и в частности
, если
и
-
несовместные события
и , если
и
-
независимые события.
Вопросы для самоконтроля
Задачи
а) подбрасывают три
монеты достоинством 1,5,10 коп.;
б) подбрасывают игральную
кость и монету достоинством 1 рубль.
Найдите вероятности этих элементарных событий.
а) герб выпал по крайней мере на
одной монете;
б) сумма выпавших копеек больше 10.
а) все они выполнили
задание;
б) хотя бы один из них
выполнил задание;
в) не все выполнили задание;
г) задание выполнено только
одним из студентов.
а) сумма выпавших очков
равна 5;
б) сумма выпавших очков равна 8, а
абсолютная величина разности
- 4;
в) какая из возможных сумм имеет
наибольшую вероятность
появления?
а) в разных подгруппах;
б) в одной подгруппе.