Далее: §6. Условные вероятности Вверх: Глава II. Случайные события Назад: Глава II. Случайные события

§5. Классическая вероятность

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.

Неразложимые исходы $\omega _{1}$,$\omega _{2}$,...,$\omega _{n }$ некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность

$$\Omega = \{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}$$

(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.

Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:

$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$$

б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда

$$\Omega = \{\text{ГГ, ГР, РГ, РР}\},$$

где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов $\vert \Omega \vert = 4.$

в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда

$$\Omega= \{\text{Г, РГ, РРГ, РРРГ},\ldots \}.$$

В этом случае $\Omega$ называется дискретным пространством элементарных событий.

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества $A$, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход $\omega \in A$" или "исход $\omega \notin A$", будем называть событиями.

В примере 21 б) множество $A$ = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие $A$ состоит из трех элементарных исходов пространства $\Omega$, поэтому $\vert A\vert = 3.$

Суммой двух событий $A$ и $B$ называется событие $C=A+B$, состоящее в выполнении события $A$ или события $B$.

Произведением событий $A$ и $B$ называется событие $D=A\cdot B$, состоящее в совместном исполнении события $A$ и события $B$.

Противоположным по отношению к событию $A$ называется событие $B$, состоящее в непоявлении $A$ и, значит, дополняющее его до $\Omega$.

Множество $\Omega$ называется достоверным событием, пустое множество $\emptyset$ - невозможным.

Если каждое появление события $A$ сопровождается появлением $B$, то пишут $A \subset B$ и говорят, что $A$ предшествует $B$ или $A$ влечет за собой $B$.

События $A$ и $B$ называются равносильными, если $A \subset B$ и $B \subset A$.

Определение. Вероятностью $P(A)$ события $A$ называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие $A$, к числу всех элементарных исходов

$$P(A) = {\displaystyle \left\vert A\right\vert\over\displaystyle \left\vert \Omega \right\vert}$$

Случай равновозможных событий $P(\omega_1) = {{\displaystyle 1}\over{\displaystyle n}}$, ( $i= 1,2,\ldots,n)$ называется "классическим", поэтому и вероятность

$$P(A) = {\displaystyle \left\vert A\right\vert\over\displaystyle \left\vert \Omega \right\vert}$$

называется "классической".

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие $A$, называются "благоприятными".

Свойства классической вероятности:

0 $\le P(A)\le$ 1.

$P(A) = 0 \Leftrightarrow A =\emptyset.$

$P(A)= 1 \Leftrightarrow A= \Omega$.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$, если $A\cdot B=\emptyset$ ($A$ и $B$ - несовместные события).

$P(A)+P(\bar {A}) = 1.$

$A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B)$.

Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание $\Omega$ = {вынимание 3 шаров}, а событие $A$ - благоприятствующее одному из спорящих:

$A$ = {достать ровно один белый шар}.

Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то

$$\left\vert \Omega \right\vert = C_6^3 = {\displaystyle 6!\over\displaystyle 3! \cdot 3!} = 20.$$

Один белый шар можно достать в $C_2^1$ случаев, а два черных - $C_4^2$, и тогда по основному правилу комбинаторики $\left\vert A \right\vert = C_2^1 \cdot C_4^2 = 12$. Отсюда $P(A) = {\displaystyle \displaystyle \left\vert A \right\vert\over\displaystyle ... ...ystyle 20} = {\displaystyle \displaystyle 3\over\displaystyle \displaystyle 5},$ а по пятому свойству вероятности $P(\bar {A})= 1-P(A)={\displaystyle \displaystyle 2\over\displaystyle \displaystyle 5}.$ Следовательно, $P(A):P(\bar {A})= 3 : 2.$

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:

Рис. 7

Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.

Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:

Какова вероятность каждого из этих исходов?

В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.

Следовательно,

К тем же результатам ведет и следующее дерево:

Рис. 8

б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:

В таблице покажем все возможные исходы:

Следовательно,

К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:

Рис. 9

Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Решение. Пусть событие $A$ = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:

Рис. 10

Отсюда $P(\bar {A}) = 1 - {\displaystyle 3\over\displaystyle 4} = {\displaystyle 1\over\displaystyle 4},$ $P(A):P(\bar {A}) = 3:1$, и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.

Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).

Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?

Решение. Составим вероятностное дерево исходов:

Рис. 11

$P_{2 }>P_{1}$ и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.

В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B)$ и в частности

$P(A+B)=P(A)+P(B)$, если $A$ и $B$ - несовместные события

и $P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)$, если $A$ и $B$ - независимые события.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое событие называется элементарным?
2. Бинарные операции над событиями. Примеры.
3. Противоположные события, примеры их.
4. Сформулируйте классическое определение вероятности.
5. Приведите примеры достоверного и невозможного событий.
6. Какие свойства вероятностей вы знаете?
7. Верно ли, что $[P(A)]^{2 }\le P(A)$?
8. Что можно сказать о вероятностях события и противоположного ему события?
9. В чем различие между теоремами сложения для совместимых и несовместных событий?

Задачи

I 41. Составьте множество элементарных событий в эксперименте:

        а) подбрасывают три монеты достоинством 1,5,10 коп.;
        б) подбрасывают игральную кость и монету достоинством 1 рубль.

Найдите вероятности этих элементарных событий.

  42. Подбрасывают три монеты (1, 5, 10 коп.). Найдите вероятность события, противоположного событию:

      а) герб выпал по крайней мере на одной монете;
      б) сумма выпавших копеек больше 10.

  43. Упростите $(A+B) \cdot (A + \bar {B}) + (\bar {A} + B) \cdot (\bar {A} + \bar {B}).$

  44. События $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ означают выполнение домашнего задания одним из трех студентов. Записать событие, состоящее в том, что

        а) все они выполнили задание;
        б) хотя бы один из них выполнил задание;
        в) не все выполнили задание;
        г) задание выполнено только одним из студентов.

  45. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность следующих событий:

       а) сумма выпавших очков равна 5;
       б) сумма выпавших очков равна 8, а абсолютная величина разности - 4;
       в) какая из возможных сумм имеет наибольшую вероятность появления?

  46. Какова вероятность извлечь туза или бубновую карту из колоды в 36 карт?

II 47. Имеется пять отрезков длиной 1, 2, 3, 5 и 7 см. Найдите вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков можно составить треугольник.

  48. В первенстве участвуют 16 команд, среди которых две сильнейшие. Какова вероятность того, что при разбиении команд на две равные подгруппы сильнейшие команды окажутся:

       а) в разных подгруппах;
       б) в одной подгруппе.

III 49. В турнире, где разыгрывается приз по олимпийской системе, участвуют 2$^{n}$ команд. Какова вероятность того, что две сильнейшие команды встретятся в финале?

  50. Что более вероятно: получить хотя бы одну единицу при бросании четырех игральных костей или хотя бы одну пару единиц при 24 бросаниях двух костей?

Далее: §6. Условные вероятности Вверх: Глава II. Случайные события Назад: Глава II. Случайные события