След.: 1.4.  Вынужденные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: 1.2.  Свободные колебания в   Содержание

1.3.  Вынужденные колебания в последовательном контуре

Последовательное соединение элементов контура $L$ , $C$ и $R$ с источником внешней э.д.с. образует последовательный колебательный контур (рис.1).

Ток в последовательном контуре определяется суммой общего (3) и частного (6) решений уравнения (2). Но выражение (3) представляет затухающие колебания, которые через достаточный промежуток времени (порядка нескольких мкc) исчезнут. Поэтому справедливо считать, что колебательный процесс в контуре под действием внешней э.д.с. описывается только частным решением уравнения (2). Возникающие колебания называются вынужденными. Очевидно, что они являются незатухающими и их частота $\omega$ равна частоте внешней э.д.с.

Из частного решения

$$i= {\dot{E}_m\over\dot{Z}}\sin(\omega t + \varphi)$$

амплитуда тока вынужденных колебаний

$$I_m={E_m\over\sqrt{R^2+\left({\displaystyle1\over\displaystyle\omega C}-\omega L\right)^2}} .$$ (19)

При равенстве реактивных сопротивлений

$${1\over\omega C}=\omega L;\qquad X_C=X_L$$ (20)

в контуре наблюдается резонанс -- ток достигает максимума, сопротивление контура становится минимальным и имеет активный характер

$$\dot{Z} = R .$$

Резонансная частота определится выражением

$$\omega_0=\sqrt{1\over LC}={1\over \sqrt{LC}} .$$ (21)

Изменение частоты $\omega$ внешней э.д.с. (рис.4) приводит к изменению величины и характера сопротивления $\dot{Z}$ контура (емкостной характер -- при $\omega<\omega_0$ , ток I опережает $e$ ; индуктивный характер -- при $\omega>\omega_0$ , ток I отстает от $e$ ).

На основании $1$ закона Кирхгофа

$${E_m\over R}={U_{C0}\over X_C}={U_{L0}\over X_L} ,$$

учитывая равенство (20) напряжение на элементах контура при резонансе

$$U_0-U_{C0}=U_{L0}={E_m\omega_0L\over R}={E_m\over \omega_0CR} .$$

Заменив $\omega_0$ из (21), принимая во внимание (12) и (17), получаем

$$U_0=E_m{\displaystyle{\sqrt{L\over C}}\over R}=E_m{\varrho\over R}=E_mQ .$$ (22)

Рис. 4

Резонансные свойства колебательных контуров наглядно представляются резонансными кривыми. Для последовательного контура наиболее часто используются зависимости (рис.5 а, б, в)

$$U_C = \varphi(\omega),\quad U_L =\varphi(\omega),\quad I= \varphi(\omega),\quad \vert\dot{Z}\vert = \varphi(\omega).$$

Эти зависимости часто строятся не в абсолютном, а в относительном масштабе (рис.5, г) -- по оси абсцисс откладывается $$\omega\over\displaystyle\omega_0$$ , по оси ординат $$U_C\over\displaystyle U_{C0}$$ , $$I\over\displaystyle I_0\vrule height0pt depth12pt width0.pt$$ или $$\vert\dot{Z}\vert\over\displaystyle R\vrule height0pt depth12pt width0.pt$$ . Использование относительного масштаба позволяет сравнивать резонансные кривые контуров с разными собственными частотами и добротностью.

Важными параметрами контура являются коэффициент передачи напряжения и полоса пропускания.

Коэффициент передачи напряжения определяется отношением напряжения на одном из реактивных элементов $L$ или $C$ к напряжению источника внешней э.д.с.

$$\dot{K}(\omega)={\dot{U}_{m\text{ вых.}}(\omega)\over \dot{U}_{m\text{ вх.}}(\omega)} .$$

На резонансной частоте из выражения (22) коэффициент передачи

$$K={U_0\over E_m}=Q .$$ (23)

Полоса пропускания -- диапазон частот, в пределах которого коэффициент передачи или напряжение на реактивных элементах $U_C$ и $U_L$ составляют не менее $${\sqrt{2}\over2}\approx0,707$$ от их максимального значения при резонансе. Полоса пропускания $2\Delta\omega$ (или $2\Delta f$ ) определяется по резонансным кривым (рис.5, а, г) или по формуле

$$2\Delta\omega={\omega_0\over Q} ,\qquad 2\Delta f={f_0\over Q} .$$ (24)

Последовательные контуры в радиотехнических устройствах применяются для выбора сигнала нужной частоты (полосы частот) из суммы сигналов различных частот, поступивших па контур, и для получения выигрыша в напряжении от сигнала выделенной частоты.

Рис. 5

Избирательные свойства контура характеризуются избирательностью (селективностью)

$$Se={K\omega_0\over K\omega}={U\omega_0\over U\omega}$$ (25)

при заданной величине расстройки $\Delta\omega=\omega_0\pm\omega$ (рис.6). Избирательность $Se$ показывает, во сколько раз сигнал частоты $\omega$ ослабляется по сравнению с сигналом резонансной частоты $\omega_0$ .

Рис. 6

След.: 1.4.  Вынужденные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: 1.2.  Свободные колебания в   Содержание