Далее: 9.  Ответы и решения Вверх: Термодинамика Назад: 7.  Холодильные машины


8.  Замечательные задачи

Рассмотрим две задачи, приводящие к неожиданным результатам, которые, однако, становятся понятны при анализе решений с позиций первого и второго начал термодинамики.

Задача 1. В комнате некоторое время работает нагревательный прибор. В результате температура повышается от значения $T_{0}$ до значения $T_{1}$. Определить изменение внутренней энергии воздуха в комнате, считая его идеальным газом (Р. Эмден).

Решение. Реальная комната не является герметической, она непрерывно обменивается воздухом с окружающей средой, так что давление остается постоянным и равным атмосферному. Объем комнаты также постоянен. Используя уравнение состояния идеального газа

\begin{displaymath}
p\,V\ =\ \frac{m}{\mu}\,R\,T\;,
\end{displaymath}

где $m$ - масса воздуха, $\mu$ - его молярная масса, приходим к выводу, что произведение массы воздуха в комнате на его температуру должно быть постоянным, то есть изменение температуры сопровождается обратно пропорциональным изменением массы.

Внутреннюю энергию воздуха в комнате можно вычислить по формуле

\begin{displaymath}
U\ =\ \frac{m}{\mu}\,C_{v}\,T\;.
\end{displaymath} (16)

$C_{v}$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме - в пределах изменения комнатной температуры с высокой точностью сохраняет постоянное значение.

Формулу (16), называемую калорическим уравнением состояния идеального газа, можно получить из следующих соображений. В изохорном процессе механическая работа не совершается, поэтому прирост внутренней энергии обусловлен только поглощением тепла:

\begin{displaymath}\Delta U\ =\ \Delta Q\ =\ \frac{m}{\mu}\,C_{v}\,\Delta T\;. \end{displaymath}

Отсюда с точностью до произвольного слагаемого и получается (16). При этом нужно иметь в виду, что любое состояние газа может быть достигнуто из любого начального состояния путем последовательного осуществления изохорного процесса и изотермического процесса, в котором внутренняя энергия идеального газа не меняется6.

Таким образом, поскольку переменные $m$ и $T$ в правую часть (16) входят в виде произведения, которое в нашем случае не меняет своего значения, то при изменениях температуры внутренняя энергия воздуха в комнате остается постоянной.

Анализ решения. Итак, при повышении температуры воздуха в комнате уменьшается его масса, и вся внутренняя энергия, поглощенная от нагревательного прибора, полностью выбрасывается в окружающую среду вместе с частью воздуха. Более того, если в комнату принести какой-либо холодный предмет, то он, принимая температуру теплой комнаты, увеличивает свою внутреннюю энергию за счет наружного, а не за счет комнатного воздуха. Если, используя уравнение состояния, исключить температуру и массу из (16):

\begin{displaymath}U\ =\ \frac{C_{v}}{R}\,p\,V\;, \end{displaymath}

то получается, что внутренняя энергия воздуха в комнате при заданном объеме определяется только атмосферным давлением.

Зачем же обогревать комнату, если вся поглощенная энергия уходит наружу? Ответ на этот вопрос становится понятен только с позиций второго начала термодинамики. Обогревая комнату, мы повышаем ее температуру, которая как раз и является параметром, регулирующим интенсивность теплообмена воздуха с человеческим телом. Комфортность условий для организма определяется температурой, а не энергией воздуха в комнате (в таком виде утверждение уже не выглядит парадоксальным).

Точно так же жизнь на Земле не может существовать без солнечного излучения, вся энергия которого с точностью до малой доли снова излучается в космическое пространство; живой организм нуждается в регулярном приеме пищи, при этом его вес в течение длительного времени может не изменяться; вся энергия, потребляемая из электрической сети для обеспечения работы компьютера (телевизора, пылесоса и др.), проходя через разные промежуточные формы, в конечном итоге рассеивается в виде тепла.

Земля вместе с солнечной радиацией, компьютер вместе с электрическим током, живой организм вместе с пищей поглощают не только энергию, которую затем полностью отдают, но и отрицательную энтропию, необходимую для покрытия роста собственной энтропии за счет необратимых процессов.

По образному выражению Р. Эмдена, "в гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение всех сделок, в то время как закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, который приводит в равновесие дебет и кредит". Мы не будем сравнивать по значимости первое и второе начала термодинамики, заметим лишь, что каждое из них без другого не дает полного описания многообразия термодинамических процессов.


\begin{picture}(66.11,103.00)
\emline{55.00}{4.00}{1}{19.00}{4.00}{2}
\emline{5....
...{171}{39.63}{33.57}{172}
\put(60.00,27.00){\makebox(0,0)[ct]{$A$}}
\end{picture}

Рис. 21 

Задача 2. Рассмотрим действие динамической системы отопления. Она включает в себя паровую машину, потребляющую топливо с теплотворной способностью единицы массы $q$. Температура воды в котле паровой машины $T_{1}$. Холодильником машины является отопительная система с температурой воды $T_{2}$. Паровая машина приводит в действие холодильную машину, поглощающую тепло из природного резервуара с температурой $T_{0}<T_{2}$, резервуаром с более высокой температурой для нее служит вода в отопительной системе (рис. 21). Найти тепло, переданное в отопительную систему, если масса сожженного топлива $m$ (В. Томсон (Кельвин).

Решение. Поскольку нагревателями и холодильниками обеих машин являются тепловые резервуары с постоянной температурой, действие машин можно в идеале описать циклами Карно. Тогда для цикла паровой машины

\begin{displaymath}
\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ =\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;,
\end{displaymath} (17)

где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ - соответственно тепло, поглощаемое из парового котла, и тепло, отдаваемое в отопительную систему. Для цикла холодильной машины
\begin{displaymath}
\frac{Q^{\prime}_{2}}{Q^{\prime}_{1}}\ =\ \frac{T_{0}}{T_{2}}\;,
\end{displaymath} (18)

где $Q^{\prime}_{1}$ и $Q^{\prime}_{2}$ - соответственно дополнительное тепло, передаваемое в отопительную систему, и тепло, поглощаемое из низкотемпературного природного резервуара.

Полезная работа паровой машины, используемая в качестве внешней работы для холодильной машины, равна

\begin{displaymath}
A\ =\ Q_{1}\ -\ Q_{2}\ =\ Q^{\prime}_{1}\ -\ Q^{\prime}_{2}\;.
\end{displaymath} (19)

Источником тепла в паровой машине является сжигаемое топливо, поэтому

\begin{displaymath}Q_{1}\ =\ q\,m\;. \end{displaymath}

Из (17) и (19) получаем

\begin{displaymath}Q_{2}\ =\ q\,m\,\frac{T_{2}}{T_{1}}\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;
A\ =\ \frac{q\,m}{T_{1}}\,(T_{1}\,-\,T_{2})\;. \end{displaymath}

Из (18) и (19) для $Q^{\prime}_{1}$ получаем

\begin{displaymath}Q^{\prime}_{1}\ =\ \frac{A\,T_{2}}{T_{2}-T_{0}}\;. \end{displaymath}

В результате суммарное тепло, переданное в отопительную систему, равно
\begin{displaymath}
Q\ =\ Q_{2}\,+\,Q^{\prime}_{1}\ =
\ q\,m\,\frac{T_{2}\,(T_{1}-T_{0})}{T_{1}\,(T_{2}-T_{0})}\;.
\end{displaymath} (20)


Анализ решения. Если окончательный результат представить в виде

\begin{displaymath}Q\ =\ q\,m\,\frac{T_{2}}{T_{1}}\
\left(1\ +\ \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{2}-T_{0}}\right)\;,\end{displaymath}

то нетрудно заметить, что переданное в отопительную систему тепло при всех $T_{0}<T_{2}$ превышает тепло, полученное от сжигания топлива. Действительно, при предельно малых $T_{0}$ тепло имеет минимальное значение $Q\,=\,q\,m$ и монотонно возрастает с увеличением $T_{0}$ до $T_{2}$ (рис. 22).

Мы знаем, что помимо необратимой передачи тепла от горячего тела к холодному, например, при сжигании топлива, можно организовать теплопередачу в обратимом процессе, в том числе и от холодного тела к горячему, за счет внешней работы. Рассмотренная задача как раз является примером того, что дополнительное тепло, извлекаемое из низкотемпературного резервуара, может значительно превышать тепло, получаемое от сжигания топлива.


\begin{picture}(53.00,48.00)
\emline{12.00}{48.00}{1}{12.00}{7.00}{2}
\emline{12...
...ox(0,0)[ct]{$T_{2}$}}
\put(48.00,5.00){\makebox(0,0)[lt]{$T_{0}$}}
\end{picture}

Рис. 22 

Полезная работа паровой машины, которая в сумме с теплом $Q_{2}$ дает тепло от сжигания топлива $q\,m$ (в идеале), с другой стороны, представляет собой разность между дополнительным теплом $Q^{\prime}_{1}$ и теплом, поглощенным из природного резервуара. Эта разность при близких по величине $T_{0}$ и $T_{2}$ может быть, согласно (18), сколь угодно малой по сравнению с $Q^{\prime}_{1}$ и $Q^{\prime}_{2}$.

Данный результат, будучи очень красивым в теории, пока не нашел широкого технического применения, поскольку существенное превышение над неизбежными потерями энергии получается лишь для достаточно близких значений $T_{0}$ и $T_{2}$. Таким образом, чтобы эффективно извлекать тепло из природного резервуара (например, воды моря), нужно поддерживать температуру в отопительной системе чуть выше температуры резервуара. Но температура отопительной системы ограничена снизу необходимой температурой отапливаемого помещения, иначе такое "отопление" просто теряет смысл.

Здесь уместно напомнить основной результат предыдущей задачи: конечной целью отопления является достижение и поддержание необходимой температуры, а вовсе не извлечение максимальной энергии из природных источников.

Вопросы и задачи

8.1. В комнату объемом $60\ \text{м}^{3}$ с температурой воздуха $293\ K$ вносится тело объемом $10^{-3}\ \text{м}^{3}$ с температурой $280\ K$. Плотность тела $\rho_{1}=10^{3}\ \text{кг/м}^{3}$, его удельная теплоемкость $c_{1}=4,2\cdot10^{3}\ \text{Дж/кг}\cdot\text{град}$. Плотность воздуха при температуре $293\ K$ и его удельная теплоемкость при постоянном давлении соответственно равны: $\rho=1,2\ \text{кг/м}^{3}$ и
$c_{p}=10^{3}\ \text{Дж/кг}\cdot\text{град}$. Определить, насколько изменятся температура воздуха в комнате и внутренняя энергия тела после установления равновесия.

8.2. В котле динамической системы отопления поддерживается температура $T_{1}\,=\, 480\ K$, температура природного теплового резервуара $T_{0}\,=\, 280\ K$, температура воды в отопительной системе $T_{2}\,=\,330\ K$. Во сколько раз можно уменьшить потребление топлива для поддержания той же температуры в отопительной системе, если температура природного резервуара поднимется до $295\ K$?


Далее: 9.  Ответы и решения Вверх: Термодинамика Назад: 7.  Холодильные машины

ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
2004-09-11