Далее: Домашнее задание № 5 Вверх: Тема 4. Показательные и Назад: Тема 4. Показательные и

Домашнее задание № 4

1. Решить уравнение: а) $\left( {\frac{4}{5}} \right)^x = \frac{25}{16}$; б) $10^x = \sqrt[4]{1000}$; в) $5^{3x - 1} = 0,2$; г) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt 3 = \frac{1}{27}$.

2. Решить уравнение: а) $3^x - 3^{x + 3} = - 78$; б) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$; в) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$; г) $2^{2x + 1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$; д) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$; е) $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x + 1}}$.

3. Решить систему уравнений $\left\{ {\begin{array}{l} 2^{x + y} = 16 \\ 3^y = 27^x \\ \end{array}} \right.$.

4. Решить неравенство: а) $\left( {0,2} \right)^x \le 0,04$; б) $2^x + 2^{x + 2} \le 20$; в) $\left( {\frac{1}{7}} \right)^{2x} + 6 \cdot \left( {\frac{1}{7}} \right)^x - 7 < 0$; г)$3^x < 5^x$; д) $0,36^{\frac{7x + 1}{2 - x}} < 1$.

5. Решить графически уравнение и неравенство: а) $5^x = - x + 6$; б) $\left( {\frac{1}{4}} \right)^x \ge 3x + 1$.

6. Решить неравенство: а) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$; б) $\left( {x - 6} \right) \cdot \left( {5^{x - 6} - 25} \right) < 0$.

7. Решить систему неравенств: $\left\{ {\begin{array}{l} 0,4^{ - x + 3} < 0,16 \\ 0,1^{x^2 + 1} > 0,01 \\ \end{array}} \right.$.

Ответы к заданиям (для самоконтроля): 1. а) - 2; б) $\frac{3}{4}$; в) $^{2}$/$_{3}$; г) $\pm 1$; 2. а) 1; б) 1; 2; в)$\pm 1$; г) 3; д) 1; е) 0; 3. (1; 3); 4. а) $\left[ { 2; + \infty } \right)$; б) $\left( { - \infty ; 2 } \right]$; в) $\left( { 0; + \infty } \right)$; г) $\left( { 0; + \infty } \right)$; д) $\left( { - \frac{1}{7}; 2} \right)$; 6. а) $\left( { 2; + \infty } \right)$; б) $\left( { 6; 8 } \right)$; 7. (-1; 1).

ЛОГАРИФМЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА

Определение: $\log _a c = b\quad \Leftrightarrow \quad a^b = c,\quad a > 0,\quad a \ne 1$.

Свойства: Пусть $a > 0,\quad a \ne 1,\quad b > 0,\quad b \ne 1,\quad x > 0,\quad y > 0.$

Тогда верны следующие соотношения: 1. $\log _a a = 1$; 2. $\log _a 1 = 0$;

3. $\log _a \left( {x \cdot y} \right) = \log _a x + \log _a y$; 4. $\log _a \left( {\frac{x}{y}} \right) = \log _a x - \log _a y$;

5. $\log _a x^n = n \cdot \log _a x$; 6. $a^{\log _a b} = b$; 7. $\log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a}$; 8. $x^{\log _a y} = y^{\log _a x}$.

Примеры: 1. Найти значение числового выражения:

а) $\log _2 2^4 = 4 \cdot \log _2 2 = 4 \cdot 1 = 4$; б) $\log _{0,5} 1 = 0$; в) $3^{\log _3 8} = 8$;

г) $2^{3 + \log _2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log _2 9} = 8 \cdot 9 = 72$; д) $0,25^{ - \log _{0,25} 7} = 0,25^{\log _{0,25} \frac{1}{7}} = \frac{1}{7}$; е) $10^{\lg 3} = 3$.

2. Вычислить: а) $\log _6 2 + \log _6 3 = \log _6 \left( \right.2 \cdot 3\left. \right) = \log _6 6 = 1$;

б) $\log _{0,2} 40 - \log _{0,2} 8 = \log _{0,2} \left( {40:8} \right) = \log _{0,2} 5 = \log _{0,2} 0,2^{ - 1} = - 1$;

в) $\frac{\log _7 25}{\log _7 5} = \frac{2\log _7 5}{\log _7 5} = 2$;

г) $\log _2 \log _4 \log _3 81 = \log _2 \log _4 \log _3 3^4 = \log _2 \log _4 4 = \log _2 1 = 0$.

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Примеры: 1. Решить уравнение: а) $\log _2 x = 3\quad \Rightarrow \quad x = 2^3\quad \Rightarrow \quad x = 8$;

б) $\log _{0,1} \left( {x + 1} \right) = - 1\quad \Rightarrow \quad x + 1 = 0,1^{ - 1}\quad \Rightarrow \quad x + 1 = 10\quad \Rightarrow \quad x = 9$;

в) $\log _x 9 = 2\quad \Rightarrow \quad x > 0;\; x \ne 1\quad \Rightarrow \quad x^2 = 9\quad \Rightarrow \quad x = 3$;

г) $\lg x - \lg \left( {2x - 5} \right) = \frac{1}{3}\;\lg 8 - 2\lg \sqrt {x - 3}$. Найдем область определения уравнения:

$$\left\{ {\begin{array}{l} x > 0 \\ 2x - 5 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ \end{array}} \right.\quad \Rightarrow \quad x > 3.$$

По свойствам логарифмов перепишем уравнение в виде:

$$\lg \frac{x}{2x - 5} = \lg \frac{2}{x - 3}.$$   Перейдем к системе:$$\quad : \quad \left\{ {\begin{array}{l} \frac{x}{2x - 5} = \frac{2}{x - 3} \\ x > 3 \\ \end{array}} \right..$$

Уравнение данной системы равносильно квадратному уравнению $x^2 - 7x + 10 = 0$, корни которого 2 и 5. Для заданного уравнения отбираем корень $х = 5$.

д) $\log _2^2 x - 4\log _2 x + 3 = 0$. Пусть $\log _2 x = t$; перейдем к уравнению $t^2 - 4t + 3 = 0$, корни которого 1 и 3. Тогда $\left[ {\begin{array}{l} \log _2 x = 3 \\ \log _2 x = 1 \\ \end{array}} \rig... ... x = 2^1 \\ \end{array}} \right.\quad \Rightarrow \quad x_1 = 8;\quad x_2 = 2$.

2. Решить неравенство: а) $\log _2 x \le 4\quad \Rightarrow \quad \log _2 x \le \log _2 2^4\quad \Rightarrow \quad 0 < x \le 16$;

б) $\log _{0,5} \frac{x}{3} \ge - 2\quad \Rightarrow \quad \log _{0,5} \frac{x}{3}... ... \frac{x}{3} \le 4 \\ \end{array}} \right.\quad \Rightarrow \quad 0 < x \le 12$;

в) $\log _{0,6} \left( {2x - 1} \right) < \log _{0,6} x$.

Перейдем к системе условий: $\left\{ {\begin{array}{l} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 2x - 1 > x \\ \end{array}}... ...}{l} x > 0,5 \\ x > 0 \\ x > 1 \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \; x > 1$.

г) $\log _2^2 x^2 - 15\log _2 x - 4 \le 0\quad \Rightarrow \quad \left( {\log _2 x... ...\quad \Rightarrow \quad \left( {2\log _2 x} \right)^2 - 15\log _2 x - 4 \le 0.$

Пусть $\log _2 x = t$, тогда неравенство примет вид: $4t^2 - 15t - 4 \le 0$, и его решение $- \frac{1}{4} \le t \le 4$. Откуда следует $- \frac{1}{4} \le \log _2 x \le 4\quad \Rightarrow \quad \Rightarrow \quad \lo... ... \frac{1}{4}} \le x \le 2^4\quad \Rightarrow \quad \sqrt[4]{0,5} \le x \le 16.$

Далее: Домашнее задание № 5 Вверх: Тема 4. Показательные и Назад: Тема 4. Показательные и