Далее: Домашнее задание № 4 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 3

Тема 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Показательная функция

Показательная функция $y = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} ^x$, где $a > 0,\; a{\kern 1pt} \ne {\kern 1pt} 1$, определена на множестве действительных чисел, а сама принимает только положительные значения.

Если $0 < a < 1$, то функция непрерывно убывает.

Если $a > 1$, то функция непрерывно возрастает.

При $a > 0$ и $a \ne 1$ выполняются следующие зависимости:

1) $a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 } \cdot a{\kern 1pt} ^{x_{{\kern 1pt} 2} } = a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern 1pt} + {\kern 1pt} x{\kern 1pt} _2 }$;

2) $a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 } :a{\kern 1pt} ^{x_{{\kern 1pt} 2} } = a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern 1pt} - {\kern 1pt} x{\kern 1pt} _2 }$;

3) $\left( { a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 }} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} ^{x... ...} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {\kern 1pt} x{\kern 1pt} _2 }$.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция $y = \log {\kern 1pt} _a {\kern 1pt} {\kern 1pt} x$, где $a > 0,\; a{\kern 1pt} \ne {\kern 1pt} 1$, определена на множестве положительных чисел. Множество значений логарифмической функции - все множество действительных чисел.

При $0 < a < 1$ функция непрерывно убывает.

При $a > 1$ функция непрерывно возрастает.

При одном и том же допустимом значении $а$ функции $y = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} ^x$ и $y = \log {\kern 1pt} _a {\kern 1pt} {\kern 1pt} x$ являются взаимно обратными.

При решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств используются такие свойства показательной и логарифмической функций, как монотонность, знакопостоянство (для показательной функции), поведение в бесконечно удаленных точках.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Для решения указанных уравнений и неравенств используются свойства показательной функции.

1. Уравнение $a^{f \left( x \right)} = a^{\varphi \left( x \right)}$ равносильно уравнению $f \left( x \right) = \varphi \left( x \right)$, если $a > 0,\quad a \ne 1$, $f \left( x \right)$ и $\varphi \left( x \right) \quad -$ произвольные элементарные функции.

Примеры: а) $2^x = 8\quad \Rightarrow \quad 2^x = 2^3\quad \Rightarrow \quad x = 3$;

б) $3^{x + 1} = 1\quad \Rightarrow \quad 3^{x + 1} = 3^0\quad \Rightarrow \quad x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad x = - 1$;

в) $2^{x + 2} \cdot 5^{x + 2} = 10\quad \Rightarrow \quad \left( {2 \cdot 5} \righ... ...^{x + 2} = 10^1\quad \Rightarrow \quad x + 2 = 1\quad \Rightarrow \quad x = - 1$;

г) $\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2x - 3} = \frac{3}{5}\quad \Rightarrow \quad \le... ...\right)^{ - 1}\quad \Rightarrow \quad 2x - 3 = - 1\quad \Rightarrow \quad x = 1$;

д) $\left( {\frac{1}{3}} \right)^x \cdot 5^x = \frac{9}{25}\quad \Rightarrow \quad... ... \right)^x = \left( {\frac{5}{3}} \right)^{ - 2}\quad \Rightarrow \quad x = - 2$.

2. Показательное уравнение может сводиться к алгебраическому уравнению с помощью введения новой неизвестной величины.

Примеры: $4^x + 2^{x + 1} = 80\quad \Rightarrow \quad 2^{2x} + 2^x \cdot 2^1 - 80 = 0$. Пусть $2^x = y;\;\;y > 0$.

Тогда уравнение примет вид $y^2 + 2y - 80 = 0$, корни которого $y_1 = 8,\;\;y_2 = - 10$. Второй корень уравнения является посторонним: $\quad \Rightarrow \quad 2^x = 8\;\; \Rightarrow \;\;2^x = 2^3\;\; \Rightarrow \;\;x = 3$.

3. Показательные уравнения более сложной структуры с помощью тождественных преобразований сводятся либо к совокупности простейших показательных уравнений, либо к указанным выше основным видам.

4. Показательные неравенства вида $a^{f \left( x \right)} < a^{\varphi \left( x \right)}$ преобразуются к неравенствам вида $f \left( x \right) < \varphi \left( x \right)$ при $a > 1$, либо к $f \left( x \right) > \varphi \left( x \right)$ при $0 < a < 1$ (с учетом свойств показательной функции).

Примеры: а) $5^{x + 1} \le 125\quad \Rightarrow \quad 5^{x + 1} \le 5^3\quad \Rightarrow \quad x + 1 \le 3\quad \Rightarrow \quad x \le 2$;

б) $\left( {\frac{1}{8}} \right)^{5x + 12} \ge \left( {\frac{1}{8}} \right)^{7x}\;... ... 5x + 12 \le 7x\quad \Rightarrow \quad 2x \ge 12\quad \Rightarrow \quad x \ge 6$;

в) $6^{x^2 + 2x} > 6^3\quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x > 3\quad \Rightarrow \quad ... ...tarrow \quad \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\quad \Rightarrow$

$$\Rightarrow \quad x \in \left( { - \infty ; - 3 } \right) \cup \left( { 1; + \infty } \right).$$

Далее: Домашнее задание № 4 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 3