Далее: §2. Пространственные кривые Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: Глава 2. Дифференциальная геометрия

§1. Плоские кривые

Вопросы теории

Кривые на плоскости. Способы задания кривых: явной функциональной зависимостью, неявной функциональной зависимостью, векторно-параметрическим представлением, координатно-параметрическим представлением. Регулярное задание кривой и его кинематическая интерпретация. Асимптотическое поведение кривой. Формула длины кривой и ее кинематическая интерпретация. Кривизна кривой на плоскости и ее кинематическая интерпретация.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной кривой на плоскости называется образ открытого интервала $(a,b)\subset {\mathbb{R}}$ при его гомеоморфизме $f: (a,b)\to {\mathbb{R}}^2$ в евклидову плоскость (рис. 10).

Рис. 10. Элементарная кривая

Общей кривой на плоскости называется подмножество евклидовой плоскости, локально гомеоморфное прямой (рис. 11).

Рис. 11. Общая кривая

Очевидно, всякая общая кривая допускает покрытие элементарными кривыми.

Говорят, что кривая $\gamma$ задана явной функциональной зависимостью
$y=f(x)$, если каждая точка кривой $\gamma$ принадлежит графику функции $y=f(x)$.

Кривая $\gamma$ задана неявной функциональной зависимостью $F(x,y)=0,$ если координаты каждой точки кривой $\gamma$ удовлетворяют уравнению
$F(x,y)=0.$

Для вычислений в дифференциальной геометрии наиболее удобны векторно-параметрическое представление

$$\vec r(t)=(x(t), y(t)),\;\; t\in (a,b)$$

и координатно-параметрическое представление

$$x=x(t),\; y=y(t),\; t\in (a,b),$$

отличающиеся лишь формой записи.

Параметрическое представление кривой называется регулярным, если индуцированное им отображение $f: (a,b)\to {\mathbb{R}}^2$ является локальным гомеоморфизмом на свой образ. Для этого необходимо и достаточно, чтобы $\vert\vec r '(t)\vert>0$ для всех $t\in (a,b).$ Назовем параметризацию $C^k$-регулярной, если вектор-функция $\vec r (t)$ обладает непрерывной производной порядка $k$.

Говорят, что заданная параметрическим способом кривая $\vec r=\vec r(t)$ уходит в бесконечность при $t\to a,$ если имеет место предельное соотношение

$$\lim_{t\to a} (x^2(t)+y^2(t))=\infty.$$

При этом символ $a$ может иметь одно из следующих значений:

$$1)\; a=t_0+0,\;\; 2)\; a=t_0-0,\;\; 3)\;a=t_0,\;\;4)\;a=+\infty,\;\;5) \;a=-\infty,\;\; 6)\;a=\infty.$$

Случаи 1) и 2) означают стремление параметра к значению $t_0$ справа и слева соответственно; случай 3) применяется, если односторонние пределы при стремлении параметра к значению $t_0$ слева и справа равны. Случай 6) применяется, если пределы при стремлении параметра $t$ к бесконечности обоих знаков равны.

Асимптотой кривой $\vec r=\vec r(t)$ при $t\to a$ называется прямая $g$, удовлетворяющая условию:

$$\lim_{t\to a} dist(P(t),g)=0,$$

где $P(t)$ - точка кривой, соответствующая значению $t$ параметра.

Для вычисления уравнений асимптот пользуются следующим правилом. Если кривая, заданная параметрическим способом, уходит в бесконечность при $t\to a$, то асимптота, если она существует, задается уравнением $y=kx+b$ (соответственно, $x=ky+b$), где

$$k=\lim_{t\to a}\frac{y(t)}{x(t)} {\mbox {\rm\;{\Large (}соответственно,\;\;}} k=\lim_{t\to a}\frac{x(t)}{y(t)}\mbox {\Large )},$$

$$b=\lim_{t\to a}(y(t)-kx(t)){\mbox {\rm\;(соответственно,\;\;}} b=\lim_{t\to a}(x(t)-ky(t))).$$

На первый взгляд, можно было бы определить асимптоту как предельное положение касательной в точке данной кривой при удалении этой точки на бесконечность. В ряде случаев это определение приводит к тем же результатам, что и классическое. Вместе с тем можно построить кривые, имеющие касательную в каждой своей точке и имеющие асимптоту в данном направлении, но не имеющие предельного положения касательной в данном направлении (рис. 12).

Рис. 12. Асимптоты и касательные

В случае задания кривой неявным алгебраическим уравнением
$F(x,y)=0$ также существует способ отыскания асимптот, заключающийся в следующем. Пусть $(\bar x,\bar y)$ - координаты точки, принадлежащей асимптоте, и $x=\bar x +\lambda u,$ $y=\bar y+\mu u$ - параметрические уравнения асимптоты, в которых $u$ - параметр, $(\lambda, \mu)$ - координаты направляющего вектора, подлежащие определению.

Обозначим за $Q(u)$ точку кривой, ближайшую к точке асимптоты, соответствующей значению параметра $u$. Тогда координаты точки $Q(u)$ равны

$$x(u)=\bar x +\lambda u+\xi (u), \;\; y(u)=\bar y+\mu u+\eta(u),$$

где $\xi(u)$ и $\eta (u)$ бесконечно малы при $u\to \infty$.

Пусть $F_k$ - совокупность членов степени $k$, входящих в многочлен $F (x,y)$. Тогда он может быть представлен в виде суммы однородных компонент различных степеней:

$$F=F_n+F_{n-1}+\dots +F_0.$$

Здесь $n$ - степень многочлена $F$. Подстановка координат точки $Q(u)$ в многочлен $F (x,y)$ и выделение компонент старших по $u$ степеней приводит к выражению

$$u^n F_n(\lambda, \mu )+u^{n-1}(\bar x (F_n(\lambda, \mu ))_{\lambda}+\bar y(F_n(\lambda, \mu ))_{\mu}+F_{n-1}(\lambda, \mu ))+\dots.$$

Так как точка $Q(u)$ принадлежит кривой, то $F(x(u), y(u))=0$ и, следовательно,

$$\lim_{u\to \infty}\frac{1}{u^n}F(x(u), y(u))=0.$$

Таким образом,

$$F_n(\lambda,\mu)=0.$$

Это уравнение позволяет вычислить направление вектора $(\lambda, \mu).$ Аналогично,

$$\bar x (F_n(\lambda, \mu ))_{\lambda}+\bar y(F_n(\lambda, \mu ))_{\mu}+F_{n-1}(\lambda, \mu )=0.\eqno(1)$$

Так как $(\bar x,\bar y)$ - координаты произвольной точки асимптоты, то (1) - уравнение асимптоты.

Вычислим асимптоты кубической кривой $x^3+y^3-3axy=0.$ Подстановка параметрических уравнений асимптоты $x=\bar x +\lambda u,$ $y=\bar y+\mu u$ и выделение компонент старших степеней приводят к уравнениям:

$$\lambda^3+\mu^3=0,\eqno(2)$$

$$3\lambda ^2\bar x+3\mu^2 \bar y-3a\lambda \mu=0.\eqno(3)$$

Из уравнения (2) получаем $\lambda = -\mu$. Полагая в (3) $\lambda=-\mu=1,$ получим уравнение асимптоты $\bar x+\bar y+a=0.$

Если параметрическое задание кривой интерпретировать как кинематическое описание движения материальной точки с течением времени $t$, то регулярность этого задания требует, чтобы вектор мгновенной скорости
$(x'(t), y'(t))$ не обращался в нуль ни при каком значении $t$.

В этом случае длина кривой - это путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени $t\in [ a,b ]:$

$$s_{[a,b]}=\int \limits_a^b \vert\vec r '(t)\vert dt.$$

В случае явного функционального задания $y=f(x)$ кривой нетрудно перейти к параметрическому заданию $x=t,$ $y=f(t)$ и получить формулу

$$s_{[a,b]}=\int \limits_a^b\sqrt{1+f' ^2(x)}dx.$$

При неявном задании кривой $F(x,y)=0$ для вычисления длины дуги рекомендуется переходить к параметрическому либо явному функциональному представлению.

Пусть $P$ и $Q$ - две различные точки кривой $\gamma$, $g$ - прямая, содержащая точку $P$.

Рис. 13. К определению касательной

Касательной (рис. 13) к кривой $\gamma$ в точке $P$ называется прямая $g$, удовлетворяющая соотношению

$$\lim_{Q\to P}\frac{dist(Q,g)}{dist(Q,P)}=0.$$

Уравнение касательной к кривой $\gamma$ в ее точке $P$ может быть вычислено одним из следующих способов ($(X,Y)$ - координаты точки касательной):

$$\vec R=\vec r(t_0)+u \vec r ' (t_0), \;\frac{X-x(t_0)}{x'(t_0)}= \frac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)};$$ при

$$Y-y_0=f'(x_0)(X-x_0);$$ при

$$F_x(x_0,y_0)(X-x_0)+F_y(x_0,y_0)(Y-y_0)=0.$$ при

Уравнение нормали к кривой $\gamma$ в ее точке $P$ может быть вычислено одним из следующих способов ($(X,Y)$ - координаты точки нормали):

$$\vec R=\vec r(t_0)+u \vec n (t_0),$$ при

$$\vec n (t_0) \mbox { ортогонален вектору }\vec r '(t_0),$$

$$\frac{X-x(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{Y-y(t_0)}{-x'(t_0)};$$

$$Y-y_0=-(1/f'(x_0))(X-x_0);$$ при

$$F_y(x_0,y_0)(X-x_0)-F_x(x_0,y_0)(Y-y_0)=0.$$ при

Рис. 14. К определению естественного параметра кривой

Зафиксируем на кривой $\gamma$ (рис. 14) точку $O$ и одно из двух возможных направлений. Тогда каждой точке $A$ кривой может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие число $s$, равное длине дуги $OA$, взятой со знаком "$+$", если дуга $OA$ расположена в зафиксированном направлении относительно точки $O$, и со знаком "$-$" в противном случае. Указанное соответствие поставляет параметризацию кривой, называемую естественной. Параметр $s$ называется естественным параметром.

Несложно показать, что естественная параметризация кривой регулярна, причем

$$\vert\vec r '(s)\vert=1.\eqno (4)$$

Пусть $P$ и $Q$ - две различные точки кривой $\gamma$, соответствующие значениям $s$ и $s+\Delta s$ естественного параметра (рис. 15). Тогда $\vert\Delta s\vert$ - длина дуги кривой, заключенной между точками $P$ и $Q$. Пусть $\Delta \theta$ - величина ориентированного угла, образуемого касательной к кривой в точке $Q$ по отношению к касательной в точке $P$.

Рис. 15. К определению кривизны кривой

Кривизна кривой $\gamma$ в ее точке $P$ - это предел

$$k=\lim_{Q\to P}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}=\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}.$$

Будем интерпретировать естественную параметризацию $\vec r= \vec r(s)$ кривой $\gamma$ как кинематическое описание движения материальной точки. Уравнение (4) означает, что это - равномерное криволинейное движение с постоянной по модулю скоростью, равной единице, то есть движение, при котором точка проходит в единицу времени путь, равный единице длины. При этом направление скорости может меняться. Модуль кривизны в этой интерпретации - это модуль угловой скорости поворота вектора касательной к кривой при движении по кривой с единичной скоростью.

Заметим, что угол между касательными в точках $P$ и $Q$ может быть включен в соотношение $\vert\vec r ' (s+\Delta s)-\vec r '(s)\vert=2 \vert\sin (\Delta \theta/2)\vert;$ тогда, используя первый замечательный предел, нетрудно прийти к выражению

$$\vert k\vert=$$|$$\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}\mbox{\Large ... ...' (s+\Delta s)-\vec r '(s)\vert}{\vert\Delta s\vert}=\vert\vec r ''(s)\vert.$$

Таким образом, модуль кривизны кривой $\gamma$ в точке равен модулю ускорения в этой точке при равномерном криволинейном движении вдоль кривой $\gamma$.

Задачи

1. Кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат явной функциональной зависимостью. Изобразите на рисунке вид кривой. Укажите область изменения независимой координаты и область регулярности задания кривой. Напишите задание этой кривой а) в координатно-параметрической форме б) в векторно-параметрической форме в) в неявной форме.

$$1)\;\; y=\sin x,\;\;\;\; 2)\;\; y=\frac{x}{1-x^2},\;\;\;\; 3)\;\; y= \sqrt{\tg x}.$$

2. Кривая задана в полярной системе координат явной функциональной зависимостью. Изобразите на рисунке вид кривой. Укажите область изменения полярного угла и область регулярности задания кривой. Напишите задание этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат в параметрической форме (координатной или векторной).

$$1)\;\; \rho=a(1+\cos \varphi),\;\;\;\; 2)\;\; \rho=a\varphi,\;\;\;\; 3)\;\;\rho=a\cos 3\varphi,\;\;\;\; 4) \;\; \rho=2a \vert\cos 2\varphi\vert.$$

3. Кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат неявной функциональной зависимостью. Укажите области регулярности этого задания кривой. Можно ли написать ее глобальное задание
а) явной функциональной зависимостью,
б) в параметрической форме?
Можно ли сделать то же самое локально в окрестности каждой точки?
Постройте те из указанных заданий кривой, которые возможны.

$$1)\;\; \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;\;\;\; 2)\;\;\frac{x^2... ...1,\;\;\;\; 3)\;\; x-2y-y^2=0,\;\;\;\; 4)\;\;\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}=1.$$

4. Кривая задана параметрическими уравнениями. Укажите область изменения параметра и области регулярности данного задания кривой.

$$1)\;\;x=t^2-2t+5,\;\;y=t^2-2t+1;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2)\;\;x=\frac{1-t}{1+t},\;\; y=\frac{t}{1+t};\;\;\;\;\;$$

$$3)\;\;x=\frac{a}{\sqrt{1+t^2}},\;\;y=\frac{at}{\sqrt{1+t^2}}; \;\... ...\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4)\;\;x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\;\;y=\frac{2t}{1+t^2}.\;\;$$

5. Циклоида. По прямой без проскальзывания катится окружность радиуса $r$. На окружности зафиксирована точка (рис. 16 а)). Напишите параметрические уравнения траектории этой точки.

Рис. 16. К построению циклоиды и эпициклоиды

6. Эпи- и гипоциклоиды. По окружности радиуса $R$ катится без проскальзывания окружность радиуса $r< R$ с отмеченной точкой, оставаясь вне (внутри) большей окружности (рис. 16 б)). Напишите параметрические уравнения траектории отмеченной точки.

7. Вычислите уравнения асимптот данных кривых, заданных явной функциональной зависимостью в декартовых координатах:

$$1)\; y=\frac{x^2}{x^2-1};\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2)\; y=\frac{x^3... ...4};\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3)\; y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2};\;\;$$

в полярных координатах:

$$4)\; \rho=\frac{3}{\varphi};\;\;\;\;\;\;\;\; 5)\; \rho=\frac{a}{\... ...varphi}+l,\;\; (a,l>0);\;\;\; 6)\; \rho=\frac{a}{\cos \varphi}+l,\;\; (a,l>0);$$

неявной функциональной зависимостью:

$$7)\; x^2y-4y^2x-6x^2+5=0; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 8)\; y^3-x^3-x^2-y^2=0;\;\;\;\;\;$$

$$9)\; x^3-y^3=(y-x)^3;$$

параметрическим представлением:

$$10)\; x=\frac{t^2}{t-1},\;y=\frac{t}{t^2-1};\;\;\;\;\;\;\;\;\;11)\; x=2t+3+\frac{1}{t-1},\; y=-t+2+\frac{4}{t-1};$$

$$12)\; \vec r=$$($$\frac{t}{1-t^2},\; \frac{t(1-2t^2)}{1-t^2}$$)$$;\;\;\; 13)\; \vec r=$$($$\frac{2+t^2}{1+t^2},\; t+\frac{t}{1+t^2}$$)$$.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

8. Кривая задана параметрически в прямоугольной декартовой системе координат. Напишите уравнения касательной и нормали в точке кривой, соответствующей значению параметра $t_0=0$. Укажите координаты единичного вектора касательной и единичного вектора нормали в этой точке. Напишите уравнения семейства касательных и семейства нормалей в регулярных точках данной кривой. Напишите уравнение семейства единичных касательных векторов данной кривой.
1) $\vec r=(a\cos t,\;\;b\sin t); \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 2) $\vec r=(a\ch t,\;\;b\sh t);$
3) $\vec r=(a(t-\sin t),\;\; a(1-\cos t));\;\;\;\;\;\;$ 4) $\vec r=(t^3-2t,\;\; t^2+3).$

9. Найдите величину угла между кривыми в точке их пересечения.
1) $y=x^2,\;\; y=x^3;\;\;\;\;\;$ 2) $xy=m,\;\; x^2-y^2=n, \;\; m,n=const>0.$
3) $y=x^2,\;\; x=y^2;\;\;\;\;\;$ 4) $x^2+y^2=a^2,\;\; y^2=px,\;\; a,p=const>0.$

10. Покажите, что касательная в любой точке кривой $\rho=e^{\varphi}$ образует с полярным радиусом постоянный угол, и вычислите его.

11. Покажите, что касательные к кардиоиде $\rho=2a(1-\cos \varphi)$, проведенные в точках пересечения кардиоиды с хордами, проходящими через полюс, перпендикулярны.

12. Покажите, что касательные к лемнискате Бернулли $\rho^2=2a^2\cos 2\varphi$, проведенные в точках пересечения с хордой, проходящей через полюс, параллельны.

13. Покажите, что отрезок касательной к гиперболе $xy=a^2$, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.

14. Покажите, что отрезок касательной к трактрисе

$$\vec r=(a\sin t, a(\cos t+\ln \tg \frac{t}{2})),$$

заключенный между точкой касания и осью $y$, имеет постоянную длину.

15. Вычислите длину дуги кривой
1) $y=\ln \cos x,\;\; x\in [0,\pi/3];\;\;\;\;\;\;\;$ 2) $x=a\cos ^3 t,\;\;y=a\sin^3 t;$
3) $x=a\cos t, \;\; y=b\sin t;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 4) $\rho=a\varphi, \;\; \varphi\in [0,2\pi].$

16. Для данных кривых найдите вид функции $s=s(x),$ $s=s(t),$ $s=s(\varphi)$, в зависимости от способа задания кривой. Является ли эта функция непрерывной? Монотонной? Дифференцируемой? С какими фактами и теоремами геометрии и математического анализа это связано?
1) $y=a\ch (x/a);\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 2) $\vec r=(a(t-\sin t),\;\; a(1-\cos t)), \;\; a=const>0;$
3) $\rho=a(1+\cos \varphi);\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ 4) $\vec r=(a\sin t, \;\;a(\cos t+\ln \tg \frac{\textstyle t}{\textstyle 2})).$

17. Вычислите кривизну данной кривой в заданной ее точке, сначала используя готовую формулу, а затем по следующему плану: получите уравнение поля скоростей при равномерном движении по этой кривой, затем вычислите абсолютную величину его производной по "времени" $t=s$.
1) $y=\sin x$ в вершинах кривой; 2) $y=x^3+3x^2-2, \;\; x_0=2;$
3) $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2}), \;\; x_0=0$; 4) $x=a\cos^3 t,\;\; y=a\sin^3 t,\;\; t=\pi/6$;
5) $x=t^3+1,\;\; y=2t-t^4,\;\; t=1/2;$ 6) $x=a\cos t,\;\; y=a\sin t,\;\; t=t_0.$

18. Кривизна - характеристика второго порядка. Разлагая задание кривой в окрестности данной точки по формуле Тейлора с точностью до второго порядка, получим задание кривой второго порядка, которую назовем соприкасающейся параболой этой кривой в данной ее точке. Вычислите кривизну кривой в данной точке, ее соприкасающейся параболы в этой точке и сравните результаты.
1) $y=\sin x, \;\; x_0=0$; 2) $y=x^3+x^2-2, \;\; x_0=2;$
3) $x=t^3+1,\;\; y=2t-t^4,\;\; t_0=1;$4) $x=a\cos t,\;\; y=a\sin t,\;\; t=t_0.$

Огибающая семейства плоских кривых, заданного уравнением
$F(x,y,C)=0$ - это кривая, удовлетворяющая системе уравнений

$$F(x,y,C)=0,\;\;F_C(x,y,C)=0$$

и имеющая общую касательную с какой-либо кривой семейства.

19. Парабола безопасности. Из точки $O$ под всевозможными углами $\alpha \in (0,\pi/2)$ к горизонту производятся выстрелы с начальной скоростью снаряда $v_0$. Найдите уравнение границы области, недостижимой для снарядов.

Далее: §2. Пространственные кривые Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: Глава 2. Дифференциальная геометрия