Далее: §3. Поверхность. Метрические задачи Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: §1. Плоские кривые

§2. Пространственные кривые

Вопросы теории

Пространственные кривые. Задание пространственной кривой. Регулярное задание кривой. Регулярная кривая. Неявное задание пространственной кривой. Касательная к пространственной кривой. Единичный вектор касательной. Бинормаль и главная нормаль и их единичные векторы. Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Ускорение при криволинейном движении и векторы сопровождающего трехгранника. Кривизна пространственной кривой. Теорема о прямой. Кручение пространственной кривой. Теорема о плоской кривой. Формулы Френе. Естественный параметр и натуральные уравнения кривой.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной кривой в пространстве называется образ открытого интервала $(a,b)\subset {\mathbb{R}}$ при его гомеоморфизме $f: (a,b)\to {\mathbb{R}}^3$ в евклидово трехмерное пространство.

Общей кривой на плоскости называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное прямой.

Как и в случае плоских кривых, всякая общая кривая допускает покрытие элементарными кривыми.

Кривая $\gamma$ задана неявным способом

$$F(x,y,z)=0,\;\; G(x,y,z)=0, \eqno(5)$$

если координаты каждой точки кривой $\gamma$ удовлетворяют обоим уравнениям $F(x,y,z)=0,$ $G(x,y,z)=0$.

Наиболее удобны и наиболее часто используются векторно-параметрическое представление

$$\vec r(t)=(x(t), y(t), z(t)),\;\; t\in (a,b)$$

и координатно-параметрическое представление

$$x=x(t),\; y=y(t),\; z=z(t), \; t\in (a,b),$$

отличающиеся лишь формой записи.

Определение регулярности параметрического представления пространственной кривой полностью аналогично плоскому случаю.

Неявное задание (5) кривой регулярно в точке $P$, если матрица частных производных

$$\left( \begin{array}{ccc} F_x&F_y&F_z\\ G_x&G_y&G_z \end{array}\right)\eqno(6)$$

имеет в этой точке ранг 2.

Понятия длины кривой, ее естественной параметризации, а также определение касательной полностью аналогичны тем же понятиям для плоских кривых. Направляющий вектор касательной - это, по-прежнему, производная $\vec r ' (t)$, имеющая физический смысл скорости, если параметрическое представление кривой интерпретировать как кинематическое описание движения точки.

Нормальная плоскость кривой в точке $P$ - это плоскость, проходящая через точку $P$ ортогонально касательной.

Соприкасающейся плоскостью кривой в ее точке $P$ (рис. 17) называется содержащая эту точку плоскость $\alpha$, удовлетворяющая соотношению

$$\lim_{Q\to P}\frac{dist(Q, \alpha)}{dist^2(Q,P)}=0,$$

где $Q$ - точка, принадлежащая элементарной окрестности точки $P$.

Рис. 17. К определению соприкасающейся плоскости

Спрямляющей плоскостью кривой в ее точке $P$ называется содержащая эту точку плоскость, ортогональная нормальной и соприкасающейся плоскостям в этой точке.

Прямые, ортогональные соприкасающейся и спрямляющей плоскостям в точке $P$, называются соответственно бинормалью и главной нормалью кривой в точке $P$.

Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют сопровождающий трехгранник кривой, или трехгранник Френе, в точке $P$, и называются его гранями. Касательная, бинормаль и главная нормаль называются ребрами сопровождающего трехгранника (рис. 18).

Рис. 18. Сопровождающий трехгранник кривой

Уравнения элементов сопровождающего трехгранника вычисляются по следующим правилам:

Касательная	Нормальная плоскость
$\vec R=\vec r(t_0)+u \vec r '(t_0)$	$(\vec R-\vec r(t_0), \vec r ' (t_0))=0$
Бинормаль	Соприкасающаяся плоскость
$\vec R=\vec r(t_0)+u \vec r '(t_0)\times \vec r ''(t_0)$	$(\vec R-\vec r(t_0), \vec r '(t_0)\times \vec r ''(t_0))=0$
Главная нормаль $\vec R=\vec r(t_0)+$	Спрямляющая плоскость
$+u (\vec r '(t_0)\times \vec r ''(t_0))\times \vec r '(t_0)$	$(\vec R-\vec r(t_0), (\vec r '(t_0)\times \vec r ''(t_0))\times \vec r '(t_0))=0$

Единичные векторы

$$\vec \tau = \frac{\vec r '(t)}{\vert\vec r '(t)\vert},$$

$$\vec \nu = \frac{(\vec r '(t)\times \vec r ''(t))\times \vec r '(t)}{\vert\vec r '(t)\times \vec r ''(t)\vert\cdot \vert\vec r '(t)\vert},$$

$$\vec \beta = \frac{\vec r '(t)\times \vec r ''(t)}{\vert\vec r '(t)\times \vec r ''(t)\vert}$$

образуют в точке $t$ правый ортонормированный репер.

Если параметризация естественная, то вектор главной нормали может быть вычислен по формуле $\vec \nu=\vec r ''(s)/\vert \vec r ''(s)\vert$.

Вектор ускорения может быть разложен в сумму двух составляющих: нормальной (ортогональной вектору скорости) и тангенциальной (параллельной вектору скорости). При этом нормальная составляющая ускорения сонаправлена единичному вектору главной нормали.

Пусть $P$ и $Q$ - две различные точки кривой $\gamma$, соответствующие значениям $s$ и $s+\Delta s$ естественного параметра. Тогда $\vert\Delta s\vert$ - длина дуги кривой, заключенной между точками $P$ и $Q$. Пусть $\Delta \theta$ - величина угла, образуемого касательной к кривой в точке $Q$ по отношению к касательной в точке $P$. Кривизна кривой $\gamma$ в ее точке $P$ - это предел

$$k=\lim_{Q\to P}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}=\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}.$$

В отличие от кривизны плоской кривой, кривизна пространственной кривой всегда положительна. Кривизна пространственной кривой в регулярной точке может быть вычислена по формулам:

$$k = \frac{\vert\vec r '(t)\times \vec r ''(t)\vert}{\vert\vec r '(t)\vert^3},\; \mbox{\rm если параметризация произвольная;}$$

$$k = \vert\vec r ''(s)\vert, \;$$

Пусть $P$ и $Q$ - две различные точки кривой $\gamma$, соответствующие значениям естественного параметра $s$ и $s+\Delta s$ соответственно, $\vec \beta (s)$ и $\vec \beta(s+\Delta s)$ - единичные векторы бинормалей в этих точках (рис. 19).

Рис. 19. К определению кручения кривой

Обозначим за $\Delta \theta$ величину угла между ними. Очевидно, этот угол равен углу, образованному соприкасающимися плоскостями в точках $P$ и $Q$.

Абсолютным кручением кривой в точке $P$ называют величину

$$\vert\varkappa\vert=\lim_{Q\to P}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}=\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta s}$$

Кручение кривой $\gamma$ определяется в соответствии со следующим правилом: $\varkappa=\vert\varkappa\vert,$ если при движении вдоль кривой по направлению возрастания параметра вектор бинормали $\vec \beta$ поворачивается в сторону, указываемую вектором $\vec \nu$, $\varkappa=-\vert\varkappa\vert$ в противном случае. Наглядно это означает, что кривая с положительным кручением "закручена" по правилу правого винта.

Кручение кривой в точке, соответствующей значению параметра $t$, может быть вычислено по следующим формулам:

$$\varkappa = \frac{(\vec r '(t), \vec r ''(t), \vec r '''(t))}{(\vec r '(t)\times \vec r ''(t))^2}, \;\;\mbox{\rm если параметризация произвольная,}$$

$$\varkappa = \frac{(\vec r '(t), \vec r ''(t), \vec r '''(t))}{k^2}, \;\;\mbox{\rm если параметризация естественная.}$$

Для производных векторов $\vec \tau,$ $\vec \nu$, $\vec \beta$ по естественному параметру справедливы формулы Френе:

$$\vec \tau ' = k \vec \nu,$$

$$\vec \nu ' = -k \vec \tau -\varkappa \vec \beta,$$

$$\vec \beta ' = \varkappa \vec \nu.$$

Уравнения $k=k(s)$ и $\varkappa=\varkappa(s)$ называются натуральными уравнениями кривой. По натуральным уравнениям вид кривой может быть восстановлен с точностью до перемещения. В большинстве случаев решение такой задачи оказывается очень сложным.

Задачи

1. Для данных представлений кривых укажите область допустимых значений параметра и область значений параметра, в которой задание кривой регулярно.
1) $x=a\cos 2t,\;\; y=a\sin 2t,\;\;\;\;\;\; z=0,\;\;\;\;0\le t\le 2\pi,\;\; a\ne 0;$
2) $x=a\cos t,\;\;\;\; y=a\sin t,\;\;\;\;\;\;\; z=t,\;\;\;\; 0\le t\le 4\pi;$
3) $x=\cos u^2,\;\;\;\; y=\sin u^2,\;\;\;\;\;\;\;\; z=2u,\;\; 0\le u\le 2\pi;$
4) $x=t^2-1,\;\;\; y=t/(t^2-1),\;\;z=2t$.

2. Кривая задана неявными уравнениями. Изобразите на рисунке вид кривой. Постройте какое-нибудь параметрическое представления этой кривой. Укажите область допустимого изменения параметра и область регулярности параметризации.
1) $x^2+y^2=R^{\;2},\;\;z=x^2-y^2;$
2) $x^2+y^2=z^2, \;\;\; x^2+(z-a)^2=R^{\;2},\;\;a>R,\;\; y>0;$
3) $x^2+y^2=z^2,\;\;\; (x-R)^2+y^2+z^2=R^{\;2}.$

3. Кривая Вивиани образована пересечением сферы радиуса $2R$ и цилиндра радиуса $R$, проходящего через центр сферы. Постройте параметрическое представление кривой Вивиани.

4. Винтовая линия. Окружность радиуса $a$ движется так, что ее центр перемещается вдоль оси $Oz$, плоскость ортогональна оси $Oz$. По окружности равномерно движется точка. В начальный момент времени $t_0=0$ точка имеет координаты $(a,0,0)$. Составьте параметрические уравнения кривой, описываемой данной точкой.

5. Кривая $\gamma$ задана пересечением цилиндрических поверхностей $z^2=x$ и $y^2=1-x.$ Постройте параметрическое представление кривой $\gamma$, не содержащее радикалов, и дайте ее изображение.

6. Покажите, что линия

$$\gamma:\; x=\sin 2\varphi;\;\; y=1-\cos 2\varphi;\;\; z=2\cos \varphi$$

принадлежит сфере и является линией пересечения параболического и кругового цилиндров.

7. Найдите длину дуги линии

$$x^3=3a^2y;\;\;\; 2xz=a^2$$

между плоскостями $y=a/3$ и $y=9a$.

8. Покажите, что кривая $x=\cos^3 t;\; y=\sin^3 t;\; z=\cos 2t$ замкнута и имеет длину $s=10$.

9. Запишите в естественной параметризации
a) винтовую линию $x=a\cos t;\; y=a\sin t;\; z=bt$;
б) гиперболическую винтовую линию $x=a\ch t;\; y=a\sh t;\; z=at$.

10. Кривая задана параметрически:

$$x=\frac{t^4}{4},\; y=\frac{t^3}{3},\; z=\frac{t^2}{2}, \; t>0.$$

Напишите уравнения
а) касательной и нормальной плоскости в точке (1/4; 1/3; 1/2);
б) касательной, параллельной плоскости $x-3y+2z=0$.

11. Найдите линию, по которой касательные к линии

$$x=a\cos t,\;\; y=a\sin t,\;\; z=t^2$$

пересекают плоскость $xOy$.

Сферической индикатрисой данной кривой называется геометрическое место концов единичных касательных векторов, отложенных от начала координат.

12. Дана винтовая линия

$$x=a\cos t,\; y=a\sin t,\; z=bt.$$

a) Напишите уравнение семейства касательных этой кривой;
б) убедитесь в том, что все касательные к винтовой линии образуют с плоскостью $xOy$ один и тот же угол;
в) составьте уравнение кривой, образуемой точками пересечения касательных с плоскостью $xOy$;
г) найдите сферическую индикатрису винтовой линии.

13. Докажите, что все нормальные плоскости кривой Вивиани (задача 3) проходят через начало координат.

14. Составьте уравнения бинормали и главной нормали кривой в указанной точке:
1) $x=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; y=t^2,\;\;\;\;\;\;\; z=t^3,\;\;\;\;\;\;\;\; t_0=0;$
2) $x=a\cos t,\;\; y=b\sin t,\;\; z=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\; t_0=\pi/2;$
3) $x=t^2-1, \;\;y=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\; z=t^3-t,\;\; t_0=1$;
4) $x=a\cos t,\;\; y=b\sin t,\;\; z=t^2,\;\;\;\;\;\;\;\; t_0=\pi.$

15. Найдите точки на кривой

$$x=\frac{2}{t},\;\; y=\ln t,\;\;z=-t^2,$$

в которых бинормаль параллельна плоскости $x-y+8z+2=0$.

16. Материальная точка движется в пространстве по закону

$$x(t)=3 t-t^3,\;\;y(t)=1-t,\;\; z(t)=-3-9 t+6 t^2-t^3.$$

Укажите моменты времени, в которые
а) ее скорость равна нулю, и сравните их со значениями параметра $t$, при которых параметризация траектории нерегулярна;
б) нормальное ускорение точки ортогонально $Oz$.

17. Составьте уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника данной кривой в указанной точке
1) $\vec r(t)=(a\cos t, a\sin t, bt),\;\; t_0=\pi /2;$
2) $\vec r(t)=(R+R\cos t, R\sin t, 2R \sin(t/2)), \;\; t_0=2 \pi;$
3) $x=y^2,\;\;x^2=z,\;\; M_0(1,1,1);$
4) $xy=z^2,\;\; x^2+y^2=z^2+1,\;\;M_0(1,1,1).$

18. Для данной кривой вычислите кривизну в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных касательных векторов данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.
1) $x=a\cos t,\;\; y=a\sin t,\;\; z=b t^2,\;\;a>0,\;\; b\ne 0, \;\; t_0=\pi/2$
2) $x=2 t,\;\;\;\;\;\;\;\;y=\ln t,\;\;\;\;\; z=t^2, \;\;\; t_0=1.$

19. Для кривых задачи 18 вычислите абсолютное кручение в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных векторов бинормали данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.

20. Вычислите кривизну и кручение данной кривой произвольной регулярной точке:
1) $x=a\cos t,\;\;\; y=a\sin t,\;\;\; z=b t,\;\;a>0,\;\; b\ne 0$;
2) $x=a\ch t,\;\;\;\; y=a\sh t,\;\;\;\; z=at;$
3) $x=a\cos^3 t,\;\; y=a\sin^3 t,\;\; z=\cos 2t;$
4) $x^2=z, \;\;\;\;\;\;\;\;\;y^2=z$.

21. Найдите точки распрямления следующих кривых:
1) $y=x^3,\;\;\;\;\;\;\; y=z;$
2) $x=t-t^3,\;\; y=t^2+1,\;\; z=t^2-t;$
3) $x=\cos^3 t, \;\;y=\sin^3 t,\;\;\; z=t$.

22. Найдите точки уплощения и дуги, на которых кручение сохраняет свой знак, у следующих кривых:
1) $x=t,\;\;\;\;\;\;\;\; y=\sin t,\;\; z=\sin 3 t;$
2) $x=\cos u,\;\; y=\sin u,\;\; z=u^3-9 u.$

23. Напишите натуральные уравнения, которым удовлетворяют следующие кривые:
1) $x=a\cos t,\;\;\; y=a\sin t,\;\;\; z=b t,\;\;a>0,\;\; b\ne 0$;
2) $x=at,\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=b t^2,\;\;\;\;\;\;\; z=c t^2.$

24. Найдите точки на кривой

$$x=\cos^3 t,\; y=\sin^3 t,\; z=\cos 2 t,$$

в которых кривизна принимает локально минимальное значение.

25. Найдите точки на кривой

$$x=a(t-\sin t),\; y=a(1-\cos t),\; z=4a\cos \frac{t}{2},$$

в которых радиус кривизны достигает локального максимума.

26. Докажите, что следующие кривые плоские, и составьте уравнения плоскостей, в которых они расположены:

$$1) \;x=\frac{\textstyle {1}}{\textstyle {1-t}},\;\;\; y=\frac{\te... ...textstyle 1}{\textstyle 1+t};\;\;\;\; 2)\; x=t^2-1,\;\;\; y=t^2+2,\;\;\; z=t^3.$$

27. Найдите такую функцию $f(t)$, чтобы кривая

$$x=a\cos t,\; y=a\sin t,\; z=f(t)$$

была плоской. Решите задачу двумя способами: 1) используя условие плоскости и 2) используя тот факт, что искомая кривая принадлежит круговому цилиндру (составьте его уравнение!). Результаты сравните.

28. Докажите, что если все соприкасающиеся плоскости линии проходят через неподвижную точку $A$, то линия плоская.

29. Докажите, что если соприкасающиеся плоскости линии (отличной от прямой) параллельны некоторому вектору $\vec a$, то линия плоская.

30. Докажите, что если все нормальные плоскости линии параллельны некоторому вектору $\vec a$, то линия или прямая, или плоская.

Далее: §3. Поверхность. Метрические задачи Вверх: Глава 2. Дифференциальная геометрия Назад: §1. Плоские кривые