Далее: 4.  Примеры решения задач Вверх: Методические указания Назад: 2.  Основные единицы Международной

3.  Указания к решению задач по механике

Кинематические задачи в случае прямолинейного равнопеременного движения материальной точки решаются, как правило, векторным или координатным способами с помощью двух уравнений для скорости и радиуса-вектора точки в момент времени $t$:

$$\vec v=\vec v_0+\vec at ,$$ (1)

$$\vec r= \vec r_0+\vec v_0t+{\vec a t^2\over2} ,$$ (2)

где $\vec a$ - постоянное по величине и направлению ускорение, $\vec v_0$ - начальная скорость, $\vec v$ - скорость в момент времени $t$, $\vec r_0$ - радиус-вектор точки в начальный момент времени при $t=0$, $\vec r$ - радиус-вектор в момент времени $t$.

Выражения (1) и (2) получаются при решении дифференциальных уравнений для мгновенного ускорения и мгновенной скорости:

$$\vec a={d\vec v\over dt} ;\qquad \vec v={d\vec r\over dt} ,$$

с учетом начальных условий и при постоянном $\vec a$.

Принцип независимости движений позволяет применять выражения (1) и (2) для $\vec v$ и $\vec r$ и в случае так называемого баллистического движения, то есть для криволинейного движения тел, брошенных горизонтально и под углом к горизонту.

При решении задач нужно перейти к скалярной форме уравнений (1) и (2), то есть записать каждое из них в проекциях на ось при прямолинейном движении и отдельно в проекциях на оси $OX$ и $OY$ при криволинейном. При этом следует учесть знаки проекций, а символы векторов опустить. Следует иметь в виду, что проекции радиуса-вектора $\vec r$ на оси равны соответствующим координатам материальной точки: $r_{0x}=x_0$, $r_{0y}=y_0$, $r_x=x$, $r_y=y$. Из системы скалярных уравнений выражаются искомые величины.

Важным этапом решения задач является выбор системы отсчета. При выборе инерциальной системы отсчета необходимо:

1. указать тело отсчета, неподвижное относительно Земли, или поверхность Земли;
2. связать с ним координатные оси и произвольно выбрать их положительное направление;
3. указать положение рассматриваемого тела (тел) в начальный момент времени.

Примечание. В ряде задач на прямолинейное равнопеременное движение в одном направлении применяется "естественный" метод решения, основанный на использовании скалярных величин: траектории движения, пути, модулей средней скорости и среднего ускорения. В этом случае из известных соотношений:

$$S=v_{\text{ср}}t ,$$ (3)

$$v_{\text{ср}} = {v_0+v\over2} ,$$ (4)

$$a={v-v_0\over t} ,$$ (5)

где $S$ - путь, пройденный за время $t$, $v_{\text{ср}}$ - средняя скорость, $v_0$ и $v$ - начальная и конечная скорости точки, $a$ - среднее ускорение, подставляя в (3) $v_{\text{ср}}$ и $t$ из (4) и (5), можно получить полезное соотношение:

$$2aS=v^2-v_0^2 ,$$ (6)

которое в частном случае равнопеременного движения без начальной скорости упрощается:

$$2aS=v^2 .$$ (7)

В случае равнозамедленного движения с нулевой конечной скоростью оно принимает вид:

$$2aS=v_0^2 .$$ (8)

Подобное соотношение можно получить и из закона сохранения механической энергии материальной точки: если действуют только консервативные силы, например, сила тяжести, потенциальная энергия тела переходит в кинетическую и наоборот:

$$mgh={mv^2\over 2} ,\qquad 2gh=v^2 ,$$

где $h$ - высота, $v$ - скорость, $g$ - ускорение свободного падения, $m$ - масса.

Указания к решению задач по динамике

Задачи по динамике материальной точки решаются в основном с помощью законов Ньютона.

Рекомендуется следующий порядок действий:

1. проанализировав условие задачи, установить, какие силы действуют на материальную точку (тело) массой $m$; силы должны соответствовать телам, взаимодействующим с рассматриваемым; например, со стороны Земли действует сила тяжести, со стороны нити - сила натяжения нити, со стороны опоры - сила реакции опоры и т.д.; желательно указать природу каждой силы;
2. показать на рисунке все силы в виде векторов, то есть направленных отрезков, приложенных в одной точке - в центре масс (центре тяжести) тела массой $m$; длины отрезков должны качественно соответствовать условию задачи и $II$ закону Ньютона: векторная сумма (равнодействующая) сил, действующих на покоящееся или движущееся равномерно прямолинейно тело, равна нулю; при ускоренном движении эта сумма совпадает по направлению с вектором ускорения;
3. выбрать систему отсчета; при этом в случае прямолинейного движения достаточно указать одну ось, при баллистическом - оси удобно выбрать в сторону ускорения и перпендикулярно к нему, при движении точки с постоянной по модулю скоростью по окружности ось направляют по нормали к траектории, то есть по радиусу к центру окружности - так же, как нормальное ускорение, называемое иногда центростремительным;
4. записать $II$ закон Ньютона в векторной форме: $\vec F_1 + \vec F_2+\ldots = m\vec a$;
5. перейти к скалярной форме уравнения, то есть записать все его члены в том же порядке в проекциях на каждую из осей, без знаков векторов;
6. составить систему уравнений, дополнив в случае необходимости кинематическими, и провести далее все этапы решения, указанные в общих рекомендациях на стр. [перейти];
7. если в движении участвует несколько тел, анализ сил и запись уравнений производится для каждого из них в отдельности.

Задачи динамики точки решаются также с помощью законов сохранения. Законы сохранения механической энергии и импульса используются и в задачах на поступательное движение системы материальных точек.

Далее: 4.  Примеры решения задач Вверх: Методические указания Назад: 2.  Основные единицы Международной