Далее: §14. Числовые характеристики дискретных Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: Глава III. Случайные величины

§13. Закон и функция распределения дискретной случайной величины

Пусть $\Omega$ = {$\omega$} - дискретное (конечное или счетное) пространство элементарных событий.

Случайной величиной $X$ называется функция $X(\omega )$, определенная на множестве $\Omega$ и принимающая вещественные (комплексные) значения.

Если $X$ - случайная величина, а $x_{1}$, $x_{2}$, ...- ее значения, то совокупность всех элементарных событий, на которых $X$ принимает фиксированное значение $x_{i}$, образует событие

{$X=x_{i}$} = $\omega$$_{i}$, т.е. $\omega _i = \{X = x_i \} = \{\omega :\omega \in \Omega ,X(\omega ) = x_i \}.$

Обозначим через $p_{i}$ вероятность этого события:

$$p_i = P(\omega _i ) = P\{X = x_i \} = \sum\limits_{\omega :X(\omega ) = x_i } {P(\omega )}$$

(знак суммы означает, что сумма берется по $\omega$ таким, для которых X($\omega )$=x$_{i})$.

Функция $P${$X=x_{i}$} = $p_{i}$ ($i$ =1, 2, ...) называется законом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины (д.с.в.) $X$.

Учитывая, что при экспериментах фиксируются значения $x_{i}$ случайной величины $X$, закон распределения д.с.в. даем в виде таблицы

X	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$	...
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{n}$	...

где в верхней строчке написаны значения случайной величины, а в нижней - под каждым $x_{i}$ - вероятности $p_{i}=P${$X=x_{i}$}. Заметим, что $\sum\limits_i {p_i } = 1.$

$F(x)=P${$X$ < $x$} называется интегральной функцией распределения с.в. $X$.

Свойства интегральной функции распределения:

1. $0 \le F(x) \le 1;$

2. $P\{a \le X < b\} = F(b) - F(a);$

3. $F(x_1 ) \le F(x_2 ), {\text {если }} x _{1 } < x_{2};$

4. $F( - \infty ) = 0, F( + \infty ) = 1.$

Если $X$ - д.с.в., то $F(x) = P\{X < x\} = \sum\limits_{x_i < x} {p_i } ,$ где суммируются вероятности тех значений $x_{i}$, которые меньше $x$.

Пример 61. Найти закон и интегральную функцию распределения индикатора события.

Решение. Индикатором события A называется д.с.в.

$$I_A = I_A (\omega ) = \left\{ {\begin{array}{l} 1, {\tex... ... {\text{если} } \omega \notin A. \\ \end{array}} \right.$$

Закон распределения индикатора $I_{A}$ имеет вид

$I_{A}$	0	1
$P$	$q$	$p$

где $р =P(A)$, $q=P(\bar A) = 1-p$.

Интегральная функция распределения индикатора задается следующим образом:

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0, {\text{если} } x ... ... \\ 1, {\text{если} } x > 1. \\ \end{array}} \right.$$

Пример 62. Найти закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения "герба" при трех подбрасываниях монеты.

Решение. Пусть $\Omega$ = {подбрасывание монеты три раза} и $X$= {число выпадений "герба"}. Тогда искомый закон распределения можно записать двумя нижними строками таблицы:

$\Omega$	PPP	PPГ	PГP	ГPP	PГГ	ГPГ	ГГP	ГГГ
$X$	0	1			2			3
$P$	1/2	3/2			3/2			1/2

А интегральная функция распределения д.с.в. $X$ задается следующим образом:

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0, {\text{если} } x ... ... \\ 1, {\text{если} } x > 3. \\ \end{array}} \right.$$

Построим график интегральной функции распределения:

Рис. 44

Интегральная функция распределения д.с.в. непрерывна слева.

Пример 63. Построить граф распределения для числа подбрасывания монеты до появления "герба".

Решение. Пусть с.в. $X$ = {число подбрасываний монеты до появления "герба"}. Тогда искомый граф распределения с.в. выглядит следующим образом:

Рис. 45

Используя формулу суммы убывающей геометрической прогрессии (см. § 10), убеждаемся, что $\sum\limits_{i = 1}^\infty {p_i = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} + {\dis... ...playstyle 1\over\displaystyle 1 - {\displaystyle 1\over\displaystyle 2}} = 1.}$ Это пример бесконечной дискретной случайной величины.

Пример 64. Дискретная случайная величина $X$ имеет закон распределения:

$X$	-2	-1	0	1
$P$	0,1	0,2	0,3	0,4

Найти закон и интегральную функцию распределения для случайной величины $Z$ = $X^{2}-1.$

Решение. $P\{Z = - 1\} = P\{X = 0\} = 0,3, \quad P\{Z = 0\} = P\{(X = - 1) + (X = 1)\} = 0,6, \quad P\{Z = 3\} = P\{X = - 2\} = 0,1.$ Отсюда интегральная функция распределения с.в. $Z$ имеет следующий вид:

$$F(z) = \left\{ {\begin{array}{l} 0, {\text{если} } z ... ... \\ 1, {\text{если} } z > 3. \\ \end{array}} \right.$$

Пример 65. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,8, второго - 0,6, третьего - 0,5. Построить закон распределения для числа нормально работающих ТУ.

Решение. Пусть с.в. $X$ = {число нормально работающих ТУ}. Построим граф распределения с.в. $X$:

Рис. 46

Тогда по графу находим $P(X = 3) = 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,24;$ $P(X = 2) = 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,46;$ $P(X = 1) = 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,5 = 0,26;$ $P(X = 0) = 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,5 = 0,04$и получаем закон распределения:

$X$	0	1	2	3
$P$	0,04	0,26	0,46	0,24

Вопросы для самоконтроля

1. Какая случайная величина называется дискретной?
2. Какие типы дискретных случайных величин вы знаете?
3. Как задается дискретная случайная величина?
4. Приведите примеры дискретных случайных величин.
5. Что называется графом распределения случайной величины?
6. Особенности графика интегральной функции распределения дискретной случайной величины.
7. Что такое индикатор события?
8. Область изменения интегральной функции индикатора события.

Задачи

I 121. Составить закон распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

  122. С.в. $X$ задана интегральной функцией распределения

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0, {\text{если} } x ... ... \\ 1, {\text{если} } x > 2. \\ \end{array}} \right.$$

Найдите закон распределения с.в. $X$.

  123. Найти интегральную функцию распределения для числа простых цифр, полученных при извлечении двух карточек полной цифровой азбуки.

  124. Составить закон распределения для суммы очков на случайно выбранной "кости" из полного набора домино.

  125. Построить граф распределения для числа "дуплей" при извлечении трех "костей" из полного набора домино.

  126. Найти интегральную функцию распределения для числа выпадения шести очков при двух подбрасываниях игрального кубика.

II 127. Дискретная случайная величина $X$ имеет закон распределения

$X$	-2	-1	0	1	2	3
$P$	0,2	0,1	0,15	0,4	0,1	0,05

Найдите закон распределения с.в. $Y=X^{ 2}$ - 2.

  128. Случайная величина $X$ задана законом распределения

$X$	$\pi$/4	$\pi$/2	3$\pi$/4
$P$	0,2	0,3	0,5

Найти закон и интегральную функцию распределения для случайной величины $Y =\sin X.$

III 129. Найти интегральную функцию распределения для числа подбрасываний монеты до появления "герба".

  130. Найти закон, граф и интегральную функцию распределения для числа подбрасываний игральной кости до выпадения шестерки.

Далее: §14. Числовые характеристики дискретных Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: Глава III. Случайные величины