Далее: §16. Случайные величины и Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §14. Числовые характеристики дискретных

§15. Классические распределения

В этом параграфе рассматриваем по единому плану хорошо известные распределения дискретных случайных величин. Во-первых, проверяем выполняемость главного требования к закону распределения $\left( {\sum\limits_i {p_i = 1} } \right)$, а затем находим основные характеристики положения и рассеивания.

Пример 71. Равномерный закон распределения

Решение

1). $P\{X = k\} = {\displaystyle 1\over\displaystyle n}$ $(1 \le k \le n, k \in {\rm {\bf {\rm N}}}).$ Очевидно, что $\sum\limits_{k = 1}^n {P\{X = k\} = 1.}$

2). Характеристики положения

а). Математическое ожидание

$$M[X] = 1 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle n} + 2 \cd... ...r\displaystyle 2} = {\displaystyle n + 1\over\displaystyle 2}.$$

б). Мода $M_{{\text{ о}}}$ - каждое значение с.в., поскольку все $P\{X = k\} = {\displaystyle 1\over\displaystyle n}.$

в). Медиана $M_{{\text {е}}}=\left[ {{\displaystyle n + 1\over\displaystyle 2}} \right]$.

3). Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой $D$[$X$] = $M$[ $X^{2}] - M^{2}$[$X$].

Найдем $M[X^2] = 1^2 \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle n} + 2^2 \cdot {\displays... ...+ 1)\over\displaystyle 6} = {\displaystyle (n + 1)(2n + 1)\over\displaystyle 6}$ (см. [15], с. 73-74).

Тогда $D[X] = {\displaystyle (n + 1)(2n + 1)\over\displaystyle 6} - \left( {{\displays... ...style 12}[2(2n + 1) - 3(n + 1)] = {\displaystyle n^2 - 1\over\displaystyle 12}.$

Пример 72. Биномиальный закон распределения

Решение

1). С.в. $X$ = {число "успехов" при $n$ повторных независимых испытаниях}. Тогда по формуле Бернулли $P\{X = m\} = C_n^m p^mq^{n - m}$ (см. § 8). Используя бином Ньютона, получаем

$$\sum\limits_{m = 0}^n {P\{X = m\} = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m p^mq^{n - m}} = } (p + q)^n = 1.$$

2). а). Для вычисления математического ожидания воспользуемся индикатором $I_{Y}$($\omega$$_{i})$ "успехов" при $i$-м испытании ($i$ = 1, 2, ..., $n)$. Тогда

$$X = I_Y (\omega _1 ) + I_Y (\omega _2 ) + ... + I_Y (\omega _n ) {\text {и}}$$

$$M[X] = M[I_Y (\omega _1 )] + M[I_Y (\omega _2 )] + ... + M[I_Y (\omega _n )] = np,$$

поскольку $M[I_Y (\omega _i )] = p$ (см. пример 61).

б). $M_{{\text{ о}}}$ - наивероятнейшее число (см. §8).

3). Для нахождения дисперсии воспользуемся опять индикатором "успехов" и третьим свойством $D$[$X$]:

$$D[X] = D[I_Y (\omega _1 )] + D[I_Y (\omega _2 )] + ... + D[I_Y (\omega _n )] = npq,$$

поскольку $D[I_Y (\omega _i )] = pq$(см. пример 64).

Пример 73. Гипергеометрическое распределение. Из урны, содержащей $n$ шаров, среди которых $m$ белых, извлекаем $k$ шаров. Составить закон распределения для числа белых шаров, оказавшихся в выборке, и найти его числовые характеристики.

Решение. $X$ = {число белых шаров в выборке из $k$ шаров} = {0, 1, 2,..., $m$} и $P\{X = i\} = {\displaystyle C_m^i \cdot C_{n - m}^{k - i} \over\displaystyle C_n^k },$ где $i$ = 0, 1, 2,..., $m$.

1). $\sum\limits_{i = 0}^m {P\{X = i\} = {\displaystyle 1\over\displaystyle C_n^k }[... ...- m}^k + C_m^1 \cdot C_{n - m}^{k - 1} + C_m^2 \cdot C_{n - m}^{k - 2} + ... +}$
${ C_m^m \cdot C_{n - m}^{k - m} ] = {\displaystyle 1\over\displaystyle C_n^k } \cdot C_n^k = 1.}$

Использовали одно из свойств сочетаний (см. §3).

2). а). Математическое ожидание

$M[X] = \sum\limits_{i = 1}^m {i \cdot {\displaystyle C_m^i \cdot C_{n - m}^{k ... ...\cdot C_{n - m}^{k - 1} + 2 \cdot C_m^2 \cdot C_{n - m}^{k - 2} + ...+}\right.$

$\left. { + m \cdot C_m^m \cdot C_{n - m}^{k - m} } \right] = {\displaystyle k!... ...ystyle m(m - 1)\over\displaystyle 2} \cdot 2 \cdot C_{n - m}^{k - 2} + }\right.$

$\left. {+{\displaystyle m(m - 1)(m - 2)\over\displaystyle 3!} \cdot 3 \cdot C_{... ... + \left. { + (m - 1) \cdot C_m^{m - 1} \cdot C_{n - m}^{k - m + 1} + }\right.$

$\left. { +m \cdot C_m^m \cdot C_{n - m}^{k - m} } \right] = {\displaystyle k \c... ... - 1} } \cdot \left[ {C_{m - 1}^0 \cdot C_{(n - 1) - (m - 1)}^{k - 1} +}\right.$

$\left.{+C_{m - 1}^1 \cdot C_{(n - 1) - (m - 1)}^{k - 2} + } \right. + ... + C_... ... {C_{m - 1}^{m - 1} \cdot C_{(n - 1) - (m - 1)}^{(k - 1) - (m - 1)} } \right] =$

$= {\displaystyle k \cdot m\over\displaystyle n} \cdot {\displaystyle 1\over\dis... ...- 1} } \cdot C_{n - 1}^{k - 1} = {\displaystyle k \cdot m\over\displaystyle n}.$

б). Моду $M_{{\text{ о}}}$ находим аналогично определению наивероятнейшего числа биномиального закона распределения из решения системы неравенств:

$$\left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle P\{X = M_o - 1\}\o... ...\cdot C_{n - m}^{k - Mo - 1} } \ge 1 \\ \end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle M_o \over\displays... ... + n - m - k + M_o + 1 \ge m \cdot k \\ \end{array}} \right.$$

Откуда получаем ${\displaystyle (k + 1)(m + 1) - n\over\displaystyle n + 2} \le M_o \le {\displaystyle (k + 1)(m + 1)\over\displaystyle n}$ и ${M}_{\text{o}} \in {\rm {\bf Z}}.$

3). Прямое вычисление дисперсии громоздко, поэтому $D$[$X$] найдем позднее с использованием ковариации (см. пример 110).

В последних трех примерах рассмотрены конечные случайные величины.

Пример 74. Распределение Пуассона

Решение. Распределение Пуассона можно получить из биномиального, приняв за $\lambda$ = np и устремив число испытаний $n$ в бесконечность. В самом деле $P\{X = m\} = C_n^m p^mq^{n - m} = {\displaystyle n!\over\displaystyle m!(n - m)... ...\cdot \left( {1 - {\displaystyle \lambda \over\displaystyle n}} \right)^{n - m}$ по формуле Бернулли и при $n = {\displaystyle \lambda \over\displaystyle p}.$

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\displaystyle n(n - ... ...ystyle \lambda ^m\over\displaystyle m!} \cdot e^{ - \lambda }.$$

1). Рассмотрим бесконечное дискретное распределение $P\{X = m\} = {\displaystyle \lambda ^m\over\displaystyle m!}e^{ - \lambda }$, где 0 < $\lambda$ - параметp, a $m$ = 0, 1, 2, ...Проверим, что

$$1 = \sum\limits_{m = 0}^{ + \infty } {P\{X = m\} = \sum\limi... ...\over\displaystyle m!}} = e^{ - \lambda } \cdot e^\lambda = 1.$$

2). а). Математическое ожидание

$$M[X] = \sum\limits_{m = 0}^\infty {m \cdot {\displaystyle \l... ... = e^{ - \lambda } \cdot \lambda \cdot e^\lambda = \lambda } .$$

б). $M_{{\text{ о}}}$ = 0, если 0 < $\lambda$ <1.

3). Дисперсия

$$\begin{array}{l} M[X^2] = \sum\limits_{m = 0}^\infty {m^2{\... ...a e^\lambda } \right] = \lambda ^2 + \lambda . \\ \end{array}$$

Следовательно, $D[X] = M[X^2] - M^2[X] = (\lambda ^2 + \lambda ) - \lambda ^2 = \lambda .$

Пример 75. Геометрическое распределение

Решение.

1). Проводим повторные независимые испытания до появления "успеха". Граф распределения в этом случае выглядит следующим образом.

Рис. 51

$P\{X = k\} = q^{m - 1}p,$ где $m = 1, 2, 3, \ldots$

Проверим, что

$1 = \sum\limits_{m = 1}^{ + \infty } {P\{X = m\} = p + q \cdot p + q^2 \cdot p + ... + q^{n - 1} \cdot p} + ... = p(1 + q + q^2 +$

$+...+q^{n - 1} + ...) = p \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 1 - q} = p \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle p} = 1.$

2). а). Математическое ожидание

$M[X] = 1 \cdot p + 2 \cdot q \cdot p + 3 \cdot q^2 \cdot p + ... + nq^{n - 1} \cdot p + ... = p(1 + 2q + 3q^2 +$

$+... + nq^{n - 1} + ...) = p \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle (1 - q)... ...\displaystyle 1\over\displaystyle p^2} = {\displaystyle 1\over\displaystyle p}.$

б). $M_{{\text{ о}}}$ = 1, т.к. $p$ = max {$P${$X=m$}, $m$ = 1, 2, 3, ...}.

в). Для нахождения $M_{{\text{ е}}}$ решим систему неравенств

$$\left\{ {\begin{array}{l} p + q \cdot p + q^2 \cdot p + ...... ...\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \\ \end{array}} \right.$$

или

$$\left\{ {\begin{array}{l} 1 - q^{M_e} \ge 2^{ - 1} \\ q^{... ... (M_e - 1) \cdot \log _2 q \ge - 1 \\ \end{array}} \right.$$

Отсюда $- {\displaystyle 1\over\displaystyle \log _2 q} \le M_e \le 1 - {\displaystyle 1\over\displaystyle \log _2 q}.$

3). Для вычисления дисперсии найдем

$$\begin{array}{l} M[X^2] = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k^2q^... ...= {\displaystyle 1 + q\over\displaystyle p^2}. \\ \end{array}$$

Тогда $D[X] = M[X^2] - M^2[X] = {\displaystyle 1 + q\over\displaystyle p^2} - {\displaystyle 1\over\displaystyle p^2} = {\displaystyle q\over\displaystyle p^2}.$

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите примеры классических дискретных случайных величин.
2. Числовые характеристики равномерного закона распределения.
3. Как можно получить распределение Пуассона?
4. В чем состоит, на ваш взгляд, особенность распределения Пуассона?
5. Числовые характеристики биномиального закона распределения.
6. Гипергеометрическое распределение и треугольник Паскаля.
7. Числовые характеристики геометрического закона распределения.
8. Какие классические распределения являются бесконечными?

Задачи

I 141. Найти характеристики положения для числа выпадения шестерки при десяти подбрасываниях игральной кости.

  142. Найти медиану для числа подбрасываний игральной кости до выпадения шестерки.

  143. Найти числовые характеристики для числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.

  144. Найти дисперсию для числа $X$ появлений события $A$ в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что $M[X]$ = 1,4.

  145. В урне 10 шаров, половина из которых белые. Наугад достают три шара. Найти характеристики положения для числа белых шаров, оказавшихся в выборке.

  146. Найти медиану для случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром $\lambda$ = 2.

II 147. Брошены $n$ игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

  148. В урне находятся 7 белых и 7 черных шаров. Бросают игральную кость и по числу выпавших на ней очков извлекают такое же количество шаров. Какова вероятность достать одинаковое число черных и белых шаров?

III 149. Найти центральные и начальные моменты третьего порядка для равномерного закона распределения.

  150. Кот Базилио и Буратино кладут в шляпу по 50 золотых монет, перемешивают их и высыпают на стол. Базилио забирает все монеты, которые лежат кверху "орлом", а Буратино - те, которые лежат кверху "решкой". Каков риск этой игры для каждого игрока?

Далее: §16. Случайные величины и Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §14. Числовые характеристики дискретных