Далее: §19. Нормальный закон распределения Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §17. Закон больших чисел

§18. Непрерывные случайные величины и их характеристики

Случайную величину $X$ будем называть непрерывной, если ее интегральная функция распределения $F(x)=P${$X$ < $x$} непрерывна и дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Дифференциальной функцией распределения $f$ называют производную от интегральной функции

$f(x)=F$'($x)$.

Вместо термина "дифференциальная функция" используют другое название - "плотность вероятности", поскольку

$$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \infty } {\displ... ...style P\{x \le X < x + \Delta x\}\over\displaystyle \Delta x}.$$

Свойства дифференциальной функции:

$f(x) \quad \ge$ 0;

$$P\left\{ {a < x < b} \right\} = \int\limits_a^b {f(x)dx} ;$$

$$\int\limits_{ + \infty }^{ - \infty } {f(x)dx = 1} ;$$

$$F(x) = \int\limits_{ - \infty }^x {f(x)dx.}$$

Пусть функция $y=g(x)$ монотонно возрастает и $x=g^{ - 1}(y)$ - обратная функция. Тогда

$$F(y) = P\{Y < y\} = P\{g(x) < y\} = P\{X < g^{ - 1}(y)\} = F\left( {g^{ - 1}(y)} \right).$$

Дифференцируя это равенство по $y$, получаем (если $g(x)$ дифференцируема): ${\displaystyle dF(y)\over\displaystyle dy} = {\displaystyle dF\left( {g^{ - 1}(... ...\over\displaystyle dx} \cdot {\displaystyle d\over\displaystyle dy}g^{ - 1}(y),$ т.е. $f(y) = f\left( {g^{ - 1}(y)} \right)\left( {g^{ - 1}(y)} \right)^ / .$

Если $y=g(x)$ монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:

$$F(y) = 1 - F\left( {g^{ - 1}(y)} \right), \quad f(y) = f\lef... ... - 1}(y)} \right)\left( {g^{ - 1}(y)} \right)^ / \cdot ( - 1).$$

Случай, когда функция $y'=g(x)$ является монотонно возрастающей или убывающей, имеет основное прикладное значение.

Пример 86. Закон равномерного распределения вероятностей.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение.

Пусть $f(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm если }x \le a, \\ C,{\rm если }a < x < b, \\ 0,{\rm если }b \le x, \\ \end{array}} \right.$ т.к. $\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx = 1,}$ то $C = {\displaystyle 1\over\displaystyle b - a},$

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm если }x \le a, \\ ... ... < x < b, \\ 0,{\rm если }x \ge b. \\ \end{array}} \right.$$

Пример 87. Показательное распределение.

Решение. Показательное распределение задается своей дифференциальной функцией

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm если }x < 0, \\ \lambda e^{ - \lambd... ... \lambda _{{\rm -} {\rm п}{\rm а}{\rm р}{\rm а}{\rm м}{\rm е}{\rm т}{\rm р}. }$

Проверим, что $\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx = 1.} {\rm }\int\limits_{ - \inft... ... \left. {\left( { - e^{ - \lambda x}} \right)} \right\vert _0^{ + \infty } = 1.$

$^{{\rm Н}{\rm а}{\rm й}{\rm д}{\rm е}{\rm м} {\rm и}{\rm н}{\rm т}{\rm е}{\rm г... ...}x < 0, \\ 1 - e^{ - \lambda x},{\rm если }x \ge 0. \\ \end{array}} \right.$

Продолжительность существования радиоактивных частиц описывается показательным распределением.

Характеристиками положения н.с.в., так же как и дискретной, являются математическое ожидание, мода и медиана.

Математическим ожиданием н.с.в. называют число

$$M[X] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx,}$$

где $f(x)$ - плотность вероятности, и предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Модой н.с.в. называется значение с.в., при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой н.с.в. $X$ называется такое ее значение M$_{{\rm е}}$, что

$P${$X$ < M$_{e}$} = $P${$X$ > M$_{e}$}.

Основными характеристиками рассеивания н.с.в. являются дисперсия, асимметрия и эксцесс.

Дисперсия н.с.в. $D$[$X$] находится следующим образом:

$$D[X] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {(x - \bar {x})... ... = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2f(x)dx - M^2[X].}$$

Асимметрия - это число $A_S = {\displaystyle \mu _3 \over\displaystyle \sigma ^3} = {\displaystyle M[(X - \bar {x})^3]\over\displaystyle \sigma ^3},$ где $\sigma$ - среднее квадратичное отклонение с.в. $X$. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то A$_{s}$ = 0.

Эксцессом с.в. $X$называется число $E_k = {\displaystyle \mu _4 \over\displaystyle \sigma ^4} - 3 = {\displaystyle M[(X - \bar {x})^4]\over\displaystyle \sigma ^4} - 3.$ Число E$_{k}$ характеризует "крутость" кривой плотности вероятности по сравнению с кривой Гаусса. Для нормального закона распределения E$_{k}$ = 0, для островершинных E$_{k}$ >0, для пологих E$_{k}$ < 0.

Пример 88. Найти математическое ожидание, медиану, дисперсию и асимметрию для равномерного распределения.

Решение. $M[X] = \int\limits_{ - \infty }^a {x \cdot 0 \cdot dx} + \int\limits_a^b {{\dis... ...\over\displaystyle 2}}^{{\displaystyle b - a\over\displaystyle 2}} {y^3dy} = 0.$

Пример 89. Найти математическое ожидание и дисперсию для показательного распределения.

Решение. $M[X] = \int\limits_{ - \infty }^0 {x \cdot 0 \cdot dx + \int\limits_0^{ + \inft... ...array}{l} du = dx \\ v = - e^{ - \lambda x} \\ \end{array}} \right\vert =$

$$= \left. {x\left( { - e^{ - \lambda x}} \right)} \right\ver... ...0^{ + \infty } = {\displaystyle 1\over\displaystyle \lambda }.$$

$$D[X] = \int\limits_0^{ + \infty } {\left( {x - {\displaystyl... ...lambda }\int\limits_{\rm0}^{ + \infty } {e^{ - \lambda x}dx} =$$

$$= \left\vert {\begin{array}{l} u = x^2 \\ dv = \lambda e... ...{ + \infty } = {\displaystyle 1\over\displaystyle \lambda ^2}.$$

Пример 90. Найти характеристики положения с.в. $X$, распределенной по закону Рэлея: $F(x) = 1 - e^{ - {\displaystyle x^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}} (x \ge 0).$

Решение. 1). Поскольку с.в. задана интегральной функцией распределения, то проще начать с нахождения медианы M$_{{\rm е}}$. Т.к. $P\{X < M_e \} = F(M_e ) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2},$ то $1 - e^{ - {\displaystyle Me^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}} = {\displaystyle {... ...^2\over\displaystyle 2\sigma ^2} = - \ln 2, \quad M_e = \sigma \sqrt {2\ln 2} .$

Для вычисления других характеристик положения необходима дифференциальная функция распределения. Найдем ее:

$$f(x) = F'(x) = - e^{ - {\displaystyle x^2\over\displaystyle ... ...- {\displaystyle x^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}} (x \ge 0).$$

2). Мода M$_{{\rm о}}$: $f$(M$_{o})$ = max{$f(x)$}.

Исследуем функцию $y=f(x)$ на экстремум, для этого найдем ее производную.

$$f'(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma ^2}e^{ - {... ...ma ^4}e^{ - {\displaystyle x^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}},$$

$${\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma ^2}e^{ - {\display... ...quad = \sigma {\rm и}{\rm M}_{{\rm о} \quad } = \sigma \quad .$$

3). $M[X] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} = \int\limits_0^{ + \inf... ...laystyle 2}} \right) = \sigma \sqrt {{\displaystyle \pi \over\displaystyle 2}}$

Вопросы для самоконтроля

1. Какая случайная величина называется непрерывной?

2. Какое другое название имеет дифференциальная функция распределения и почему?

3. Основное свойство дифференциальной функции распределения.

4. Нахождение интегральной функции распределения через дифференциальную.

5. Какие характеристики положения вы знаете?

6. Как находятся характеристики рассеивания?

7. Какие процессы можно описать с помощью показательного закона рас-пределения?

8. Какие числовые характеристики показательного закона распределения сов-падают?

Задачи

I 171. Найти интегральную функцию распределения для случайной величины $X$, распределенной по закону Лапласа, т.е.

$$f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2}e^{ - \left\vert x \right\vert}.$$

172. Случайная величина $X$ задана интегральной функцией распределения

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm при }x \le 1, \\ ... ...1 < x \le 2, \\ 1,{\rm при }x > 2. \\ \end{array}} \right.$$

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение:

а) меньше 0,4; б) больше 2; в) от 1,3 до 1,5.

173. Случайная величина $X$ задана интегральной функцией распределения

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm при }x \le 0, \\ ... ...0 < x \le 1, \\ 1,{\rm при }x > 1. \\ \end{array}} \right.$$

Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний $X$ровно два раза примет значение, принадлежащее интервалу ( $\raise.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-.1em/ \kern-.15em\lower.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}$, $\raise.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-.1em/ \kern-.15em\lower.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$} )$.

174. Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f(x)$ = 2sin4$x$ в интервале (0; ${\pi \over 4})$, вне этого интервала $f(x)$ = 0. Найти вероят-ность того, что $X$ примет значение, принадлежащее интервалу (0; ${\pi \over 6})$.

175. Плотность распределения случайной величины $X$ задана на всей оси $ОX$ равенством $f(x) = {\displaystyle a\over\displaystyle e^x + e^{ - x}}$.Найти постоянный параметр $а$.

176. Случайная величина $X$ задана дифференциальной функцией распреде-ления

$$f(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 0,{\rm при }x < 0{\rm и }x... ...rm arctg }x,{\rm при }0 \le x \le 1. \\ \end{array}} \right.$$

Найти параметр $а$.

II 177. Случайная величина $X$ распределена по закону Коши с дифференци-альной функций распределения $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \pi (1 + x^2)}$. Найти математическое ожидание и вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение в интервале (-1, 1).

178. Непрерывная случайная величина $X$ распределена равномерно на ин-тервале (-2, 8). Найти математическое ожидание и дисперсию величины $X$.

III 179. Случайная величина $X$ задана функцией распределения

$$F(x) = \left\{ {\begin{array}{l} 1 - {\displaystyle x_0^2 \... ...\ge x_0 , \\ 0,{\rm при }x < x_0 . \\ \end{array}} \right.$$

Найти числовые характеристики величины $X$.

180. Диаметр круга $X$ измерен приближенно, причем $а \le х \le b$. Рассматривая диаметр как случайную величину $X$, распределенную равномерно в интервале ($a$, $b)$, найти числовые характеристики площади круга.

Далее: §19. Нормальный закон распределения Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §17. Закон больших чисел