Далее: §20. Двумерные случайные величины Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §18. Непрерывные случайные величины

§19. Нормальный закон распределения

В начале XIX века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку в работах Гаусса и Лежандра утверждалось о нормальном законе распределения ошибок наблюдений.

Нормальный закон распределения (или распределение Гаусса) задается следующей дифференциальной функцией

$f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\... ...laystyle (x - a)^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}},\quad\mbox{где}\quad a,\sigma$ - параметры.

Рис. 56

$f$ ($a)$ - max

$x_{1}$ = а - $\sigma$, x$_{2}$ = а + $\sigma$ - точки перегиба.

Пример 91. Показать, что функция $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\displaystyle (x - a)^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}}$ является дифференциальной функцией распределения н.с.в.

Решение. Проверим, что $\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = 1.$

$$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = \int\limits... ...nfty } {e^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} = 1.$$

Пример 92. Правило трех сигм.

Решение. Найдем вероятность того, что распределенная нормально с.в. $X$ находится на промежутке ] $\alpha$, $\beta$ [ .

$P\{\alpha < x < \beta \} = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\p... ...yle \alpha - a\over\displaystyle \sigma }} \right),{\rm г}{\rm д}{\rm е}{\rm Ф}$- табличная функция Лапласа (см. §9[перейти] и приложение 2).

$$\begin{array}{l} P\{a - \sigma < x < a + \sigma \} = 2\Phi ... ... \} = 2\Phi (3) \approx 2 \cdot 0,499 = 0,998, \\ \end{array}$$

т.е. можно считать практически достоверным, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, находится на интервале ] $a - 3\sigma, a + 3\sigma$[.

Пример 93. Найти характеристики положения для нормального закона распределения.

Решение. 1). $M[X] = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{ -... ... + \infty } {e^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}(\sigma t + a)dt} =$

$$= {\displaystyle \sigma \over\displaystyle \sqrt {2\pi } }\... ...nfty } {e^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} = 1.$$

2). $f'(x) = - {\displaystyle (x - a)\over\displaystyle \sigma ^3\sqrt {2\pi } } \cd... ...\over\displaystyle 2\sigma ^2}}, f'(a) = 0{\rm и }f'(a - 0) > 0, f'(a + 0) < 0,$ то $M_o=a$.

3). $M_e = a$, т.к. график функции $y = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi} \cdot e^{- {\displaystyle (x - a)^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}}}$ симметричен относительно прямой $x=a$.

Пример 94. Найти характеристики рассеивания для нормального закона распределения.

Решение. 1). $D[X] = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi } }\int\limits_{ -... ... \infty }^{ + \infty } {t^2e^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} =$

$$\left\vert {\begin{array}{l} u = t \\ dv = te^{ - {\displ... ...splaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} } \right] = \sigma ^2.$$

2). Среднее квадратическое отклонение $\sigma _x = + \sqrt {D[X]}$ в нашем случае равно $\sigma$.

3). Найдем асимметрию $A_{s}$.

$$A_S = {\displaystyle 1\over\displaystyle \sigma \sqrt {2\pi ... ...y } {t^3e^{ - {\displaystyle t^2\over\displaystyle 2}}dt} = 0.$$

Пример 95. Найти математическое ожидание и дисперсию для показательного двустороннего закона Лапласа.

Решение. 1). $M[X] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{\displaystyle \lambda \over\dis... ... \over\displaystyle 2}\int\limits_a^{ + \infty } {xe^{ - \lambda (x - a)}dx} =$

$$= \left\vert {\begin{array}{l} u = x \\ dv = e^{\pm \lam... ... e^{ - \lambda (x - a)} \cdot x} \right\vert _a^{ + \infty } +$$

$$+ {\displaystyle 1\over\displaystyle 2}\int\limits_a^{ + \i... ...\lambda } + {\displaystyle 1\over\displaystyle 2\lambda } = a.$$

2). Для нахождения дисперсии вычислим M[X$^{2}$]:

$$M[X^2] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2{\display... ...e 2}\int\limits_a^{ + \infty } {x^2e^{ - \lambda (x - a)}dx} =$$

$$= \left\vert {\begin{array}{l} u = x^2 \\ dv = e^{\pm \l... ...laystyle 1\over\displaystyle \lambda }e^{\lambda (x - a)}dx} -$$

$$- \left. {{\displaystyle \lambda \over\displaystyle 2} \cdo... ...- a^2} \right) = {\displaystyle 2\over\displaystyle \lambda }.$$

Вопросы для самоконтроля

Как задается нормальный закон распределения?

Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.

Как изменяется кривая нормального распределения при изменении ее параметров?

Какие числовые характеристики нормального распределения совпадают?

Как можно находить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение по кривой нормального распределения?

Каким образом можно получить асимптотическую формулу Лапласа?

Правило трех сигм.

Задачи

I 181. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины $X$ равно $a = 1$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma$ = 3. Написать дифференциальную функцию распределения для $X$.

182. Найти плотность вероятности нормально распределенной случайной величины $X$, зная, что $M$[$X$] = 2, $D$[$X$] = 9.

183. Случайная величина $X$ задана дифференциальной функцией $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2\sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\displaystyle (x - 3)^2\over\displaystyle 8}}.$ Найти математическое ожидание и дисперсию $X$.

184. Нормально распределенная случайная величина $X$ задана функцией плотности вероятности $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 6\sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\displaystyle (x - 2)^2\over\displaystyle 72}}.$ Найти моду и медиану $X$.

185. Случайная величина $X$ распределена по нормальному закону с $a = 3$ и $\sigma$ = 0,5. Определить вероятность того, что ее значение отклоняется от $a$ по абсолютной величине не более чем на 0,7.

186. Случайная величина $X$ задана дифференциальной функцией $f(x) = \sqrt {{\displaystyle 2\over\displaystyle \pi }} \cdot e^{ - {\displaystyle (x - 1)^2\over\displaystyle 0,5}}.$ Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0, 2).

II 187. Случайная величина $X$ распределена нормально со средним квадратическим отклонением $\sigma$ = 2 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,995 случайная величина $X$ оба раза попадет в результате двух испытаний.

188. Случайная величина $X$ распределена нормально и имеет плотность вероятности $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 3\sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\displaystyle (x - 1)^2\over\displaystyle 18}}.$ Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Y$, если $Y$ = 5$X$+1.

III 189. Случайная величина $X$ распределена по нормальному закону с плотностью вероятности $f(x) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 6\sqrt {2\pi } } \cdot e^{ - {\displaystyle x^2\over\displaystyle 2\sigma ^2}}.$ Найти дифференциальную функцию обратной ей величины $Y$ = 1/$X$.

190. Доказать, что если случайная величина $X$ имеет нормальное распределение, то линейная функция $Y=AX+B (A \quad \ne 0)$ также имеет нормальное распределение.

Далее: §20. Двумерные случайные величины Вверх: Глава III. Случайные величины Назад: §18. Непрерывные случайные величины