Доверительным называется интервал, который с заданной
надежностью покрывает оцениваемый параметр.
Для оценки математического ожидания случайной величины
, распределенной по
нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении
служит
доверительный интервал
где
- точность оценки,
- объем
выборки,
- выборочное среднее,
- аргумент функции Лапласа, при
котором
Пример 166. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью
0,9 неизвестного математического ожидания нормально распределенного
признака
генеральной совокупности, если среднее квадратическое отклонение
, выборочная средняя
и объем выборки
.
Решение. Требуется найти доверительный интервал
Все величины, кроме , известны. Найдем
из соотношения
.
По таблице приложения находим
и получаем доверительный интервал
.
Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то для оценки
служит доверительный интервал
где находится в приложении 4 по заданным
и
, а вместо
часто бывает возможно подставить любую из оценок
- исправленное среднеквадратическое, статистическое среднеквадратическое
отклонения соответственно. При увеличении обе оценки
и
будут
различаться сколь угодно мало и будут сходиться по вероятностям к одной и
той же величине
.
Пример 167. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
= 50:
![]() |
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
![]() |
10 | 5 | 15 | 15 | 5 |
Оценить с надежностью математическое ожидание
нормально
распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней.
Решение. Выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам
Пользуясь таблицей приложения 4, по
и
находим
.
Найдем искомый доверительный интервал:
подставляя ,
,
,
,
получим
.
Пример 168. Результаты исследования длительности оборота (в днях) оборотных средств торговых фирм города Ярославля представлены в группированном виде:
![]() ![]() |
24 - 32 | 32 - 40 | 40 - 48 | 48 - 56 | 56 - 64 | 64 - 72 | 72 - 80 |
![]() |
2 | 4 | 10 | 15 | 11 | 5 | 3 |
Построить доверительный интервал с надежностью для средней длительности
оборотных средств торговых фирм города.
Решение. Найдем выборочную среднюю длительности оборотных средств.
Для упрощения вычисления исправленного среднеквадратического отклонения
выберем приближенное значение
. Тогда
В приложении 4
по и
находим
, а следовательно, и доверительный интервал
Рассматривая независимых испытаний, можно оценить вероятность
по
относительной частоте.
Пример 169. Сколько раз надо подбросить монету, чтобы с
вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления
"герба" отклонится от вероятности этого события по абсолютной величине не
более чем на
?
Решение. По условию
,
,
.
Тогда
Из таблицы значений функции Лапласа находим, что
,
откуда
.
Точечные оценки неизвестных параметров распределения можно находить по методу наибольшего правдоподобия, предложенному Р. Фишером.
Пример 170. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку
параметра биномиального распределения
если в независимых испытаниях событие
появилось
раз и в
независимых испытаниях событие
появилось
раз.
Решение. Составим функцию правдоподобия:
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
Вычислим первую производную по :
Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю:
Решив полученное уравнение относительно , найдем критическую точку:
в которой производная отрицательна. Следовательно,
- точка максимума и, значит, ее надо принять в качестве
наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности
биномиального
распределения.
Вопросы для самоконтроля
Задачи
I 331. Игральная кость подбрасывается 300 раз. Какова вероятность того, что относительная частота появления шести очков на верхней грани кости отклонится от вероятности появления события в одном испытании по абсолютной величине не более чем на 0,05?
332. Сколько раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появления "герба" отклонится от вероятности этого события по абсолютной величине не более чем на 0,1?
333. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним
квадратическим отклонением
. Найдите доверительные интервалы для оценки
неизвестного математического ожидания
по выборочным средним
,
если объем выборки
и задана надежность оценки
.
334. Исследовалось время безотказной работы 50 лазерных принтеров. Из
априорных наблюдений известно, что среднее квадратическое отклонение времени
безотказной работы ч. По результатам исследований получено среднее
время безотказной работы
ч. Постройте 90%-й доверительный
интервал для среднего времени безотказной работы.
335. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально.
По выборке объема
найдено "исправленное" среднее квадратическое
отклонение
. Найдите доверительный интервал, покрывающий генеральное
среднее квадратическое отклонение
с надежностью
.
336. Произведено 16 измерений одним прибором некоторой физической величины,
причем исправленное среднее квадратическое отклонение случайных ошибок
измерений оказалось равным 0,7. Найдите интервал ошибок прибора с
надежностью 0,99. Предполагается, что ошибки измерений распределены
нормально.
II 337. Время (в минутах) обслуживания клиентов в железнодорожной кассе представлено выборкой: 2,0; 1,5; 1,0; 1,0; 1,25; 3,5; 3,0; 3,0; 3.75; 3,7; 4,0; 6,0; 7,0; 1,5; 8,0; 3,5; 5,0; 3,5; 14,0; 12,0; 15,1; 18,0; 18,5; 17,0. Определите процент клиентов, время обслуживания которых более 12 минут и менее 5 минут.
338. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
![]() |
-0,4 | -0,2 | -0,1 | 0 | 0,2 | 0,5 | 0,7 | 1 | 1,2 | 1,6 |
![]() |
1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 |
Оцените с надежностью 0,9 математическое ожидание нормально распределенного
признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.
III 339. Результаты исследования длительности оборота оборотных средств торговых фирм города (в днях) представлены в группированном виде:
![]() |
24-33 | 33-42 | 42-51 | 51-60 | 60-69 | 69-78 | 78-87 |
![]() |
1 | 4 | 9 | 18 | 10 | 6 | 2 |
Постройте доверительный интервал с надежностью 0,95 для средней длительности
оборотных средств торговых фирм города при условии, что среднее
квадратическое отклонение неизвестно (известно и равно 10 дням).
340. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра распределения
Пуассона