Далее: 5.3.  Принцип энтропии Вверх: 5.  Второе начало термодинамики Назад: 5.1.  Циклы

5.2.  Постулат Клаузиуса и обратимый цикл Карно

Сформулируем второе начало термодинамики в виде следующего утверждения (постулат Клаузиуса):

В природе не существует процесса, единственным результатом которого была бы передача тепла от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой.

Результат процесса здесь понимается в самом широком смысле: изменения термодинамических параметров любых частей системы, совершение механической работы, изменение положения внешних тел, величин внешних сил и так далее. Постулат Клаузиуса, таким образом, означает, что невозможно осуществить такой процесс, в конце которого термодинамические параметры во всех частях системы приняли бы начальные значения (в частности, круговой процесс), не было бы совершено никакой механической работы (ни положительной, ни отрицательной), ничего не изменилось бы вне системы, но при этом произошла бы передача тепла от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой. Такой процесс был бы эквивалентен самопроизвольному переходу тепла от холодного тела к горячему в изолированной системе (все сопутствующие процессы между началом и окончанием теплообмена в сумме компенсируются или вообще не происходят), что, как мы знаем из повседневного опыта, действительно невозможно.

Для дальнейших рассуждений нам необходимо ввести понятие цикла Карно - кругового процесса, в котором система (рабочее тело) осуществляет теплообмен с двумя тепловыми резервуарами (термостатами) с постоянной температурой.
Иными словами, процессы поглощения и выделения тепла являются изотермическими, а процессы перехода от взаимодействия с одним термостатом к взаимодействию с другим термостатом и обратно - адиабатическими. При этом мы не устанавливаем никаких ограничений в отношении количеств поглощенного и выделенного тепла, а также в отношении вещества, из которого состоит рабочее тело (это может быть идеальный газ, вода, находящаяся в равновесии с насыщенным паром, или любая другая термодинамическая система). Ограничимся пока рассмотрением обратимого цикла Карно.

Тепло, поглощаемое от теплового резервуара с температурой $T_1$, обозначим $Q_1$; тепло, отдаваемое резервуару с температурой $T_2\;\;(T_2<T_1)$, обозначим $Q_2$ (по абсолютной величине). Работа, совершаемая за цикл, в соответствии с первым началом термодинамики равна

$$A\ =\ Q_1\ -Q_2\;\;,$$

так как изменение внутренней энергии в сумме за цикл равно нулю.

В обратном цикле тепло $Q_2$ будет поглощаться от холодного резервуара $(T_2)$, а горячему резервуару $(T_1)$ будет отдаваться тепло $Q_1$ (по абсолютной величине), что возможно при совершении над системой внешней работы

$$A_{\text{вн}}\ =\ Q_1\ -Q_2\;\;.$$

Докажем, используя постулат Клаузиуса, что для обратимого цикла Карно имеет место следующее равенство:

$${Q_1\over T_1}\; =\; {Q_2\over T_2}\;\;\;$$ (4)

(отношения абсолютных значений порций поглощенного и выделенного тепла к абсолютным температурам соответствующих тепловых резервуаров равны между собой).

Вначале докажем, что отношение $Q_2/Q_1$ не зависит от термодинамических свойств рабочего тела (идеальный газ, реальный газ, жидкость и так далее).

Рис. 6 

Рассмотрим следующий процесс. Между двумя тепловыми резервуарами с температурами $T_1$ и $T_2\;\;(T_2<T_1)$ осуществляются два обратимых цикла Карно
(рис. 6). В одном из циклов при температуре $T_1$ поглощается тепло $Q_1$, а при температуре $T_2$ выделяется тепло $Q_2$. За счет этого совершается работа $A=Q_1 - Q_2$. В другом цикле поглощается тепло $Q_1^\prime$, выделяется тепло $Q_2^\prime$ и совершается работа $A^\prime = Q_1^\prime - Q_2^\prime$. Пусть рабочие тела циклов состоят из различных веществ. Предположим, что вследствие этого отношения $Q_2/Q_1$ и $Q_2^\prime/Q_1^\prime$ не равны друг другу, например,

$${Q_2\over Q_1}\ <\ {Q_2^\prime\over Q_1^\prime}\;\;\;.$$ (5)

Выберем параметры циклов таким образом, чтобы работа $A$ была равна работе $A^\prime$ (очевидно, что это всегда возможно). Тогда, в соответствии с первым началом термодинамики,

$$Q_1\ -\ Q_2\ =\ Q_1^\prime\ -\ Q_2^\prime\;\;\;,$$ (6)

или

$$Q_1 \left(\ 1\ -\ {Q_2\over Q_1}\ \right)\ =\ Q_1^\prime \left(\ 1\ -\ {Q_2^\prime\over Q_1^\prime}\ \right)\;\;\;.$$

С учетом (5) это означает, что

$$Q_1\ <\ Q_1^\prime\;\;.$$ (7)

Поскольку по условию оба цикла обратимы, любой из них можно провести в противоположном направлении. Представим, что мы проделали это со вторым циклом, то есть тепло $Q_2^\prime$ будет теперь поглощаться от холодного резервуара, тепло $Q_1^\prime$ - передаваться горячему резервуару. В этом случае вся работа, произведенная в первом цикле, будет потрачена на осуществление второго цикла. Тогда, согласно (6) и (7), получаем

$$Q_1^\prime\ -\ Q_1\ =\ Q_2^\prime\ -\ Q_2\ >\ 0\;\;\;.$$

Это означает, что в результате процесса, состоящего из прямого и обратного циклов Карно, порция тепла $\Delta Q = Q_1^\prime - Q_1$ была бы передана от холодного резервуара к горячему, причем никаких других изменений в системе не произошло (оба рабочих тела вернулись в начальное состояние, произведенная работа полностью потрачена). Полученный результат противоречит постулату Клаузиуса. Если неравенство (5) будет противоположным, то в обратном направлении нужно провести первый цикл, после чего аналогичные рассуждения приводят к тому же противоречию. В результате мы приходим к выводу, что

$${Q_2\over Q_1}\ =\ {Q_2^\prime\over Q_1^\prime}\;\;\;$$

- отношение абсолютных величин выделенного и поглощенного тепла в циклах Карно с заданными температурами тепловых резервуаров не зависит от вида вещества, из которого состоит рабочее тело.

Выбор двух циклов с одинаковыми значениями работы нисколько не ограничивает общности нашего доказательства. В том случае, если работы $A$ и $A^\prime$ не равны, но их отношение равно отношению целых чисел $n_1$ и $n_2$, мы можем каждый из циклов провести соответствующее количество раз, так, чтобы $n_2 A = n_1 A^\prime$, тогда в наших рассуждениях $Q_1$ и $Q_2$ увеличатся в $n_2$ раз, а $Q_1^\prime$ и $Q_2^\prime$ - в $n_1$ раз. При этом отношения порций выделенного и поглощенного тепла в каждом из циклов не изменятся. Если же нельзя подобрать таких конечных целых чисел $n_1$ и $n_2$, чтобы

$${A\over A^\prime}\ =\ {n_1\over n_2}\;\;\;,$$

то эти числа всегда можно выбрать настолько большими, чтобы их отношение с любой заданной точностью приближалось к отношению работ.

Все это означает, в частности, что для обратимых циклов Карно $Q_2/Q_1$ не зависит не только от вещества, из которого состоит рабочее тело, но и от протяженности процессов теплообмена. Действительно, предыдущее замечание, относящееся к случаю $A \neq A^\prime$, в равной мере справедливо для циклов с различным и одинаковым рабочим веществом, а в случае двух циклов с одинаковым рабочим веществом неравенство работ как раз и означает различие протяженностей изотермических участков (степеней сжатия). Отношение выделенного тепла к поглощенному при этом, как мы видели, одно и то же.

Таким образом, можно сделать окончательный вывод о том, что отношение абсолютных величин выделенного и поглощенного тепла в идеальном цикле Карно зависит только от абсолютных температур термостатов.

$${Q_2\over Q_1}\ =\ f(T_2,T_1)\;\;\;.$$ (8)

Последнее обстоятельство позволяет нам провести вычисление отношения $Q_2/Q_1$ для любого конкретного вещества, например, для идеального газа. Согласно (8) мы получим при этом заведомо общий результат.

Цикл Карно для идеального газа изображен на рис. 7. Известно, что внутренняя энергия идеального газа однозначно определяется его температурой³. Поэтому на изотермических участках ${\it 1} \to {\it 2}$ и ${\it 3} \to {\it 4}$ внутренняя энергия не изменяется и, следовательно, на участке ${\it 1} \to {\it 2}$ поглощенное тепло равно полезной работе, на участке ${\it 3} \to {\it 4}$ выделенное тепло равно внешней работе: $Q_1=A_{12}$, $Q_2=-A_{34}$. Работу будем вычислять в соответствии с формулой (2) и уравнением состояния идеального газа:

Рис. 7 

$$pV\ =\ RT$$

(конечный результат для отношения $Q_2/Q_1$ не зависит от количества газа, поэтому можно считать, что цикл проводится с одним молем газа). Работа на участке ${\it 1} \to {\it 2}$ равна

$$A_{12}\ =\ \sum_1^2 p_{i}\, \Delta V_{i}\ =\ RT_1\ \sum_1^2{\Delta V_{i}\over V_i}\;.$$

Сумма $\sum_1^2\Delta V_{i}/ V_i$, очевидно, является функцией конечного и начального объемов:

$$\sum_1^2{\Delta V_{i}\over V_i}\ =\ \varphi(V_2,V_1)\;\;.$$ (9)

Это видно из рис. 8. Действительно, если под (9) понимать предельное значение конечной суммы при неограниченном убывании промежутков дробления $\Delta V_{i}$, то она будет равна площади криволинейной трапеции ( $V_1, \it 1, \it 2, V_2$) на рис. 8, которая при фиксированной функции $1/V$ зависит только от $V_2$ и $V_1$.

Домножим $V$ на произвольное положительное число $\alpha$. Это будет означать замену $V \to V^\prime = \alpha V$, причем сумма $\sum_1^2\Delta V_{i}/ V_i$ при этом не изменится:

$$\sum_1^2{\Delta V_{i}^\prime\over V_i^\prime}\ =\ \sum_1^2{\Delta V_{i}\over V_i}\;\;,$$

что означает

$$\varphi(\alpha V_2,\alpha V_1)\ =\ \varphi(V_2,V_1)\;\;.$$

Это справедливо для функции

$$\varphi(V_2,V_1)\ =\ \varphi\left({V_2\over V_1}\right)\;\;\;.$$

Заметим, что для обратного процесса ${\it 2} \to {\it 1}$ работа меняет знак, поэтому $\varphi(V_2/V_1) = - \varphi(V_1/V_2)$⁴. Таким образом, получаем

$$Q_1\ =\ A_{12}\ =\ R\,T_1\ \sum_1^2{\Delta V_{i}\over V_i}\ =\ RT_1\ \varphi\left({V_2\over V_1}\right)\;.$$ (10)

Аналогично

$$Q_2\ =\ -A_{34}\ =\ R\,T_2\ \sum_4^3{\Delta V_{i}\over V_i}\ =\ RT_2\ \varphi\left({V_3\over V_4}\right)\;.$$ (11)

Рис. 8 

Адиабатический процесс в идеальном газе описывается уравнением Пуассона

$$T\,V^{\gamma-1}\ =\ const\;\;.$$

(см. (25), решение задачи 4.11).Применим его к процессам ${\it 2} \to {\it 3}$ и ${\it 4} \to {\it 1}$:

$$T_1\,V_2^{\gamma-1}\ =\ T_2\,V_3^{\gamma-1}\;\;,$$

$$T_1\,V_1^{\gamma-1}\ =\ T_2\,V_4^{\gamma-1}\;\;,$$

откуда

$${V_2\over V_1}\ =\ {V_3\over V_4}\;\;\;.$$

С учетом этого отношение выделенного в цикле тепла (11) к поглощенному (10) равно

$${Q_2\over Q_1}\ =\ {T_2\over T_1}\;\;\;,$$

что и доказывает соотношение (4) для любого обратимого цикла Карно.

Далее: 5.3.  Принцип энтропии Вверх: 5.  Второе начало термодинамики Назад: 5.1.  Циклы