Далее: Глава III. Случайные величины Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §11. Цепи Маркова

§12. Аксиоматика теории вероятностей

Классическое определение вероятности случайного события предполагает конечное число всех исходов испытания. Но часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно. В этом случае, если позволяют обстоятельства, используют понятие геометрической вероятности.

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события $A$, к мере всей области исходов $\Omega$

$$P(A) = {\displaystyle {\text{ мера }}A\over\displaystyle {\text{ мера} }\Omega }.$$

Пример 56. Две студентки физмата договорились о встрече у деканата на большой перемене (40 мин.), условившись каждая ждать другую не более 10 мин. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Решение. Обозначим через $x$ и $y$ время в час. прихода к деканату студенток с начала перемены. Тогда $\Omega$ = {($x,y)$ / 0 $\le x \le$ ${\displaystyle 2\over\displaystyle 3}$, 0 $\le y \le {\displaystyle 2\over\displaystyle 3}$} на плоскости $xOy$ (рис. 39). Область равновозможных значений $x$ и $y$ представлена квадратом $\Omega$ площадью ${\displaystyle 4\over\displaystyle 9}$. Область благоприятных значений $A$ = {встреча состоится} = {($x,y)$ / 0 $\le x \le {\displaystyle 2\over\displaystyle 3}$, 0 $\le y \le {\displaystyle 2\over\displaystyle 3}$, $\left\vert {y - x} \right\vert \le {\displaystyle 1\over\displaystyle 6}$} заключена между прямыми $y = x - {\displaystyle 1\over\displaystyle 6}$ и $y = x + {\displaystyle 1\over\displaystyle 6}$.

Рис. 39

$$S_A = {\displaystyle 4\over\displaystyle 9} - 2 \cdot {\disp... ...over\displaystyle 4} = {\displaystyle 7\over\displaystyle 36},$$

следовательно, $P(A) = {\displaystyle S_A\over\displaystyle S_\Omega } = {\displaystyle \raise0... ...m\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 9$}} = {\displaystyle 7\over\displaystyle 16}.$

Пример 57. Палка длины $l$ разломана на 3 части. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.

Решение. Обозначим через $x$ и $y$ длины двух получившихся частей палки, тогда длина третьей части будет $l - x - y.$ $\Omega = \{(x,y) / 0 \le x \le l, 0 \le y \le l\}$. Событие A = {из трех частей можно составить треугольник} выполняется, когда имеют место неравенства треугольника:

$$\left\{ {\begin{array}{l} x + y > l - x - y \\ x + (l - x - y) > y \\ y + (l - x - y) > x. \\ \end{array}} \right.$$

Итак, событие A = {($x,y)$ / 0 $\le x \le l$, 0 $\le y \le l, x + y >{\displaystyle l\over\displaystyle 2}, y <{\displaystyle l\over\displaystyle 2}, x <{\displaystyle l\over\displaystyle 2}$} на плоскости $xOу$ представляет треугольник (рис. 40).

Рис. 40

Отсюда $P(A) = {\displaystyle S_A\over\displaystyle S_\Omega } = {\displaystyle 1\over\displaystyle 8}.$

Рассмотренные выше классическая и геометрическая вероятности побуждают на выделение наиболее существенных и общих для них свойств, которые можно было бы принять в качестве основных аксиом при построении математического основания теории вероятностей.

Пусть каждому событию $A$ ставится в соответствие некоторое число $P(A)$, которое удовлетворяет общепринятой системе аксиом Колмогорова:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

   
   

   $$0 \le P(A) \le 1 {\text{и }} P(\Omega ) = 1.$$
   
   

2. Если $A$ и $B$ независимые события $(A\cdot B =\emptyset),$ то $P(A+B)=P(A)+P(B)$.
3. Если имеется счетное множество несовместных событий $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$, ...($A_{i}$$\cdot$A$_{j}$ = $\emptyset$ при i$\ne$j), то $P(\sum\limits_{i = 1}^\infty {A_i ) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {P(A_i )} } .$

Выведем из предложенных аксиом некоторые "классические" формулы.

Пример 58. Доказать, что $P(A\cdot B)=P(A) - P(A \cdot \bar {B}).$

Решение. $A = A \cdot \Omega = A \cdot (B + \bar {B}) = A \cdot B + A \cdot \bar {B}$ и $(A \cdot B) \cdot (A \cdot \bar {B}) = \emptyset$. Следовательно, по второй аксиоме $P(A) = P(A \cdot B + A \cdot \bar {B}) = P(A \cdot B) + P(A \cdot \bar {B})$ и $P(A\cdot B)=P(A) - P(A \cdot \bar {B}).$

Пример 59. Найти $P(A + B)$.

Решение. $A + B = A \cdot \bar {B} + \bar {A} \cdot B + A \cdot B$. По следствию из второй аксиомы $P(A + B) = P(A \cdot \bar {B}) + P(\bar {A} \cdot B) + P(A \cdot B).$ Но $A = A \cdot (B + \bar {B}) = A \cdot B + A \cdot \bar {B}$; $P(A) = P(A \cdot B) + P(A \cdot \bar {B});$ $B = B \cdot (A + \bar {A}) = B \cdot A + B \cdot \bar {A};$ $P(B) = P(B \cdot A) + P(B \cdot \bar {A});$ откуда $P(A \cdot \bar {B}) = P(A) - P(A \cdot B)$ и $P(B \cdot \bar {A}) = P(B) - P(B \cdot A).$ Следовательно, $P(A + B) = [P(A) - P(A \cdot B)] + [P(B) - P(B \cdot A)] + P(A \cdot B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B).$

Пример 60. Доказать, что $P(A\Delta B)= P(A) + P(B) - 2P(A\cdot B),$ где $A\Delta B = (A+B) \backslash (A \cdot B).$

Решение. $A\Delta B=(A+B)\backslash (A \cdot B)=A \cdot \bar {B} + B \cdot \bar {A}$ и $(A \cdot \bar {B}) \cdot (B \cdot \bar {A}) = \emptyset$. Используем результат примера 58:

$$P(A \cdot \bar {B}) = P(A) - P(A \cdot B) {\text {и} } P(B \cdot \bar {A}) = P(B) - P(A \cdot B).$$

Тогда $P$(A$\Delta$B)= $P(A \cdot \bar {B} + B \cdot \bar {A}) = P(A \cdot \bar {B}) + P(B \cdot \bar {A}) = [P(A) - P(A \cdot B)] + [P(B) - P(A \cdot B)] = P(A) + P(B) - 2P(A \cdot B).$

Вопросы для самоконтроля

1. Почему целесообразно введение геометрической вероятности?
2. Сравните свойства геометрической и классической вероятностей.
3. Возможно ли событие, если его геометрическая вероятность равна нулю?
4. Для чего можно использовать результат задачи Бюффона?
5. Приведите примеры конечно-аддитивной и счетно-аддитивной меры.
6. Приведите примеры конечно-аддитивной, но не счетно-аддитивной меры.
7. Получите классическую вероятность из аксиоматики Колмогорова.
8. Приведите простейшие следствия из аксиоматики Колмогорова.
9. На чем основан вероятностный способ суммирования числовых рядов?
10. Сравните геометрический и вероятностный способы суммирования числовых рядов.

Задачи

I 111. Точка брошена наудачу внутрь окружности радиуса $r$. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра окружности меньше $r$/3?

  112. В квадрат с вершинами в точках $(-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1)$ наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты $x$ и $y$ будут удовлетворять неравенству $y<x^{2 }$?

  113. Шар радиуса $r$ брошен в проволочную сетку, образующую квадраты со стороной 5$r$. Какова вероятность того, что шар не заденет сетки?

  114. Доказать, что сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

  115. Доказать, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

  116. Найти вероятность суммы попарно несовместных событий.

II 117. Найти вероятность того, что корни уравнения $x^{2 }+px+q= 0$, где коэффициенты $p$ и $q$ выбраны наудачу на сегменте $[-1;2],$ окажутся:

а) действительными;

б) отрицательными.

  118. Найти вероятность суммы трех событий.

III 119. В любые моменты промежутка времени $T$ равновозможны поступления в радиоприемник двух сигналов. Приемник будет забит (сигналы неразличимы), если промежуток времени между моментами поступления сигналов меньше $t$. Определите вероятность того, что приемник будет забит.

  120. Доказать, что "расстояние" $\rho$($A$,$B)$, определенное по формуле $\rho$($A$, $B)=P(A\Delta B)$, удовлетворяет неравенству треугольника.

Далее: Глава III. Случайные величины Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §11. Цепи Маркова